презентация урока 1 класс на тему » Слагаемые. Сумма» | Презентация к уроку по математике (1 класс) на тему:

Слайд 1

Слайд 2

Актуализация знаний 1. задачи – шутки Стоя на одной ноге, гусь весит 2кг. Сколько он будет весить, стоя на двух ногах? Я шел, пятачок нашел. С другом пойдем – сколько найдем? Вова за 1 час поймал 5 рыбок. Сколько рыбок он поймает за 2 часа? — Шли два друга в школу. Навстречу им шли еще 2 друга. Сколько друзей шло в школу?

Слайд 3

Индивидуальная работа 4 = 5 5 =0 5 =4 4 =5 8 =9 7 =6 6 =6 3 =5 5 =2 9 =9

Слайд 4

Устный счет сосчитайте: От 1 до 10 и обратно От 1 до 10 через один От 1 до10 через два Решите цепочки : 5 -2 +1 -2 +1 7 -1 +0 -6 +3 2 +3 -1 -2 +3

Слайд 5

Игра « Веселый мяч» К 4 прибавь 2 6 плюс 1 Какое число на 2 меньше, чем 8 Уменьши 10 на 1 8 минус 1 Из 4 вычти2 Какое число больше 5 на 2 Увеличь 7 на 2

Слайд 6

Самоопределение к деятельности Ай да белка – мастерица! Вяжет детям рукавицы. Извязала три клубка Два еще лежат пока. У кого ответ готов: сколько у нее клубков? Как вы узнали? 3+2 =5 Как можно эту запись прочитать по-разному? — Можно ли по- другому прочитать запись?

Слайд 7

Работа по теме урока Практическая работа Зайчик пошел в огород, сорвал и положил в корзину 2 огурца. Положите на парту столько же кругов. Потом он дошел до грядки с морковью, сорвал и положил в корзину 3 морковки. Положите столько же треугольников. Что делал зайчик с овощами? -какое действие он выполнял? — что он складывал? — как это записать? Числа которые мы складываем на математическом языке называются слагаемыми. Назовите первое слагаемое? -назовите второе слагаемое? — сколько овощей в корзине у зайчика? -сколько фигур у вас на столе? — дополните свою запись. -как можете назвать число 5? В математике все эти слова заменяют одним словом – сумма. -прочитайте запись используя слова « слагаемое», « сумма» — как можно прочитать запись на доске еще одним способом?

Слайд 8

физкультминутка В норке спал хорек зимой Но проснулся он с весной Вверх он лапки потянул Головой своей кивнул И помчался он вприпрыжку Словно озорной мальчишка

Слайд 9

Работа по учебнику Откройте учебник на стр 86. прочитайте что мы сегодня должны были узнать на уроке? Кто уже запомнил как называются числа при сложении? Прочитайте правило и скажите что нового еще узнали. Прочитайте выражение 4+3=7 по-разному №1 – кто сможет прочитать выражение? -первое выражение читают мальчики, второе выражение читают девочки. 4+2 =6 1+6 =7 5+3 =8 3+3 =6 2=8=10 5+4 =9

Слайд 10

Работа в паре Даны рисунки Какие равенства составили по рисункам? -проверьте друг у друга . самооценка . Решите примеры с помощью числового ряда 1+6 3+4 6+2 2+7 с объяснением каждой пары 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Слайд 11

задача Прочитайте задачу. Что известно в задаче? Что нужно узнать? Что обозначено зелеными квадратами? Что обозначено желтыми квадратами? Ответьте на вопрос задачи. Как вы узнали? Прочитайте запись разными способами. Беседа о подарках -а какие подарки дарят вам? -ребята а какой праздник приближается -кто любит этот праздник и почему? — Какие хотели ли бы вы получить подарки к новому году?

Слайд 12

рефлексия Посмотрите на рисунок и скажите кто сделал ошибку и в чем его ошибка 1+4 7+3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Слайд 13

-Какие математические термины вы сегодня узнали? -что называем слагаемыми? — что называем суммой? Оцените свои знания с помощью светофора

Учим детей запоминать термины «уменьшаемое, вычитаемое, сумма, слагаемые, разность» | Школа, Школа

Очень важно в процессе обучения научить ребенка запоминать терминологию предмета. Иначе, как изучать предмет и общаться с преподавателями. Представьте, если правила каждый будет трактовать по-своему… Будет полная неразбериха, оценивать учеников будет сложно, потому что все будут жить по своим понятиям. Здесь, наверное, и родились основы стандартизации))

Когда я пишу ту или иную статью, я ориентируюсь на умения и знания среднего ученика. Поэтому многое здесь кому-то будет знакомым. А кто-то примет к сведению какой либо из советов. Я подробно, разными фразами объясняю простые вещи не для того, чтобы взрослые сказали: «Что за ерунда! И так все понятно!». Если ребенку непонятен книжный язык, или по каким-то причинам он не понял, как объясняет учитель, то нужно родителям попытаться объяснить так, чтобы до их чада дошел смысл правила. Поэтому и разные фразы об одном и том же. Дети и взрослые немного по-разному воспринимают информацию. Это происходит из-за того, что у взрослых гораздо больше словарный запас и больше знаний и опыта. Это нужно учитывать. Очень часто дети не понимают только потому, что им значение слов непонятно. А когда ребенок приобретает знание о смысле слова, то дальше приходит понимание того, что ему нужно сделать, и как правильно это сделать. Вы же слышали, наверняка, как порой сын или дочь говорят: «Ааааа! Вот как нужно было!»

Очень хорошо действует метод визуализации на детей. Когда они видят проиллюстрированный процесс какого-то понятия, запоминаются ассоциации, которые им в дальнейшем помогают вспомнить определения. Поэтому я предлагаю вам картинки для помощи в работе с детьми.

Итак, давайте начнем с суммы.

СЛАГАЕМОЕ + СЛАГАЕМОЕ = СУММА

Нам нужно добиться, чтобы ребенок четко понимал это правило, и мог его употреблять в разных слуховых вариациях (т.е. одно и тоже можно сказать разными словами – синонимами, словами, которые имеют один и тот же смысл, но звучать по-разному).

Что такое сумма? Сумма – это результат сложения двух чисел. Два числа мы складываем, чтобы получить сумму. Числа, которые мы складываем – это слагаемые. Слово «складывать» означает «слагать». Т.е. СЛАГАТЬ = СКЛАДЫВАТЬ. (получается, нам нужно выучить одно слово, добавить его в лексикон ребенка). Значит, к одному числу мы слагаем второе число. Но звучит как-то несовременно. Поэтому числа стали называть «слагаемыми». Вот и получается, что числа, которые мы слагаем, называются СЛА…гаемыми. Одно слагаемое плюс второе слагаемое, в результате будет СУММА. Сумма – это как сумка или сума`. Все что мы складывали, мы все положили в сумку. И все, что в сумке, это СУММА. Сумма – результат сложения.

Теперь поговорим о разности.

УМЕНЬШАЕМОЕ – ВЫЧИТАЕМОЕ = РАЗНОСТЬ

Здесь нужно начать разговор с того, что Уменьшаемое – это большой брат. А Вычитаемое – это маленький брат. Именно, большой и маленький. Раз большой, он стоит первый, у него большой сыр, а после него маленький брат, у него ничего нет, но он может взять у большого брата маленький кусочек сыра. Почему УМЕНЬШАЕМОЕ? Потому что оно большое, и мы его уменьшаем. Вычитаемое – маленькое, мы его вычитаем (отнимаем у уменьшаемого). В результате будет Разность. Сыр, который остался в результате, не будет таким, как у большого или маленького брата. Он будет разниться (будет непохожим, другим) с этими сырами. Поэтому он будет называться разностью.

Вы можете придумать свои ассоциации, не обязательно пользоваться моими. Ассоциации очень хорошо помогают процессу запоминания.

Открытый урок для 1 класса по теме: «Слагаемое. Сумма. Значение суммы (закрепление)»

Начальная школа

Открытый урок

1 КЛАСС

Урок проведён в рамках

Недели начальных классов

2007-2008учебный год

Учитель: Горт О.В.

Тема урока: Слагаемое. Сумма. Значение суммы (закрепление).

