«Геометрические фигуры». — математика, презентации

В презентации представлен материал по проведению данной темы

Просмотр содержимого документа
«»Геометрические фигуры».»

Прочитай примеры разными способами. Сосчитай.

Сосчитай круговые примеры, запиши их в тетрадь.

6 + 6 = 12

12 + 8 = 20

20 – 3 = 17

17 – 8 = 9

9 + 4 = 13

13 – 7 = 6

У клоунов 5 синих шапочек, 4 красных и 8 жёлтых.

Сколько всего шапочек у клоунов?

Бегемоту в зоопарке приготовили на день 10 кочанов

капусты 5 тыкв и 4 кабачка.

Бегемот уже съел на

завтрак 7 кочанов. Сколько всего овощей осталось

съесть бегемоту на обед и ужин?

В цирке 5 верблюдов, а лошадей на 4 больше.

Сколько лошадей в цирке?

Сколько в цирке лошадей и верблюдов вместе?

В цирке 13 белых голубей и 8 сизых. На сколько

белых голубей больше, чем сизых?

Сосчитай треугольники и четырёхугольники.

Выбери верный ответ:

Что происходит с числом, когда к нему прибавляют 0 ?

1. Увеличивается на 1.

2. Уменьшается на 1.

3. Не изменяется.

4. Получается в сумме 0.

Сосчитайте .

Сосчитай примеры.

Найди отличия.

Самолет летит по небу, Крылья подставляя ветру. То как птица он парит, То по воздуху кружит. А теперь пора спускаться, На посадку приземляться.

Опустились мы легонько И садимся потихоньку.

Отгадай ребус.

Что вспомнили на уроке?

Чему учились?

Что на уроке вам понравилось?

Какая работа показалась сложной?

Оцените свою работу.

Математика 1 класс Презентация. Геометрические фигуры

Просмотр содержимого документа
«Математика 1 класс Презентация. Геометрические фигуры»

Геометрические

Фигуры

стр. 106-107

Урок 129

Прочитай примеры разными способами. Сосчитай.

17 – 8 =

12 – 3 =

16 – 7 =

7 + 9 =

6 + 5 =

Сосчитай круговые примеры, запиши их в тетрадь.

17 – 8 =

20 – 3 =

12 + 8 =

13 – 7 =

9 + 4 =

6 + 6 =

6 + 6 = 12

12 + 8 = 20

20 – 3 = 17

17 – 8 = 9

9 + 4 = 13

13 – 7 = 6

У клоунов 5 синих шапочек, 4 красных и 8 жёлтых.

Сколько всего шапочек у клоунов?

17

5 + 4 + 8 = 17

Бегемоту в зоопарке приготовили на день 10 кочанов

капусты 5 тыкв и 4 кабачка. Бегемот уже съел на

завтрак 7 кочанов. Сколько всего овощей осталось

съесть бегемоту на обед и ужин?

10 + 5 + 4 – 7 =12

12

В цирке 5 верблюдов, а лошадей на 4 больше.

Сколько лошадей в цирке?

9

5 + 4 = 9

Сколько в цирке лошадей и верблюдов вместе?

5 + 9 = 14

14

В цирке 13 белых голубей и 8 сизых. На сколько

белых голубей больше, чем сизых?

13 – 8 = 5

на 5

Сосчитай треугольники и четырёхугольники.

4 треугольника и

4 четырёхугольника

стр. 106 -107

Выбери верный ответ:

Что происходит с числом, когда к нему прибавляют 0 ?

1. Увеличивается на 1.

2. Уменьшается на 1.

3. Не изменяется.

4. Получается в сумме 0.

Сосчитайте .

15 кг – 7 кг =

8 кг + 8 кг =

17 л – 9 л =

15 дм – 6 дм =

11 см – 3 см =

Сосчитай примеры.

12 – 9 =

13 – 7 =

13 – 8 =

11 – 8 =

16 – 7 =

14 – 7 =

15 – 8 =

12 – 8 =

6 + 6 =

7 + 6 =

Найди отличия.

Физкультминутка

Самолет летит по небу, Крылья подставляя ветру. То как птица он парит, То по воздуху кружит. А теперь пора спускаться, На посадку приземляться. Опустились мы легонько И садимся потихоньку.