Цель урока: закрепить знания учащимися компонентов при сложении; повторить и обобщить знания учащихся, приобретённые при изучении нумерации чисел от 1 до 10; развивать способности учащихся; воспитывать внимательность, сосредоточенность, аккуратность; прививать любовь к живой природе.

Тип урока: нестандартный, урок-путешествие.

Наглядность: картинки с изображением цирка и его героев.

Ход урока.

1. Орг. момент.

Психологический настрой учащихся.

Повернитесь друг к другу,

Улыбнитесь друг другу,

Мысленно пожелайте удачи.

Поверните ладони друг к другу, передавая тепло своей души.

А теперь повернитесь ко мне.

Подставьте свои ладони.

Я передаю вам тепло своей души,

И знания, которые имею.

Я хочу, чтобы вы стали умными,

Добрыми и счастливыми.

2. Постановка темы и цели урока.

-Ребята, сегодня мы с вами вспомним, повторим то, что уже знаем и умеем, а также закрепим материал, изученный на прошлом уроке.

Но сегодня у нас будет необычный урок. Мы с вами отправимся в цирк. Но для этого нам нужны билеты. Мы их сейчас будем покупать, но не за деньги (мы ещё не зарабатываем), а за знания. Я буду задавать вопросы, вы внимательно слушать и отвечать. За правильный ответ вы получите жетончик- билет.

3. Актуализация знаний.

1. Назовите количество окон в классе.

2. Сколько ребят сидит на первом ряду.

3. Назовите число, которое при счёте стоит перед числом 5. (4)

4. Назовите число, которое при счёте стоит после числа 7. (8)

5. Назовите соседей числа 3. (2, 4)

6. Считайте число ударов карандашом по столу.

7. Какое число больше 3 или 4?

8. У кошки 3 серых и 2 чёрных котёнка. Каких котят больше?

9. Две девочки купались в реке. Одна вышла на берег. Сколько осталось в воде?

10. Назовите какое-нибудь число, которое больше числа 5.

11. У бабушки в хозяйстве 9 цыплят и 8 утят. Кого больше, цыплят или утят? Цыплят больше.

12. Певец должен был спеть три песни, а спел на две песни больше. Сколько песен спел певец? 5 песен.

13. На берёзе росло 10 яблок. 2 яблока сорвали. Сколько яблок осталось на берёзе? На берёзе яблоки не растут

14. В живом уголке детского сада живёт 2 ежа и 1 черепаха.Сколько животных в детском саду? 3

— Молодцы, ребята! У каждого есть билет и мы можем отправляться в цирк.

IV. Повторение.

Посмотрите, он уже виден вдали. А скажите, пожалуйста, какие геометрические фигуры использовал архитектор для его постройки? С чего начинают строить здание?

( С фундамента)

— Ребята, а какие ещё геометрические фигуры вы знаете?

-Итак. Мы входим в цирк. Ребята, артисты цирка выступают на арене. Они все стараются хорошо выступать, это их работа. А для нас свами ареной будет тетрадь.

V. Оформление тетради.

Откройте её. Давайте запишем сегодняшнее число.

— И сейчас на своей «арене» мы выполним работу.

-Запишите числа в порядке возрастания, от самого маленького к самому большому; а для этого: Я тетрадь свою возьму

И наклонно положу.

Сяду правильно, красиво,

А потом писать начну.

-На арене нас встречает Клоун.

VI. Выполнение заданий.

Он жонглирует мячиками. Но эти мячики не простые. Они волшебные.

-Как называются выражения, записанные на мячиках? (сумма)

-Ребята, как вы думаете, какое задание придумал для нас клоун?

( найти значение суммы)

-Молодцы! Мы справились с заданием Клоуна. А на арене цирка появляются зайчата. Они фокусники. Зайчата предлагают нам свои фокусы. В лапках у них шары.

( сравнение чисел)

-Молодцы, ребята! И с этим заданием вы справились.

-Но какой же цирк без обезьянки? А вот и она появляется на арене.

Ребята, у неё очень много братьев и сестёр. Она хочет, чтобы мы помогли ей расселить их в домики. Поможем?

( состав числа)

-Молодцы, ребята! Обезьянка довольна и благодарит вас за помощь.

-Ребята, за нами всё время наблюдал попугай. Что-то он грустный какой-то. Не знаете почему? (подвести детей к тому, что нужно подкармливать птиц).

-А знаете, что он мне сейчас прошептал?(Карточки!Карточки!)

-Посмотрите, у вас на столе лежат карточки с цифрами от 1 до 10.

Вы будете внимательно слушать и выполнять задания попугая. (тест)

VII. Итог.

-Ну, что ж, ребята. Пора возвращаться в класс. Давайте вспомним, чем же мы сегодня занимались?

-Понравилось вам в цирке?

-Так как же называются числа при сложении? Как называется это выражение?

( первое, второе слагаемое, сумма, значение суммы)

-Молодцы! Вы сегодня работали все хорошо. Мне приятно было с вами работать. Я хочу сказать вам «спасибо».

Урок по теме: «Деление суммы на число»

Тема: Деление суммы на число.

                Цели: 1. Ознакомить с различными способами деления

                           суммы на число, каждое слагаемое которой делиться

                           на это число.

                           2. Развитие мышления, наблюдательности, умения  

                           анализировать, сравнивать, обобщать.

                           3. Воспитание организованности, привитие интереса

                           к математике.  

               Оборудование: карточки, наборное полотно, картинки.

                                           Ход урока.

I Оргмомент.

II Актуализация знаний.

— Три ученика работают по карточкам. Остальные – устный счёт.

1. (слайд 1) Переставьте цифры так, чтобы равенство стало верным.

    48 : 2 = 7                   69 : 5 = 4

   (28 : 4 = 7)                 (54 : 6 = 9)

2. (слайд 2) Числовой ряд.

  21, 27, 35, 42, 51, 61, 72, 84.

— Прочитайте числовой ряд. Что общего между этими числами?

  (Двузначные)

— Назовите числа, у которых единиц больше, чем десятков.

  (27,35)

— Замените эти числа суммой разрядных слагаемых.

  (27 – 20 и 7, 35 – 30 и 5)

— Обсудите в парах и разделите числовой ряд на две группы.

  (Например: 21,27,35,42,72 – табличные случаи.

                      51,61,84 – остальные.)

3. (слайд 3) Найдите ошибки и исправьте их.

          (8+4)*5= 8*5+4

  — Какое математическое свойство использовали?

           (Умножение суммы на число.)

      III Постановка цели.

      — Сегодня мы с вами познакомимся ещё с одним математическим свойством.

      (Объявляется тема, цели урока. Дети ставят учебные задачи.)

     IV. (слайд 4) Изучение нового материала.

     — Читаем задачу.

     6 красных и 4 зелёных яблока разложили поровну на две тарелки.

     Сколько яблок положили на каждую тарелку?

— Как можно разложить яблоки на две тарелки? Покажите на наборном полотне.

  (Дети показывают.)

— Выполним это на числах.

   10

(6+4):2=5

(слайд 5) Вывод: вычислим сумму и разделим её на число.

— Можно ли по другому разложить яблоки на тарелки?

 (Дети показывают.)

— Выполним это на числах.

   (6+4):2= 6:2+4:2

(слайд 6) Вывод: можно каждое слагаемое разделить на число и результаты

                сложить.

— Сравните в выражениях полученные ответы. Какие они?

   (Одинаковые)

— Чем отличаются?

   (1 способ – сумму делили на число.

    2 способ – каждое слагаемое делили на число и результаты сложили.)

— Так с каким математическим свойством мы сегодня познакомились?

  (Деление суммы на число)

— Прочитаем в учебнике вывод, как разделить сумму на число? (стр.13)

— Используя это свойство выполним задание №1 стр. 13 учебника.

   (Работа у доски.)

V. Физминутка.

Нам пора передохнуть,

Потянуться и вздохнуть.

Прочь прогоним лень и скуку,

Разомнём сначала руки.

Покрутили головой

И усталость прочь долой!

Встали ровно. Наклонились

Раз-  вперёд и два- назад.

Потянулись, распрямились

И за парты приземлились.

VI. Закрепление.

-Прочитайте задачу №2 стр.13 про себя. Перескажите в парах.

— Прочитайте задачу вслух.

— О ком говорится в этой задаче?

— Сколько метров ткани было у одной закройщицы?

   У другой?

— Что они сделали?

— Что надо узнать?

— Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?

— Что нужно узнать сначала? Каким действием?

— Что узнаем потом? Каким действием?

— Запишем решение задачи выражением.

  (Ученик работает у доски, остальные на месте.)

— Попробуем решить задачу выражением другим способом.

Было – 15м и 12м.                      1 способ: (15+12):3=9(п.) – получилось.

Скроили — ?п. по 3м.                   2 способ:  15:3+12:3=9(п.) – получилось.

— Какое математическое свойство использовали?

(Деление суммы на число.)

— Заменю в задаче число 15 на 16, а число 12 на 11.

  Решите эту задачу устно.

— Прочитайте задание №3.

— О чём можно составить задачу?

  (О пирожках с капустой и повидлом, о бананах и апельсинах и т.д.)

— Составьте задачу и устно решите её.

VII. Самостоятельная работа.

— Проведём самостоятельную работу.

1. Обведи букву с верной записью

а)(8+6):2=8+6:2

б) +6):2=8:2+6:2

1. Найди значение выражения.

1. (9+5):2=

2. (12+16):2=

3. (15+ □ ) :5 =

Дополнительное задание.

— Представьте число 60 в виде суммы двух слагаемых, каждое

 из которых делится на 5.*_n \tag{8}$$ – Р., со­стоя­щий из тех же чле­нов, что и Р. $(1)$, но взя­тых в др. по­ряд­ке. Ес­ли Р. $(1)$ схо­дит­ся аб­со­лют­но, то Р. $(8)$ так­же аб­со­лют­но схо­дит­ся и его сум­ма сов­па­да­ет с сум­мой Р. $(1)$. Ес­ли Р. $(1)$ и $(6)$ аб­со­лют­но схо­дят­ся, то Р., по­лу­чен­ный из все­воз­мож­ных по­пар­ных про­из­ве­де­ний $u_mv_n$ чле­нов этих Р., рас­по­ло­жен­ных в про­из­воль­ном по­ряд­ке, так­же аб­со­лют­но схо­дит­ся и его сум­ма рав­на про­из­ве­де­нию сумм Р. $(1)$ и $(6)$, т. е. аб­со­лют­но схо­дя­щие­ся Р. мож­но пе­ре­мно­жать, не за­бо­тясь о по­ряд­ке чле­нов. При­зна­ки схо­ди­мо­сти для Р. с не­от­ри­ца­тель­ны­ми чле­на­ми при­ме­ни­мы для ус­та­нов­ле­ния аб­со­лют­ной схо­ди­мо­сти ря­дов.

Р., схо­дя­щиеся не аб­со­лют­но, на­зы­ва­ют ус­лов­но схо­дя­щи­ми­ся, для них ут­вер­жде­ние о не­за­ви­си­мо­сти их сум­мы от по­ряд­ка сла­гае­мых не­вер­но. Спра­вед­ли­ва тео­ре­ма Ри­ма­на: по­сред­ст­вом над­ле­жа­ще­го из­ме­не­ния по­ряд­ка чле­нов дан­но­го ус­лов­но схо­дя­ще­го­ся Р.{\infty}a_n,$$что $|u_n(x)| ⩽ a_n$, $x∈E$, $n=1,2,…,$ то Р. $(11)$ рав­но­мер­но схо­дит­ся на $E$ (при­знак Вей­ер­шт­рас­са).

Сум­ма рав­но­мер­но схо­дя­ще­го­ся Р. не­пре­рыв­ных на не­ко­то­ром от­рез­ке (или, бо­лее об­що, на не­ко­то­ром то­по­ло­гич. про­стран­ст­ве) функ­ций яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ной на этом от­рез­ке (про­стран­ст­ве) функ­ци­ей. Сум­ма рав­но­мер­но схо­дя­ще­го­ся Р. ин­тег­ри­руе­мых на не­ко­то­ром мно­же­ст­ве яв­ля­ет­ся ин­тег­ри­руе­мой на этом мно­же­ст­ве функ­ци­ей, и Р. мож­но ин­тег­ри­ро­вать по­член­но. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность час­тич­ных сумм Р. ин­тег­ри­руе­мых функ­ций схо­дит­ся в сред­нем к не­ко­то­рой ин­тег­ри­руе­мой функ­ции, то ин­те­грал от этой функ­ции ра­вен сум­ме Р. из ин­те­гра­лов от чле­нов Р. Ин­тег­ри­руе­мость в этих ут­вер­жде­ни­ях по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Ри­ма­на или Ле­бе­га. Для ин­тег­ри­руе­мых по Ле­бе­гу функ­ций дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем воз­мож­но­сти по­член­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния Р. с поч­ти всю­ду схо­дя­щей­ся по­сле­до­ва­тель­но­стью час­тич­ных сумм яв­ля­ет­ся рав­но­мер­ная оцен­ка их аб­со­лют­ных ве­ли­чин не­ко­то­рой ин­тег­ри­руе­мой по Ле­бе­гу функ­ци­ей. Ес­ли чле­ны схо­дя­ще­го­ся на не­ко­то­ром от­рез­ке Р. (11) диф­фе­рен­ци­руе­мы на нём и Р. из их про­из­вод­ных схо­дит­ся рав­но­мер­но, то сум­ма Р. так­же диф­фе­рен­ци­руе­ма на этом от­рез­ке и Р. мож­но диф­фе­рен­ци­ро­вать по­член­но.

По­ня­тие функ­цио­наль­но­го Р. обоб­ща­ет­ся и на слу­чай крат­ных Р. В разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ни­ях ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся раз­ло­же­ния функ­ций в функ­цио­наль­ные Р., пре­ж­де все­го в сте­пен­ные ря­ды и три­го­но­мет­ри­че­ские ря­ды.

Ме­тод раз­ло­же­ния в Р. яв­ля­ет­ся эф­фек­тив­ным ме­то­дом изу­че­ния функ­ций, вы­чис­ле­ния и оце­нок ин­те­гра­лов, ре­ше­ния все­воз­мож­ных урав­не­ний (ал­геб­раи­че­ских, диф­фе­рен­ци­аль­ных, ин­теграль­ных). Мощ­ным ме­то­дом ис­сле­до­ва­ния яв­ля­ет­ся гар­мо­ни­че­ский ана­лиз, ос­но­ван­ный на пред­став­ле­нии пе­рио­дич. и поч­ти пе­рио­дич. функ­ций Фу­рье ря­да­ми. См. так­же Асим­пто­ти­че­ский ряд, Ло­ра­на ряд, Тей­ло­ра ряд.

Охота к перемене мест (Переместительный закон сложения как симптом «процедурного» мышления) • Ростислав Чебыкин

Переместительный закон сложения как симптом «процедурного» мышления

Нас учат грамматике, наполняют головы наши словами и правилами, коих мы не понимаем. Нас мучат начальными правилами языков, а часто и наук, кои нам никогда полезны не будут.

Александр Радищев. О предметах закона

«От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Это правило школьники проходят в первом классе, когда большинству ещё не приходит в голову задуматься над его содержанием. Между тем, оно попросту бессмысленно — то есть не отражает никакого математического факта.

В самом деле, что такое «перемена мест»? Что такое эти «места» с математической точки зрения и в чём заключается «перемена»? Мы меняем местами символы на бумаге, с помощью которых обозначаем слагаемые. Но с таким же успехом мы можем не менять их местами, а, например, покрасить в другой цвет. И вывести новое математическое правило: «От цвета слагаемых сумма не меняется». А можно записать цифры другим почерком или другим пишущим инструментом. Каждая такая модификация даст новое правило о том, от чего не меняется сумма. Почему из бесчисленного множества таких правил упоминание в учебниках заслужил именно «переместительный закон»?

Когда я учился в первом классе, мы осваивали арифметику с помощью счётных палочек. Сложение чисел 5 и 7 я демонстрировал так: на дне коробки из-под настольной игры сложил две кучки палочек — из 5 и 7 штук. Затем я наклонил коробку, и обе кучки съехали в угол, образовав общую кучку из 12 палочек:

После этого я спросил учительницу: где в таком сложении «места» слагаемых и как показать их «перемену»?