Отгадай ребус.

щенок

пластмасса

незабудка

Что вспомнили на уроке?

Чему учились?

Что на уроке вам понравилось?

Какая работа показалась сложной?

Оцените свою работу.

Конспект занятия по математике в старшей группе «ТЕРЕМОК»

Конспект занятия по математике в старшей группе «ТЕРЕМОК»

Ежикова Лариса Ивановна Воспитатель МБДОУ «Детский сад №238» г. Новокузнецк

Цель: формировать элементарные математические представления.

Задачи:

• Закрепить знания детей о числах и цифрах в пределах 10
• Уточнить понимание расположения и направления счета (слева — справа)
• Учить правильно пользоваться количественными и порядковыми числительными
• Уточнить знания детей о составе числа 5
• Закрепить знание геометрических фигур: круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник
• Учить детей соотносить цифры с количеством предметов
• Совершенствовать счетные навыки; навыки в решении задач
• Закреплять умение детей ориентироваться на листе бумаги.
• Развивать слуховую память, зрительное восприятие, логическое мышление, произвольное внимание, усидчивость, глазомер, память, мелкую моторику, речь.
• Воспитывать умение работать самостоятельно
• Формировать навыки взаимоконтроля, самоконтроля
• Воспитывать желание помогать героям сказки.

Предварительная работа: чтение и драматизация сказки “Теремок».

 

Оборудование:

Демонстрационный материал:

• Наборное полотно “Цифровой домик».
• Картинка «Теремок»
• Фигурки сказочных персонажей по сказке» Теремок»
• Цифры от 0 до 10.

Раздаточный материал:

• Индивидуальные карточки (соедини точки по порядку)
• Простой карандаш.
• Цифры от 0 до 10.
• Карточки «Сосчитай фигуры»

ХОД ЗАНЯТИЯ:

Приветствие: В круг скорее становитесь

Крепко за руки держитесь.

Раз, два, три, четыре, пять.

Сказку будем начинать.

(звучит мелодия из сказки)

Восп: — Сегодня мы отправимся в путешествие и встретимся со своими старыми знакомыми-героями известной сказки. А какой вы узнаете, если загадку отгадаете:

Загадка:

Невелик собою дом,

Но зато вместителен.

Уместиться можно в нём

Самым разным жителям.

Но висит на нём замок.

Этот домик — …

Восп.: В чистом поле теремок,

он не низок, не высок.

Мышка серая, норушка,

вышла в поле погулять,

Видит мышка теремок

в чистом поле одинок.

Мышка очень удивилась,

подошла, остановилась.

Мышка: Кто там, в тереме живёт?

(реб) Может в гости позовёт.

Восп: Видит мышка объявление:

«В домик тот зайдёт,

Кто число выложит и назовет».

1. Задание «Назови цифру»

Восп: — Зашла мышка в теремок

и стала в нём жить.

Восп: В чистом поле теремок,

он не низок, не высок.

Шла лягушка из болота видит,

заперты ворота.

Мышка: Кто, кто в теремочке живёт?

Кто, кто в не высоком живёт?

Мышка: А мышка ей в ответ:

(реб.) Чтобы дверь мою открыть,

Состав числа вам разложить.

2. Задание «Выложить состав числа 7 в домике».

Восп: — Зашла лягушка в теремок и стала в нём жить.

Заяц: Ой, гляди-ка! Теремок, в чистом поле одинок!

(реб.) Постучу я лапкой в двери. Чей скажите, это терем?

Слышит он такой ответ:

Мышка: «Рады мы тебя впустить,

(реб.) Но не можем дверь открыть.

Чтобы двери отворять

Фигуры надо сосчитать

3. Задание «Сосчитай фигуры» (у каждого на листе нарисована «кошечка» из геометрических фигур, а дети считают самостоятельно и называют количество фигур).

Сколько прямоугольников?

Сколько треугольников?

Квадратов?

Кругов?

Восп: -Зашел заяц в теремок и стал в нём жить.

Лиса: Ой, Красивый теремок, из трубы идет дымок.

(реб.) Эй, пустите вы лисичку, буду я для вас сестричкой

Чтобы в теремочке жить, задачки хитрые надо решить.