Учительница, подумав, ответила, что «перемена» будет, если положить каждую из кучек на место другой:

Это предложение не выдерживало критики, потому что нет никакого объективного критерия проверки, действительно ли одна кучка лежит на месте другой. На картинке я «переложил» их на глаз, чтобы показать, что имела в виду учительница. Однако не вводить же это в качестве математического определения: «кучки считаются поменявшими места, если на глаз кажется, что каждая из них лежит на месте другой».

Учительница не поняла моих объяснений, поэтому я предложил другой вариант: допустим, мы каким-то неведомым образом научились класть каждую из кучек на место другой, и это изображает перемену мест слагаемых. Но тогда сделаем так: одну из кучек положим на место другой, а другую — в какое-то вообще новое место:

И как интерпретировать эту конфигурацию? Перемена мест одного из двух слагаемых? Частичная перемена мест? Чем с математической точки зрения такое расположение отличается от двух предыдущих, а также от остальных бесчисленных способов разместить две кучки счётных палочек на дне коробки?

Учительница выпала в прострацию, одноклассники благодарили меня за срыв урока.

Похожая ситуация — с «сочетательным законом»: (a + b) + c = a + (b + c). Чтобы проиллюстрировать его бессмысленность, я насыпал три, четыре или десять кучек палочек и, наклоняя коробку, складывал их все одновременно.

Такие демонстрации показывали, что можно одним махом выполнить сложение любого количества чисел, не устанавливая между ними никакого порядка или группировки. Это и значит, что этот самый порядок не относится к математическому смыслу сложения — так же, как не относится цвет или почерк, которым записаны слагаемые.

Получается, что школьная математика путает математические сущности с формой их описания. Когда мы описываем сложение русским языком или посредством арифметических выражений, то приходится указывать слагаемые в каком-нибудь порядке — таковы ограничения языка. Но стоит выбрать другой язык — например, язык моих демонстраций с палочками — и никаких «мест слагаемых» вообще не возникает.

У людей каша в голове оттого, что в начальной школе эту кашу прививают на уроках математики, хотя этот предмет, казалось бы, призван учить правильному мышлению.

Почему первоклассникам скармливают именно такую кашу про «перемену мест»? Чтобы разобраться, придётся сунуться в «большую» математику. Где-то в начале теории множеств рассматривают понятие упорядоченной пары: это конструкция, которая состоит из двух элементов с указанием, какой элемент считать первым, а какой вторым. Пара обычно обозначается (A, B), где A — первый элемент, B — второй. То есть, (A, B)и (B, A) — это две разные пары, а не два способа обозначения одной и той же сущности.

Теперь заглянем в высшую алгебру, где появляется понятие бинарной операции. Это «машинка», которая принимает на вход упорядоченную пару и даёт на выходе одно значение. Например, бинарная операция может взять два числа и выдать их среднее арифметическое. А другая операция может взять две геометрические фигуры и выдать разность их площадей.

Некоторые бинарные операции обладают тем свойством, что для всякой пары (A, B) результат получается таким же, как для пары (B, A). Такие операции называются коммутативными. Например, пусть A и B — шахматисты, а операция даёт количество партий, которые A и B сыграли друг с другом. Результат такой операции не зависит от того, в каком порядке следуют элементы пары. Но бывают и некоммутативные операции. Скажем, пусть A и B — текстовые строки, а операция заключается в приписывании B справа к A. Тогда эта операция над парой (КОЛЬ, ЦО) даёт строку КОЛЬЦО, а над парой из тех же элементов в обратном порядке — строку ЦОКОЛЬ.

Если рассматривать пары обычных чисел, а в качестве операции взять арифметическое сложение, то правило про «перемену мест» имеет в высшей алгебре точный смысл: оно утверждает, что бинарная операция сложения является коммутативной. Однако за этот смысл приходится расплачиваться тем, что изначально понимать 2 + 3 и 3 + 2 как два разных сложения, поскольку (2, 3)и (3, 2) — две разные упорядоченные пары.

С «сочетательным законом» похожая ситуация: он тоже имеет точный смысл в понятиях высшей алгебры, но ради этого смысла приходится договариваться, что (a + b) + cи a + (b + c) — две разные сущности.

Из бинарных операций вырастает теория групп — важный раздел науки, славящийся многовековой историей и мириадами приложений от кристаллографии до алгоритмов «Фотошопа». Почти все области современной математики пересекаются с теорией групп. Поэтому она глубоко проникла в подкорку авторов школьных учебников. Авторы неосознанно переносят в учебники элементы высшей алгебры, при этом упрощая их до такой степени, что теряется всякий смысл. Порядок и группировка слагаемых вводятся только затем, чтобы немедленно объявить «правила» о том, что они не имеют значения.

По-моему, если они не имеют значения, то про них не стоит говорить с самого начала. Мои модели со счётными палочками показывают, что процедура сложения прекрасно обходится вообще без какого-либо порядка или группировки слагаемых. Просто не надо отождествлять это сложение с бинарной операцией из теории групп.

Как же тогда увязать школьное сложение со «взрослой» математикой? Научное мировоззрение, формально господствующее в системе образования, не допустит, чтобы элементарная арифметика вообще не опиралась на серьёзную науку.

В поисках опоры временно переместимся от операции сложения к понятию суммы. Большинство людей, включая профессоров математики, чаще встречают сумму не в учёных трудах, а в документах вроде такого:

Какие качества суммы можно увидеть в этом примере? Во-первых, сумма характеризует всё множество покупок сразу, а не их порядок или группировку. Часто нас даже не интересует точный список товарных позиций (не говоря уже о порядке их перечисления в этом списке), а интересует только общая стоимость товаров.

Во-вторых, минимальное количество покупок, для которого можно подсчитать «Итого», составляет один предмет. Школьное сложение начинается с двух слагаемых, в то время как сумма бывает и в случае одного.

На этом месте профессиональные педанты заподозрят, что я подменяю понятия. Они скажут, что слово «сумма» обозначает именно результат операции сложения, а если нет этой операции (например, когда в чеке один товар), то ни о какой сумме нельзя говорить.

Хорошо, давайте вернёмся к демонстрации со счётными палочками и будем рассматривать величину «общее количество палочек в коробке». Эта величина всегда существует независимо от того, на сколько кучек разложены палочки, сколько палочек в каждой кучке и даже есть ли палочки в коробке. Числовое значение этой величины не зависит от того, выполняем ли мы вообще сложение или какую-то ещё операцию для вычисления этого значения. И если кучек больше одной, то общее количество палочек в точности совпадает с числом, которое педанты назовут арифметической суммой количеств палочек во всех кучках.

На мой взгляд, это повод называть «общее количество» попросту суммой. Однако если вам это по-прежнему кажется перегрузкой терминологии, то придумайте сами подходящий термин и заменяйте на него слово «сумма» далее в этой статье.

Теперь я собираюсь определить понятие суммы натуральных чисел так, чтобы оно:

• было математически строгим,
• не использовало порядка или группировки слагаемых,
• было универсальным для любого конечного количества слагаемых, начиная с 0,
• описывало саму сумму как математический объект, а не процедуру для её вычисления.

Сначала разберёмся, что такое натуральные числа. Будем понимать их как конечные ординалы:

• 0 = ∅,
• 1 = {0} = {∅},
• 2 = {0, 1} = {∅, {∅}},
• 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

и так далее. То есть каждое натуральное число есть множество, причём его мощность (количество элементов) равна этому самому числу.

Набор слагаемых тоже хотелось бы представить как множество, однако возникает загвоздка: все элементы множества должны быть различными, в то время как в сумму могут входить несколько одинаковых слагаемых (как, например, цены соусов в чеке).

Однако в нашем распоряжении есть упорядоченные пары, о которых я уже упоминал. Представим каждое слагаемое как пару натуральных чисел: первый элемент пары равен самому слагаемому, а второй элемент показывает, сколько раз это слагаемое встречается в сумме. Например, в чеке слагаемое 130 встречается один раз, поэтому ему будет соответствовать пара (130, 1), а слагаемое 19 встречается два раза и представляется парой (19, 2).

Теперь скажем, что набор слагаемых — это множество, составленное из всех таких пар. Например, набор 3, 13, 8 — это множество {(3, 1), (13, 1), (8, 1)}. Набор 7, 7, 7 — это множество из одной пары {(7, 3)}. Множество для чека из «Макдоналдса» постройте сами. Такие конструкции иногда называются мультимножествами.

После того, как со слагаемыми всё понятно, попробуем перейти к их сумме. Вот общая идея: превратим слагаемые в попарно непересекающиеся множества так, чтобы мощность каждого множества была равна самому слагаемому. Тогда сумма будет мощностью объединения этих множеств. Как говорится, следите за руками.

Шаг 1

Каждое слагаемое представляется парой чисел. Однако сами числа являются множествами, а значит, над ними можно выполнять операции из теории множеств. Поставим в соответствие каждой паре декартово произведение её компонентов. Например, пара (3, 1) = ({0, 1, 2}, {0}), и произведение {0, 1, 2} × {0} — это множество {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}. Произведение из пары (7, 3) даст множество из 21 элемента.

Так мы добились того, что каждому слагаемому соответствует множество нужной мощности. Но эти множества пока могут попарно пересекаться, поэтому сделаем ещё один шаг.

Шаг 2

Рассмотрим любое множество X, полученное на предыдущем шаге. Возьмём любой его элемент x и поставим ему в соответствие пару (x, X). Если проделать это с каждым элементом каждого множества, то в итоге мощность каждого множества не изменится, но все множества будут попарно непересекающимися. (Если хотите, докажите это сами.)

Шаг 3

Наконец, рассмотрим объединение всех множеств, полученных на предыдущем шаге, и возьмём мощность этого объединения. Арифметически она в точности равна сумме всех слагаемых. Собственно, вот вам и вуаля.

Для педантов могу предложить формальное определение суммы в соответствии с перечисленными шагами:

Пусть A — конечное множество пар натуральных чисел. Тогда сумма A есть |⋃S|, где

S = {s: s = {(x, X): x ∈ X, X = m × n, (m, n) ∈ A}}.

Это не единственно возможное определение суммы. На шаге 1 можно было не рассматривать декартовы произведения, а, наоборот, «рассыпать» каждое слагаемое в множества из одного элемента так, чтобы количество множеств равнялось тому самому слагаемому. Сделав все множества попарно непересекающимися, мы снова получаем сумму как мощность их объединения. Не сомневаюсь, что вы сами придумаете ещё десятки альтернативных определений.

Итак, у нас есть вполне научное определение суммы натуральных чисел в терминах чистой теории множеств, без использования операции сложения из высшей алгебры. Для первоклассников это определение благополучно упрощается до «общего количества счётных палочек в коробке».

В силу этого определения сумма однозначно определяется набором слагаемых. На языке, доступном младшим школьникам: если в коробке лежат счётные палочки, то их общее количество тоже есть уже сразу — независимо от того, каким способом мы будем его вычислять и будем ли вообще.

Этот факт избавляет нас от бестолковых правил вроде «от таких-то вещей сумма не меняется». Когда мы понимаем сумму как результат процедуры сложения, то можно предположить, что если выполнять процедуру как-нибудьпо-разному, то — мало ли — вдруг и результаты получатся разные. По крайней мере, так бывает с другими процедурами, которые знакомы школьникам из повседневного опыта. Поэтому и объявляются специальные правила: нет, как ни складывай — результат будет одним и тем же.

Но если, наоборот, понимать сумму как «общее количество», а сложение — как один из методов его вычисления, то всё встаёт на свои места. Общее количество счётных палочек в коробке существует само по себе как математический факт, а не как результат наших действий. Поэтому утверждение о том, что это количество от чего-то «меняется» или «не меняется», несёт не больше смысла, чем скажем, утверждение о том, что «не меняется» число 7 или прямой угол.

Теперь, когда мы знаем, что такое сумма, можно ставить вопрос о том, как её вычислить. Прежде всего, не стоит отвергать метод прямого пересчёта, когда все палочки ссыпаются в одну кучку и затем пересчитываются по одной.

Несмотря на примитивность, этот способ востребован в реальной жизни. Например, когда мы с приятелями скидываемся деньгами на вечеринку, то сдаём в общий фонд «от каждого по возможностям». Потом кто-нибудь из нас пересчитывает собранную сумму целиком, не отслеживая, сколько внёс каждый в отдельности.

Ну, и если, наконец, говорить о вычислении суммы с помощью арифметических действий, то я бы начал с того, что сумма из одного слагаемого равна самому этому слагаемому. (Докажите это сами через определение.) Любой первоклассник согласится, что даже если в коробке всего одна кучка счётных палочек, то общее количество палочек в коробке всё равно существует, и его можно посчитать.

А когда слагаемых больше одного, то возникает много разных технических приёмов вычисления суммы в зависимости от количества слагаемых и их характера. (Сумму 1 + 1 мы будем считать не так, как

«Переместительный закон» в этом случае перестаёт быть фундаментальной аксиомой. Он тоже становится свойством некоторых процедур сложения и доказывается через то же определение. Арифметические выражения a + bи b + a задают один и тот же набор слагаемых, сумма однозначно определяется набором слагаемых — следовательно, a + b = b + a. «Сочетательный закон» докажите сами.

Из всего этого получается телеологический вывод. Если преподносить ученикам сначала операцию сложения, а потом сумму как результат этой операции, то создаётся представление, будто процедура первична, а её результат — вторичен. «Давайте выполним такие-то действия и посмотрим, что из этого получится». Но если мы ставим сумму на первое место, а методы её вычисления — на второе, то задача ставится иначе: «Нужно получить такой-то результат. Давайте поймём, какие действия для этого требуются, и выполним их».

Я убеждён, что второй подход конструктивнее в большинстве жизненных ситуаций — от научных исследований до мытья посуды. Для тех, кто нацелен на процедуру, эта хозяйственная задача заключается в том, чтобы привычными движениями повозить мочалкой по тарелке. Задача считается выполненной, когда завершён стандартный цикл манипуляций и тарелка поставлена в сушилку. Но те, кто нацелен на результат, видят задачу в том, чтобы тарелка стала чистой.

«Процедурное» мышление проявляется и в образовании, когда работники этой сферы считают, будто их миссия — отбарабанить плановые учебные часы и провести положенные экзамены. Однако настоящие учителя ставят своей целью добиться, чтобы ученики овладели ценными знаниями и умениями.

СУММА «СЛАГАЕМЫХ УСПЕХА» – ЗНАНИЯ

Именно их и продемонстрировали учащиеся лицея № 1 Волжского в ходе городской открытой олимпиаде «Слагаемые успеха». В олимпиаде приняли участие ученики 1-3 классов, которые обучаются по образовательной программе «Начальная школа XXI века».

– ЭТА программа стимулирует учебную мотивацию учащихся, поощряет их познавательную активность, – отметила руководитель методического объединения учителей начальной школы Ольга Алексеевна Исакова. – Кроме того, данная образовательная система способствует формированию у школьников основных компонентов учебной деятельности и готовности к самообразованию, реализует в образовательном процессе право ребёнка на индивидуальность.

Олимпиада проходит с 2015 года. И ежегодно лицеисты младших классов показывают высокие результаты. Так, в этом году победителями среди первоклашек стали по предмету «Литературное чтение» Лоскутова Ульяна, 1 «А» (учитель Ольга Алексеевна Исакова) – 1 место. По русскому языку 2 место завоевал Друшляков  Владислав, 1 «В» (учитель Наталья Викторовна Кийко). По математике лучшей оказалась Маслиева Анастасия, 1 «А» (учитель Ольга Алексеевна Исакова) – 3 место.

Среди учащихся 2 классов по предмету русский язык: 3 место – у Хахова Тимофея, 2 «Д» (учитель Елена Викторовна Шевцова), окружающий мир лучше всех знает обладатель 1 места Павлова Анна, 2 «Г» (учитель Лада Александровна Чурнусова).