4. Задание «Решение задач»

1. К речке бежали четверо утят

Свежей водицы напиться хотят.

Уточка-мама за ними спешит.

Сколько их вместе? Скорее скажите? 4+1=5

2. Высоко задравши нос,

Заяц шесть морковок нес,

Споткнулся и упал-

Две морковки потерял,

Сколько морковок у зайца осталось? 6-2=4

3. Четыре овечки на траве лежали,

Потом две овечки домой убежали.

А ну-ка скажите-ка мне поскорей.

Сколько на травке овечек теперь? 4-2=2

4. Шесть щенят

Плюс мама-лайка

Сколько будет? Посчитай-ка! 6+1=7

Восп: — Зашла лисичка в теремок и стала в нём жить.

Физминутка: (проводит ребенок-лиса)

Раз — согнуться, разогнуться,

Два — нагнуться, потянуться,

Три — в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре — руки шире,

Пять, шесть — тихо сесть,

Семь, восемь — лень отбросим.

Волк: Что за терем — теремок. Из трубы идет дымок

Эй, скорее отворите волка вы к себе впустите

Заяц: Тебя мы рады бы принять, но заданье нужно выполнять.

(реб.)

5. Задание «Соедини точки по порядку» (Индивидуальное задание на листах, дети по цифрам-точкам соединяют «цветок»)

Восп: — Зашел волк в теремок и стала в нём жить.

Медведь: Вот так чудо теремок, он не низок невысок

Эй, хозяева, спешите и медведя приютите

Восп: Мы бы рады вас приютить, жильцов всех надо расселить

Чтобы место было мишке, помогите нам, детишки.

6. Задание «Назови соседей числа» (5, 8, 4, 2, 7 и т.д.)

Восп: — Зашел медведь в теремок и стал в нем жить.

Восп: Я хочу спросить у вас – отвечайте-ка сейчас,

Понравилась вам сегодня сказка?

Отвечай-ка посмелей,

На вопросы побыстрей:

Кто пришел первым к теремку? (мышка)

Кто последним? (медведь)

Кто пришел третьим? (заяц)

Кто пришел перед волком? (лиса)

Кто пришел после мышки? (лягушка)

Вот и сказки конец,

А кто слушал молодец!

< Предыдущая		Следующая >

«Деление множества на части и объединении частей в целую группу «

Математика ПР

Тема: «Деление множества на части и объединении частей в целую группу «

Цель: Упражнять в делении множества на части и объединении частей в целую группу; совершенствовать умение устанавливать зависимость между множеством и его частью. Развивать навыки считать в прямом и обратном порядке в пределах 5. Закреплять умение делить круг и квадрат на 2 и 4 равные части сравнивать и называть их. Закреплять умение различать и называть знакомые геометрические фигуры.

Материал. Кукла, мишка, зайчик, 3 кубика, 3 пирамидки, 3 машины, 5 кругов одного цвета, 2 корзины, 2 набора строительного материала (с плоскими и объёмными геометрическими фигурами – в соответствии с программным содержанием).

Раздаточный материал. Конверт, в котором лежат по ¼ части круга или квадрата, коробка с остальными частями фигур, квадраты одного цвета (по 5 шт. для каждого ребёнка).

Ход образовательной деятельности

1 часть. Игровое упражнение «Сосчитай фигуры».

На доске 5 кругов одного цвета. Дети определяют их количество. Дети вместе с воспитателем считают круги в обратном порядке (от 5 до 1). Затем воспитатель спрашивает: «Что мы делали, когда считали от 5 до 1?». (Уменьшали на 1).

2 часть. Работа с раздаточным материалом.

Воспитатель предлагает выполнить аналогичное задание с помощью квадратов одного цвета. Дети считают квадраты, убирают по одному и определяют, сколько осталось. Вместе с воспитателем они называют числа в обратном порядке. (Пять, четыре, три, два, один).

3 часть. Игра – эстафета «Кто быстрее разложит строительный материал?»

Дети делятся на две команды путём пересчёта на первый- второй. Первая команда должна найти в корзине и перенести в другую корзину все плоские фигуры, а вторая- все объёмные фигуры. В процессе проверки задания дети показывают и называют фигуры.

4 часть. Дидактическая игра «Составь целое по его части».