Ученики 3 классов также проявили свои знания. По русскому языку 1 место получила Орлова Виктория, 3 «А» (учитель Янина Николаевна Палирус). 2-го места по математике удостоен Радин Марк, 3 «Г» (учитель Екатерина Витальевна Тешакова). 3 место по окружающему миру – у  Бузовской Ирины, 3 «В» (учитель Любовь Викторовна Лазарева).

Городская открытая олимпиада «Слагаемые успеха» проходит на базе муниципального учебного центра «Начальная школа XXI века» в школе №19 .

– Но в городе проходит множество олимпиад, конкурсов. Чем же «Слагаемые успеха» отличается от прочих олимпиад?

– Данная олимпиада создаёт условия для раскрытия и реализации интеллектуальных способностей  младших школьников, помогает выявить и поддержать одарённых детей, а также повысить престиж образовательной системы, – подчеркнула Ольга Исакова.

К слову, учителям лицея Ольге Алексеевной Исаковой и Татьяне Михайловне Лаврентьевой как составителям заданий организаторы олимпиады выразили огромную благодарность. А мы поздравляем педагогов начальной школы и ребят с отличными результатами! Успех слагается из множества факторов, главным из которых является качественное образование.

последовательностей и серий — Доказательство $ 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots + n = \ frac {n \ times (n + 1)} 2 $

Собираем как можно больше доказательств? Запишите серию рекурсивно:

$$ S (n) = S (n — 1) + n \ tag {1} $$

Заменить $ n \ на n + 1 $:

$$ S (n + 1) = S (n) + n + 1 \ tag {2} $$

Уравнение (2) вычесть Уравнение (1) :

$$ S (n + 1) — S (n) = S (n) + 1 — S (n — 1) \ tag {3} $$

И напишите:

$$ \ begin {case} S (n + 1) & = 2S (n) -S (n-1) + 1 \\ S (n) & = S (n) \ end {case} \ tag {4} $$

Которая теперь может быть записана в матрице форме:

$$ \ begin {bmatrix} S (n + 1) \\ S (n) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} S (n) \\ S (n-1) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ tag {5} $$

А затем преобразование аффинного уравнения (5) в линейное уравнение (6) :

$$ \ begin {bmatrix} S (n + 1) \\ S (n + 0) \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} S (n) \\ S (n-1) \\ 1 \ end {bmatrix} \ tag {6} $$

И закрывая уравнение:

$$ \ begin {bmatrix} S (n + 1) \\ S (n) \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ^ n \ begin {bmatrix} S (1) \\ S (0) \\ 1 \ end {bmatrix} \ tag {6} $$

Затем нахождение Джордана из матрицы 3×3:

$$ \ begin {align} \ begin {bmatrix} S (n + 1) \\ S (n) \\ 1 \ end {bmatrix} & = \ left (\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ right) ^ n \ begin {bmatrix} S (1) \\ S (0) \\ 1 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ^ n \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ begin {bmatrix} S (1) \\ S (0) \\ 1 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & \ binom {n} {1} & \ binom {n-1} {2} \\ 0 & 1 & \ binom {n} {1} \\ 0 & 0 & 1 \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} S (1) \\ S (0) \\ 1 \ end {bmatrix} \ end {align} \ tag {7} $$

И перемножение матриц:

$$ \ begin {bmatrix} S (n + 1) \\ S (n) \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {(2n + 2) S (1) — 2nS (0) + {n} ^ {2} + n} {2} \\ \ frac {2nS (1) + (2–2n) S (0) + {n} ^ {2} -n} {2} \\ 1 \ end {bmatrix} \ tag {8} $$

И учитывая, что $ S (0) = 0 $ и $ S (1) = 1 $, мы получаем:

$$ S (n) = \ frac {n ^ 2 + n} {2} \ tag {9} $$

Геометрическая серия: визуально — но почему? Интуитивная математика

Project Maths | Новые сеансы Bitesize: комплексные числа и вероятность

Этот веб-сайт использует Google Analytics для сбора анонимной информации, такой как количество посетителей сайта и наиболее популярные страницы.

Сохранение включенного файла cookie помогает нам улучшать наш веб-сайт.

Пожалуйста, сначала включите строго необходимые файлы cookie, чтобы мы могли сохранить ваши предпочтения!

Последовательностей и серий | Безграничная алгебра

Введение в последовательности

Математическая последовательность — это упорядоченный список объектов, часто чисел.Иногда числа в последовательности определяются в терминах предыдущего числа в списке.

Цели обучения

Различать разные типы последовательностей

Основные выводы

Ключевые моменты

• Количество упорядоченных элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от набора, порядок имеет значение, и конкретный термин может появляться несколько раз в разных местах последовательности.
• Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой член получается добавлением константы к предыдущему члену последовательности.Таким образом, термин [latex] n [/ latex] можно описать формулой [latex] a_n = a_ {n-1} + d [/ latex].
• Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой член последовательности получается путем умножения предыдущего члена на константу. Его можно описать формулой [латекс] a_n = r \ cdot a_ {n-1} [/ latex].

Ключевые термины

• последовательность : упорядоченный список элементов, возможно бесконечной длины.
• конечный : Ограниченный, ограниченный пределами.
• set : набор из нуля или более объектов, возможно бесконечного размера, без учета любого порядка или повторения объектов, которые могут содержаться в нем.

Последовательности

В математике последовательность — это упорядоченный список объектов. Как и набор, он содержит элементы (также называемые элементами или терминами). Количество упорядоченных элементов (возможно, бесконечное) называется длиной последовательности. В отличие от набора, порядок имеет значение, и конкретный термин может появляться несколько раз в разных местах последовательности.

Например, [латекс] (M, A, R, Y) [/ latex] — это последовательность букв, которая отличается от [latex] (A, R, M, Y) [/ latex], поскольку порядок имеет значение, и [latex] (1, 1, 2, 3, 5, 8) [/ latex], который содержит число 1 в двух разных положениях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечными, как в этом примере, или бесконечными, например, последовательность всех четных положительных целых чисел [latex] (2, 4, 6, \ cdots) [/ latex]. Конечные последовательности иногда называют строками или словами, а бесконечные последовательности — потоками.

Примеры и обозначения

Конечные и бесконечные последовательности

Более формальное определение конечной последовательности с терминами из набора [latex] S [/ latex] — это функция от [latex] \ left \ {1, 2, \ cdots, n \ right \} [/ latex] до [latex] S [/ latex] для некоторого [latex] n> 0 [/ latex]. Бесконечная последовательность в [latex] S [/ latex] — это функция от [latex] \ left \ {1, 2, \ cdots \ right \} [/ latex] до [latex] S [/ latex]. Например, последовательность простых чисел [латекс] (2,3,5,7,11, \ cdots) [/ latex] — это функция

[латекс] 1 \ rightarrow 2, 2 \ rightarrow 3, 3 \ rightarrow 5, 4 \ rightarrow 7, 5 \ rightarrow 11, \ cdots [/ latex]

Последовательность конечной длины n также называется [latex] n [/ latex] -набором.Конечные последовательности включают пустую последовательность [latex] (\ quad) [/ latex], не имеющую элементов.

Рекурсивные последовательности

Многие из последовательностей, с которыми вы столкнетесь в курсе математики, производятся по формуле, где некоторые операции выполняются с предыдущим членом последовательности [latex] a_ {n-1} [/ latex], чтобы получить следующий член последовательности [латекс] а_н [/ латекс]. Они называются рекурсивными последовательностями.

Арифметические последовательности

Арифметическая (или линейная) последовательность — это последовательность чисел, в которой каждый новый член вычисляется путем добавления постоянного значения к предыдущему члену.Например, [латекс] (10,13,16,19,22,25) [/ латекс]. В этом примере первый член (который мы назовем [латекс] a_1 [/ latex]) равен [latex] 10 [/ latex], а общее разность ([latex] d [/ latex]) — то есть разница между любыми двумя соседними числами — [латекс] 3 [/ латекс]. Таким образом, рекурсивное определение —

[латекс] \ displaystyle {a_n = a_ {n-1} +3, a_1 = 10} [/ latex]

Другой пример — [латекс] (25,22,19,16,13,10) [/ латекс]. В этом примере [латекс] a_1 = 25 [/ latex] и [latex] d = -3 [/ latex].Таким образом, рекурсивное определение —

[латекс] \ displaystyle {a_n = a_ {n-1} -3, a_1 = 25} [/ latex]

В обоих этих примерах [латекс] n [/ латекс] (количество терминов) равно [латекс] 6 [/ латекс].

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это список, в котором каждое число генерируется путем умножения константы на предыдущее число. Например, [латекс] (2,6,18,54,162) [/ латекс]. В этом примере [latex] a_1 = 2 [/ latex] и общее отношение ([latex] r [/ latex]), то есть соотношение между любыми двумя соседними числами, равно 3.Следовательно, рекурсивное определение —

[латекс] a_n = 3a_ {n-1}, a_1 = 2 [/ латекс]

Другой пример — [латекс] (162,54,18,6,2) [/ латекс]. В этом примере [latex] a_1 = 162 [/ latex] и [latex] \ displaystyle {r = \ frac {1} {3}} [/ latex]. Следовательно, рекурсивная формула

[латекс] \ displaystyle {a_n = \ frac13 \ cdot a_ {n-1}, a_1 = 162} [/ latex]

В обоих примерах [латекс] n = 5 [/ латекс].

Явные определения

Явное определение арифметической последовательности — это такое, в котором термин [latex] n [/ latex] определяется без ссылки на предыдущий термин.Это более полезно, потому что это означает, что вы можете найти (например) 20-й член, не находя все остальные термины между ними.

Чтобы найти явное определение арифметической последовательности, вы начинаете записывать термины. Предположим, наша последовательность [latex] t_1, t_2, \ dots [/ latex]. Первый член всегда [латекс] t_1 [/ латекс]. Второй член увеличивается на [латекс] d [/ латекс], так что это [латекс] t_1 + d [/ латекс]. Третий член снова увеличивается на [латекс] d [/ латекс], и поэтому он равен [латекс] (t_1 + d) + d, [/ латекс] или, другими словами, [латекс] t_1 + 2d [/ латекс] .Итак, мы видим, что:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} t_1 & = t_1 \\ t_2 & = t_1 + d \\ t_3 & = t_1 + 2d \\ t_4 & = t_1 + 3d \\ & \ vdots \ end {align} } [/ латекс]

и так далее. Отсюда вы можете увидеть обобщение, что:

[латекс] t_n = t_1 + (n-1) d [/ латекс]

, что является явным определением, которое мы искали.

Явное определение геометрической последовательности получается аналогичным образом. 2 [/ latex]; и так далее.{n-1} [/ latex]

Общий срок последовательности

Учитывая члены в последовательности, часто можно найти формулу для общего члена последовательности, если формула является полиномом.

Цели обучения

Попрактикуйтесь в нахождении формулы для общего члена последовательности

Основные выводы

Ключевые моменты

• Заданные члены в последовательности, сгенерированной полиномом, позволяют определить формулу для полинома.
• Вручную можно взять различия между каждым термином, затем различия между различиями в терминах и т. Д. Если различия в конечном итоге станут постоянными, то последовательность будет сгенерирована полиномиальной формулой.
• После достижения постоянной разницы можно решить уравнения, чтобы получить формулу для полинома.

Ключевые термины

• последовательность : набор элементов, расположенных рядом друг с другом в заданном порядке; серия
• общий термин : математическое выражение, содержащее переменные и константы, которое при подстановке целочисленных значений для каждой переменной дает допустимый термин в последовательности.

Учитывая несколько членов последовательности, иногда можно найти формулу для общего члена последовательности. Такая формула будет давать [latex] n [/ latex] -й член, когда в формулу помещено целое число [latex] n [/ latex].

Если последовательность генерируется полиномом, этот факт можно обнаружить, заметив, станут ли вычисленные различия в конечном итоге постоянными.

Линейные многочлены

Рассмотрим последовательность:

[латекс] 5, 7, 9, 11, 13, \ точки [/ латекс]

Разница между [латексом] 7 [/ латексом] и [латексом] 5 [/ латексом] составляет [латекс] 2 [/ латекс].Разница между [латексом] 7 [/ латексом] и [латексом] 9 [/ латексом] также является [латексом] 2 [/ латексом]. Фактически, разница между каждой парой терминов составляет [латекс] 2 [/ латекс]. Поскольку эта разница постоянна, и это первый набор различий, последовательность задается полиномом первой степени (линейным).

Предположим, что формула последовательности задана как [latex] an + b [/ latex] для некоторых констант [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex]. 2 + bn + c [/ latex].Тогда последовательность будет выглядеть так:

[латекс] a + b + c, 4a + 2b + c, 9a + 3b + c, \ точки [/ латекс]

Эта последовательность была создана путем вставки [латекс] 1 [/ латекс] для [латекса] n [/ латекса], [латекса] 2 [/ латекса] для [латекса] n [/ латекса], [латекса] 3 [/ латекс] для [латекс] н [/ латекс] и др.

Если мы начнем со второго члена и вычтем предыдущий член из каждого члена последовательности, мы сможем получить новую последовательность, состоящую из различий между терминами. Первая последовательность отличий будет:

[латекс] 3a + b, 5a + b, 7a + b, \ точки [/ латекс]

Теперь рассмотрим различия между терминами в новой последовательности.Вторая последовательность отличий:

[латекс] 2a, 2a, 2a, 2a, \ точки [/ латекс]

Вычисленные разности сходятся к константе после второй последовательности разностей. Это означает, что это была последовательность второго порядка (квадратичная). Исходя из этого, мы могли бы найти общий термин для любой квадратичной последовательности.

Пример

Рассмотрим последовательность:

[латекс] 4, -7, -26, -53, -88, -131, \ точки [/ латекс]

Разница между [латексом] -7 [/ латексом] и [латексом] 4 [/ латексом] составляет [латекс] -11 [/ латекс], а разница между [латексом] -26 [/ латексом] и [латексом] -7 [/ latex] — это [латекс] -19 [/ latex].Обнаружив все эти отличия, мы получаем новую последовательность:

[латекс] -11, -19, -27, -35, -43, \ точки [/ латекс]

Этот список все еще не постоянный. Однако, найдя еще раз разницу между терминами, получим:

[латекс] -8, -8, -8, -8, \ точки [/ латекс]

Этот факт говорит нам, что существует полиномиальная формула, описывающая нашу последовательность. Поскольку нам пришлось делать разности дважды, это полином второй степени (квадратичный).

Мы можем найти формулу, поняв, что постоянный член равен [латекс] -8 [/ латекс], и что он также может быть выражен через [латекс] 2a [/ латекс].Следовательно [латекс] а = -4 [/ латекс]. 2 + b + 7c [/ latex].

Общие полиномиальные последовательности

Этот метод поиска различий можно расширить, чтобы найти общий член полиномиальной последовательности любого порядка. Для более высоких порядков потребуется больше раундов взятия разностей, чтобы различия стали постоянными, и потребуется дополнительная обратная подстановка, чтобы найти общий член.

Общие условия неполиномиальных последовательностей

Некоторые последовательности генерируются общим термином, не являющимся полиномом.п [/ латекс]. Поскольку этот член не является полиномом, взятие разностей никогда не приведет к постоянной разнице.

Общие термины неполиномиальных последовательностей могут быть найдены путем наблюдения, как указано выше, или другими способами, которые пока выходят за рамки наших возможностей. Для любого общего термина последовательность может быть сгенерирована путем вставки последовательных значений [latex] n [/ latex].

и сигма-нотация

Обозначение сигма, обозначаемое заглавной греческой буквой сигма [латекс] \ left (\ Sigma \ right), [/ latex], используется для представления суммирования — серии чисел, которые нужно сложить.

Цели обучения

Вычислить сумму ряда, представленного в сигма-нотации

Основные выводы

Ключевые моменты

• Ряд — это суммирование, выполняемое для списка чисел. Каждый член добавляется к следующему, в результате получается сумма всех терминов.
• Сигма-нотация используется для представления суммирования ряда. В этой форме используется заглавная греческая буква сигма [латекс] \ left (\ Sigma \ right) [/ latex]. Диапазон терминов в суммировании представлен числами под и над символом [latex] \ Sigma [/ latex], называемыми индексами.Самый низкий индекс пишется под символом, а самый большой индекс пишется выше.