У детей конверты с частями геометрических фигур. Воспитатель предлагает составить целую геометрическую фигуру, выбрав недостающие части из коробки. После выполнения задания дети определяют, какие фигуры у них получились и из скольких частей они состоят.

Затем воспитатель выясняет у детей: «Как можно назвать каждую часть вашей фигуры? Что больше: целое или одна вторая (одна четвёртая) часть? Что меньше: одна вторая (одна четвёртая) часть или целое?»

5 часть. Игровое упражнение «Собираем игрушки для куклы».

Воспитатель сообщает детям, что к ним в гости пришла кукла, и предлагает поиграть с ней. Он ставит на стол три группы игрушек (три кубика, три пирамидки, три машинки) и спрашивает: «Сколько кубиков? Сколько пирамидок? Сколько машинок? Что можно сказать о количестве пирамидок и кубиков, и машинок?» (Кубиков, пирамидок, машинок поровну – по три).

Воспитатель ставит кубики, пирамидки и машинки вместе и спрашивает: «Сколько всего игрушек у куклы?» (Дети считают игрушки). Правильно, девять игрушек. Сколько пирамидок? Что больше: девять игрушек или три пирамидки? Что меньше: три пирамидки или девять игрушек? (Аналогичным образом сравнивают игрушки и кубики, игрушки и машинки).

Вывод: «Группа игрушек (обобщающий жест) больше группы пирамидок (показывает), и больше группы кубиков, её части».

Затем воспитатель предлагает поиграть вместе с мишкой и зайчиком, а детям поровну разделить между ними игрушки. Правильность выполнения задания выполняется на основе счёта.

3 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 58

Числа от 1 до 100

Умножение и деление (продолжение)
Площадь. Единицы площади
Ответы к стр. 58

1. Сосчитай, сколько квадратных сантиметров в каждой фигуре. Сравни площади этих фигур.

 

1) 8 см²; 2) 7 см²;
8 > 7

2. Каждое из чисел 72, 56, 48, 64 уменьши на 40, а результат уменьши в 4 раза.

(72 – 40) : 4 = 8           (48 – 40) : 4 = 2
(56 – 40) : 4 = 4           (64 – 40) : 4 = 6     

3. Каждое из чисел 12, 20, 28, 36 уменьши в 4 раза, а результат увеличь в 7 раз.

12 : 4 • 7 = 21              28 : 4 • 7 = 49
20 : 4 • 7 = 35              36 : 4 • 7 = 63

4.  На 4 дня лошади нужно 32 кг овса. (Ежедневная норма выдачи овса одна и та же.) Сколько килограммов овса нужно лошади на 6 дней, если норма выдачи в день не изменится? 

1) 32 : 4 = 8 (кг) – количество овса на 1 день
2) 8 • 6 = 48 (кг)
О т в е т:  на 6 дней лошади нужно 48 кг овса.

5. Из 21 кг свежей малины получается 3 кг сухой. Сколько взяли свежей малины, если получили 5 кг сухой?

1) 21 : 3 = 7 (кг) – во столько раз меньше
2) 5 • 7 = 35 (кг)
О т в е т: чтобы получить 5 кг сухой малины, нужно взять 35 кг свежей.  

---

ЗАДАНИЕ НА ПОЛЯХ

Цепочка

72 : 8 = 9 → 9 • 4 = 36 → 36 + 6 = 42 → 42 : 7 = 6

Ответы по математике. Учебник. 3 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 3 класс

4.6 / 5 ( 22 голоса )

50 важных подсчетных цифр Вопросы

Тема

Counting Figures очень важна для каждого экзамена SSC, и вы можете освоить эту тему путем тщательной практики. Чтобы помочь вам с подготовкой к экзамену, мы принесли для практики бесплатную электронную книгу по 50 важным вопросам, связанным с подсчетом цифр.

Эта электронная книга содержит все важные вопросы по подсчету фигур в треугольниках, прямоугольниках и квадратах с короткими приемами. Вы можете загрузить 50 вопросов о важных цифрах, перейдя по ссылке ниже.

Хотите попробовать бесплатный пробный тест? Пройдите бесплатный пробный тест здесь

1. 50 важных подсчетных цифр Вопросы | Скачать здесь

Чтобы загрузить больше бесплатных электронных книг, нажмите здесь и зарегистрируйтесь

Как загрузить 50 важных подсчетных цифр Вопросы?