Ключевые термины

• суммирование : серия элементов для суммирования или сложения.
• сигма : символ [латекс] \ сигма [/ латекс], используемый для обозначения суммирования набора или серии.

Суммирование — это операция сложения последовательности чисел, в результате чего получается сумма или итог. Если числа складываются последовательно слева направо, любой промежуточный результат является частичной суммой.Суммируемые числа (называемые слагаемыми или иногда слагаемыми) могут быть целыми, рациональными, действительными или комплексными числами. Для конечных последовательностей таких элементов суммирование всегда дает четко определенную сумму.

Серия — это список чисел, подобный последовательности, но вместо простого их перечисления знаки плюса указывают на то, что их следует сложить.

Например, [латекс] 4 + 9 + 3 + 2 + 17 [/ латекс] — это серия. В этой конкретной серии добавлено до [латекса] 35 [/ латекса]. Еще одна серия [латекс] 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 [/ латекс].{n} {x_i} = x_m + x_ {m + 1} + x_ {m + 2} +… + x_ {n-1} + x_n} [/ латекс]

В этой формуле i представляет индекс суммирования, [latex] x_i [/ ​​latex] — индексированная переменная, представляющая каждый последующий член в ряду, [latex] m [/ latex] — нижняя граница суммирования, и [латекс] n [/ латекс] — верхняя граница суммирования. «[Latex] i = m [/ latex]» под символом суммирования означает, что индекс [latex] i [/ latex] начинается равным [latex] m [/ latex]. Индекс [latex] i [/ latex] увеличивается на [latex] 1 [/ latex] для каждого последующего члена, останавливаясь, когда [latex] i = n [/ latex] .2} [/ латекс]

Рекурсивные определения

Рекурсивное определение функции определяет ее значения для некоторых входов в терминах значений той же функции для других входов.

Цели обучения

Используйте рекурсивную формулу для поиска определенных членов последовательности

Основные выводы

Ключевые моменты

• В математической логике и информатике рекурсивное определение или индуктивное определение используется для определения объекта в терминах самого себя.
• Рекурсивное определение арифметической последовательности: [латекс] a_n = a_ {n-1} + d [/ latex]. Рекурсивное определение геометрической последовательности: [latex] a_n = r \ cdot a_ {n-1} [/ latex].

Рекурсия

В математической логике и информатике рекурсивное определение или индуктивное определение используется для определения объекта в терминах самого себя. Рекурсивное определение функции определяет значения функции для некоторых входов в терминах значений той же функции для других входов.

Например, факториальная функция [latex] n! [/ Latex] определяется правилами:

[латекс] 0! = 1 [/ латекс]

[латекс] (n + 1)! = (N + 1) n! [/ Латекс]

Это определение действительно, потому что для всех [latex] n [/ latex] рекурсия в конечном итоге достигает базового случая [latex] 0 [/ latex].

Например, мы можем вычислить [latex] 5! [/ Latex], осознав, что [latex] 5! = 5 \ cdot 4! [/ Latex], и что [latex] 4! = 4 \ cdot 3! [/ latex], и что [latex] 3! = 3 \ cdot 2! [/ latex], и что [latex] 2! = 2 \ cdot 1!, [/ latex] и что:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1! & = 1 \ cdot 0! \\ & = 1 \ cdot 1 \\ & = 1 \ end {align}} [/ latex]

Собирая все вместе, получаем:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 5! & = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \\ & = 120 \ end {align}} [/ latex]

Рекурсивные формулы для последовательностей

При обсуждении арифметических последовательностей вы, возможно, заметили, что разницу между двумя последовательными членами в последовательности можно записать в общем виде:

[латекс] a_n = a_ {n-1} + d [/ латекс]

Приведенное выше уравнение является примером рекурсивного уравнения, поскольку член [latex] n [/ latex] может быть вычислен только с учетом предыдущего члена в последовательности.Сравните это с уравнением:

[латекс] a_n = a_1 + d (n-1). [/ Latex]

В этом уравнении можно напрямую вычислить n-й член арифметической последовательности, не зная предыдущих членов. В зависимости от того, как используется последовательность, более полезным может быть либо рекурсивное определение, либо нерекурсивное.

Рекурсивная геометрическая последовательность следует по формуле:

[латекс] a_n = r \ cdot a_ {n-1} [/ латекс]

Прикладной пример геометрической последовательности касается распространения вируса гриппа.Предположим, что каждый зараженный человек заразит еще двух человек, так что термины следуют геометрической последовательности.

Вирус гриппа представляет собой геометрическую последовательность: Каждый человек заражает еще двух человек вирусом гриппа, в результате чего число недавно инфицированных людей становится энным членом геометрической последовательности.

Используя это уравнение, рекурсивное уравнение для этой геометрической последовательности:

[латекс] a_n = 2 \ cdot a_ {n-1} [/ латекс]

Рекурсивные уравнения чрезвычайно эффективны.Каждый член в серии можно вычислить, просто зная предыдущие термины. Как видно из приведенных выше примеров, разработка и использование предыдущего термина [латекс] a_ {n − 1} [/ latex] может быть гораздо более простым вычислением, чем вычисление [latex] a_ {n} [/ latex] из поцарапать по общей формуле. Это означает, что использование рекурсивной формулы при использовании компьютера для управления последовательностью может означать, что расчет будет завершен быстро.

геометрических последовательностей и серий | Безграничная алгебра

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение.{n-1} [/ латекс].

Ключевые термины

• геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

Определение геометрических последовательностей

Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ латекс ].{n-1} [/ latex]

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

[латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

Поведение геометрических последовательностей

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Обычное отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

• Положительно, все термины будут того же знака, что и исходный термин
• Отрицательное, условия будут чередоваться между положительным и отрицательным
• Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
• [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной последовательностью
• Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом], будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
• [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
• Меньше [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знаков)

Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]). {2} = ac [/ latex]

Суммирование первых n членов геометрической последовательности

Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены.{n}} {1-r}} [/ латекс].

Ключевые термины

• геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
• геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением.

Геометрические ряды представляют собой примеры бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. {n}}}} [/ латекс]

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

• [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 10 [/ латекс]
• [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
• [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
• [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
• [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

Значение [latex] r [/ latex] предоставляет информацию о характере серии:

• Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме.Рассмотрим последовательность, в которой [latex] r [/ latex] составляет половину [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которых равна единице.
• Если [латекс] r [/ латекс] больше [латекс] 1 [/ латекс] или меньше [латекс] -1 [/ латекс], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
• Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
• Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

Бесконечная геометрическая серия

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить, когда геометрический ряд будет сходиться

Основные выводы

Ключевые моменты

• Сумма геометрического ряда конечна, пока члены приближаются к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
• Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].

Ключевые термины

• сходиться : приблизиться к конечной сумме.
• геометрическая серия : Бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.

Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

  импортировать itertools как он


п = 8
  

  seq = [(-1) ** (i + 1) * (4 * i) для i в диапазоне (1, n + 1)]
сумма (seq)
# -16
  

  def f (n):
    если n == 1:
        возврат 1
    элиф п% 2 == 0:
        return -n // 2
    еще:
        return (n + 1) // 2


4 * ф (п)
# -16
  

  след.
# [4, -8, 12, -16, 20, -24, 28, -32]
  

  inf_seq = ((-1) ** (i + 1) * (4 * i) для i в it.count (1))
сумма (it.islice (inf_seq, n))
# -16
  

  def take (n, итерация):
    «Вернуть первые n элементов итерируемого в виде списка»
    список возврата (it.islice (iterable, n))


inf_seq = ((-1) ** (i + 1) * (4 * i) для i в it.count (1))
list (взять (10, it.accumulate (inf_seq)))
# [4, -4, 8, -8, 12, -12, 16, -16, 20, -20]
  

  n 4n f (n) 4f (n)
--- ---- ---- -----
  1 4 1 -> 4
  2-8 -1 -> -4
  3 12 2 -> 8
  4-16-2 -> -8
  5 20 3 -> 12
  6-24-3 -> -12
  7 28 4 -> 16
  8-32-4 -> -16
  9 36 5 -> 20
 10-40-5 -> -20