Шаг 1: Щелкните по указанной выше ссылке для скачивания . Вы попадете на страницу БЕСПЛАТНЫХ электронных книг Oliveboard.

Шаг 2: Зарегистрируйтесь / войдите на страницу бесплатных электронных книг Oliveboard (это 100% бесплатно, вы просто вводите свой действующий идентификатор электронной почты и пароль, чтобы иметь возможность загрузить 50 важных подсчетных цифр Вопросы с хитростями ).

Шаг 3: После входа в систему вы увидите список бесплатных электронных книг.

Шаг 4: Щелкните раздел «Решенные статьи» в разделе «Все электронные книги».

Шаг 5: Вы сможете загрузить 50 важных подсчетных цифр. Вопросы с хитростями.

2. Взглянем на электронную книгу

Q1) Найдите количество треугольников на данной фигуре

(а) 12
(б) 18
(в) 22
(г) 26

Правильный ответ: «b»

Q2) Сколько треугольников на данном рисунке?

(а) 20
(б) 23
(в) 24
(г) 26

Правильный ответ: «а»

Q3) Сколько треугольников на данном рисунке?

(а) 18
(б) 19
(в) 20
(г) 21

Правильный ответ: «c»

Пройдите бесплатный пробный тест здесь и проверьте уровень своей подготовки.

Q4) Сколько треугольников на рисунке?

(а) 28
(б) 36
(в) 40
(г) 48

Правильный ответ: «b»

Q5) Сколько треугольников на рисунке?


(а) 29
(б) 38
(в) 40
(г) 35

Правильный ответ: «c»

Q6) Найдите количество треугольников на данном рисунке.

(а) 18
(б) 20
(в) 28
(г) 34

Правильный ответ: «c»

Хотите попрактиковаться в подсчете цифр? Вопросы? Зарегистрируйтесь бесплатно

Q7) Найдите количество треугольников на данном рисунке.

(а) 16
(б) 18
(в) 20
(г) 21

Правильный ответ: «d»

Q8) Найдите количество треугольников и квадратов на данном рисунке.

(a) 21 треугольник, 7 квадратов
(b) 18 треугольников, 8 квадратов
(c) 20 треугольников, 8 квадратов
(d) 22 треугольника, 7 квадратов

Правильный ответ: «а»

Хотите попробовать бесплатный пробный тест? Нажмите здесь и зарегистрируйтесь

Бесплатные живые тесты блокировки для предстоящих банковских экзаменов

Вот что вы получите с живыми тестами.

1. Соревнуйтесь с друзьями — Пригласите друзей взять с собой ежедневные живые тесты.

2. Добейтесь стойкости всей Индии.

3. Проанализируйте свою слабость.

4. Увеличьте свой счет на +10.

5. Ознакомьтесь со всеми экзаменами на должность клерка и ЗП.

Хотите увеличить свой счет на +10? Попробуйте ежедневные бесплатные живые тесты блокировки ЗДЕСЬ

Электронные книги

Здесь вы можете загрузить более 200 электронных книг, важных для SSC, банковского дела, железнодорожного транспорта, страхования и других государственных экзаменов.

Oliveboard Bolt series Электронные книги:

Бесплатная электронная книга Static GK — Дополнительные учебные материалы:

Живые курсы и пробные тесты Oliveboard

Подсчет фигур с примерами треугольников | Aptitude

Подсчет чисел иногда кажется слишком сложным, если вы не знаете, как их решать. В этой статье мы поговорим о хитростях для задачи подсчета фигур.

Подсчет цифр — это наиболее часто задаваемые логические вопросы.В этом случае вам будет дана форма или фигура, и ваша задача — определить форму и отсчитать ее внутри этой конкретной фигуры.
Например, рассмотрим рисунок ниже:

Они просто задают вопрос, сколько треугольников видно на данном рисунке? Поначалу это могло показаться простым, но это явно не так! Не зная уловок, вы не сможете легко найти правильный ответ.

Типы вопросов с примерами задач подсчета треугольников

• Когда треугольник разделен вертикальными линиями
  • В таком случае мы используем can n (n + 1) / 2, где n равно количество треугольников внутри главного треугольника

Q. Найдите количество треугольников на диаграмме

Количество треугольников внутри главного треугольника = 4

4 (4 + 1) / 2

= 20/2 = 10

• Когда треугольник разделенных горизонтальными линиями
  • В таком случае подсчитайте количество горизонтальных линий, которые дадут вам общее количество треугольников

Q. Найдите количество фигур на диаграмме

Общее количество горизонтальных линий = 3

Таким образом, общее количество возможных треугольников составляет 3

• Когда треугольник имеет как вертикальные, так и горизонтальные линии
  • n (n + 2) / 2 (для вертикальных линий) * число горизонтальных линий

Q.Найдите количество треугольников на диаграмме

Количество треугольников из вертикальных линий (без учета горизонтальных линий) = 3 = 3 (3 + 1) / 2 = 6

Горизонтальных линий = 3

= 6 * 3

= 18

• Когда треугольник имеет внутренний треугольник, касающийся всех краев внешнего
  • В таком случае всегда получается 4 фигуры и добавляется 1 для основного треугольника

Q. Найдите количество треугольников на диаграмме

Начиная с внутренней комбинации есть = 4 треугольника

, внешняя комбинация = 4 треугольника

И для основного = 1

всего = 9 треугольников

• Когда у треугольника есть треугольник, касающийся всех краев внешнего, а также линии из каждой вершины главного треугольника, соприкасающиеся с краями внутреннего
  • В этом первом игнорируйте все линии, идущие от углы треугольника
  • Теперь треугольник, который вы видите, будет похож на треугольник предыдущего случая (касается всех краев внешнего треугольника)
  • Подсчитайте количество треугольников
  • После этого рассмотрите линии, идущие от краев, каждая линия составит 2 треугольники
  • Теперь сложите их все вместе

Шаг 1. Если мы проигнорируем линии, идущие от краев, фигура будет выглядеть как

Шаг 2. Из внутреннего треугольника мы получим 4, из внешнего = 4, Главный треугольник = 1

Шаг 3. Всего треугольников = 9

Шаг 4 . Теперь добавьте строки, которые были удалены ранее. Если каждая линия создает 2 треугольника, тогда 3 строки будут создавать = 3 * 2 = 6 треугольник

Шаг 5 . Добавьте их все. 9 + 6 = 15 треугольников

• Когда треугольник состоит из нескольких треугольников, расположенных на горизонтальных линиях
  • Если вы внимательно посмотрите со всех сторон, вы увидите равное количество треугольников
  • Подсчитайте треугольники от основания
  • Добавить их в последовательном порядке, где результат предыдущего будет использоваться в качестве входных данных для следующего.т.е. 1, 1 +2 = 3, 3 + 3 = 6, 4 + 6 = 10 ′. Сложите все суммы вместе.
  • Теперь, сложив их все, снова рассмотрите вторую последнюю сумму
  • Также добавьте ее

Число треугольников в каждом основании = 3

Выполните подсчет от 1 до 3

Сложите их = 1 + 3 + 6 = 10

Теперь также рассмотрим второй последний элемент = 3

Всего треугольник 10 + 3 = 13

Знания чисел и как мы научились считать: Crumpacker, Bunny: 9780312360054: Amazon.

com: Books

1

ONE IS ALL

Одно — это начало, единственное стартовое место. Это Вселенная во время Большого взрыва: произошло то грандиозное событие, этот немыслимый шум, и внезапно, за долю секунды, все, что там было — было ли это Единым? — разрушилось. Он стал миллиардом миллионов звезд, галактик за галактиками звезд, звезд с планетами и лунами, метеорами и астероидами, каждая из которых содержит все снова, атомы и молекулы, очарование и кварк, и каждая вещь — каждый атом, каждая галактика — была еще один, еще один.Один за другим до бесконечности.

Вначале не было ни одного номера, ни одного. Нам не нужны были числа — не нужно было считать, не нужно было знать, сколько. Само по себе и для нашего выживания было достаточно каждого человека, каждой вещи, каждого момента.

Весьма непохожим на божественного человека, который не может считать один, два, три или различать нечетные и четные числа. PLATO

Мы знали день и тьму, наступившую после дня, ночь за днем ​​и затем день за ночью. Но в конце концов, должно быть, пришло время, когда кто-то захотел отслеживать вчерашний, сегодняшний и завтрашний день и считать, что наполняет эти дни: луны, трапезы и весну. И в конце концов кто-то захотел сосчитать то, что принадлежало ему — возможно, животных или стрелы, или семена, масло и зерно. Возможно, кто-то хотел знать, что грядет — сколько дней нужно будет ждать, пока снова наступит наводнение, или когда луна исчезнет, ​​а затем вернется, сколько времени до рождения ребенка или сколько времени до восхода солнца. вернулся из путешествия на край света, и холода прошли, и дни снова стали медленно удлиняться.

В истории есть неожиданная история того, как мы научились считать — от нашего первого распознавания numero uno, того, что мы подразумеваем, когда указываем на себя, до огромных чисел, о которых мы думаем, когда смотрим на звезды на безлунная ночь.

Подсчет — это естественный процесс, почти неизбежный, и числа являются органическими. Они начинаются с единственной линии нашего тела, психического ощущения самих себя. Они растут один за другим, но всегда остаются тесно связанными с нашим физическим существом, от двойственности наших глаз, рук и ног до наших десяти пальцев и — если они нам понадобятся — наших десяти пальцев ног.

Понятие числа — это очевидное различие между зверем и человеком. Благодаря номеру крик становится песней, шум приобретает ритмичность, пружина трансформируется в танец, сила становится динамичной, очерчивая фигуры.

JOSEPH DE MAISTRE

Счет так же естественен, как числа. Мы считаем друг друга, а затем наших детей, вещи, которыми мы владеем, дни, через которые мы прошли. Числа считают вещи в мире, которые, должно быть, стали менее неукротимыми, поскольку мы пронумеровали его части и научились давать им имена.Когда мы рисовали животное на стене пещеры, мы делали это, а затем еще одно — одно и два — и давали животному его имя. Когда мы рисовали звезды над головой и рассказывали друг другу истории, мы вспомнили, сколько звезд на поясе Ориона или в кресле Кассиопеи. Везде мы учили числа естественным образом и учились считать, потому что нам всегда нужно было знать, сколько .

Однажды мы хотели узнать, сколько скота осталось утром и пришло домой ночью, сколько семян необходимо сохранить для посадки в следующем году или сколько дней прошло от полнолуния до полнолуния.Теперь нам нужны почтовые индексы и номера социального страхования, номера телефонов и номерные знаки. Наши паспорта и наши дома пронумерованы, как и наши счета, чеки и телефоны. Числа выросли из-за простоты вас, меня и ребенка. Теперь они определяют нас с возрастающей сложностью, и мы теряем из виду, как они начинались, один за другим — этот, тот, те, и я, вы и весь остальной мир.

С другой стороны, возможно, Бог научил Адама считать, когда он создал Еву из ребра Адама, и внезапно, там, где она была, вот! их было двое.Следили ли Адам и Ева за своими детьми с помощью счета? Вычли ли они единицу из двух, когда Авель исчез, и остался только Каин? Очевидно нет. Но ясно, что Бог мог рассчитывать.

Когда мы вышли из сада, научиться считать для себя было медленным процессом — потребовались тысячелетия, чтобы научиться отвечать всеми различными способами на основные вопросы математики: сколько? Сколько? Как по волшебству, числа стали видимыми, когда нам нужно было их знать. Попутно люди в разных местах считали по-разному — по двоек, четверок, пятерок, двенадцати, двадцати, шестидесяти и, наконец, по десяткам.Повсюду числа стали частью цивилизации, а затем стали означать больше, чем просто количество, которое они обозначают — они означали удачу и неудачу, желания и сказки, религию и способ предсказания будущего.

Хотя мы учили числа в разное время и в разных местах, мы всегда начинали с одного. Здесь мы использовали груды камешков в качестве эквивалента чисел, а там мы делали насечки на палках или костях, но везде, даже сегодня, мужчины и женщины использовали свои пальцы для счета. Мы забываем, что такое органические числа — как они выросли из нашего тела, когда мы научились держать один палец вверх, чтобы обозначать один, или указывать на глаза для двух, и находить более высокие числа на пальцах рук и ног.

Нет необходимости считать, как мы делаем сейчас, чтобы ответить на основной вопрос сколько. Маленькие дети могут произносить числа от одного до одиннадцати и более, но у них есть разные способы сказать вам, сколько у них игрушек — одна, та, и другая, может быть, или всего двадцать два-два года.

ПОДСЧЕТ БЕЗ НОМЕРОВ

Считают ли животные так же, как и мы? Как бы хорошо мы ни думали о себе, не только мы понимаем понятие числа.Даже простая крыса может научиться нажимать на рычаг определенное количество раз или сделать третий поворот вправо (не второй или четвертый) в лабиринте, который приведет к награде. Голуби могут научиться клевать цель определенное количество раз — тридцать пять, а не сорок, или двадцать три, а не девятнадцать. Шимпанзе выберут поднос с семью шоколадными конфетами вместо шести. Умный Ганс, знаменитый счетный конь, использовал почти подсознательные сигналы своего дрессировщика и вычислил из них — не из числа — сколько раз топать копытом, но все эти животные в некотором роде считают.

Недавние исследования заставляют нас думать, что счет может быть просто встроен в наш мозг, будь мы голуби или люди. Обезьяны в исследовании Массачусетского технологического института связали компьютерные кадры, содержащие несколько точек, с кадрами, которые были разными, но содержали одинаковое количество точек. Нейроны в префронтальной коре головного мозга обезьян (часть мозга, которая принимает быстрые решения) перестроились, когда были показаны первые кадры, и когда те же числа снова появились, нейроны быстро реактивировались — обезьяны распознали число, хотя рамы были разные.

Но как цикады отслеживают годы, которые им нужны под землей? Они поднимаются через зеленую траву и на деревья раз в семнадцать лет, чтобы создать новое поколение, а затем возвращаются через бледные корни в темное подземелье, чтобы ждать и считать через все эти медленные зимы, прежде чем наступит точная весна и они будут готовы к восхождению. опять же, тысячи из них одновременно, чтобы найти себе пару.

Как муравьи находят дорогу домой? Или, если на то пошло, как они узнают, как вернуться к источнику пищи, когда они его нашли? Исследователи обучили пустынных муравьев путешествовать от своего гнезда к источнику пищи, а затем, чтобы проверить, влияет ли количество шагов, которые они должны были сделать, на их способность находить пищу, приклеили ходулеподобные удлинения к ногам некоторых муравьев и укорачивали ) ноги других.Новые высокие муравьи сделали то же количество шагов, которое они уже выучили, и прошли мимо своей еды. Укороченные муравьи прошли лишь часть пути к своей пищевой цели. Согласно выпуску журнала Science за 2006 год, , когда муравьи привыкли к своей новой длине ног, они отрегулировали свои внутренние шагомеры, отсчитывая их, и узнали, сколько шагов им теперь нужно сделать от гнезда до еды и обратно. очередной раз.

Группа ос помещает мертвых клопов в клетки развивающихся ос, чтобы использовать их в пищу.Разные виды ос используют разное количество жуков, но все они единообразны и всегда используют пять, десять или двадцать четыре. В одной группе десять клопов всегда помещаются с яйцами самок, но только пять — с самцами, потому что самки ос крупнее самцов. Кто-то считает.

Возможно, ошибки были организованы по шаблонам, чтобы их можно было распознать так же, как мы узнаем количество точек на паре игральных костей. На самом деле мы не считаем раз-два-три-четыре, до шести; мы смотрим на узор и знаем.Может, осы так поступают.

Дельфины могут распознавать строки, состоящие из восьми абстрактных фигур. Люди, какими бы умными они ни были, могут дойти до шести или, самое большее, семи. Мы должны ставить дефисы в наши телефонные номера — один после кода города, а другой после того, что раньше называлось АТС, потому что легче запомнить группу из трех цифр, другую группу из трех и группу из четырех , чем помнить непрерывную группу из десяти человек. Почтовые индексы заканчиваются на пяти; добавленный конкретный код еще четырех номеров отделяется от почтовых номеров дефисом.Считается ли запоминание номера телефона? Или это запоминание группы слов, которые означают число?

Обычно мы не останавливаемся и не считаем все, на что смотрим, пока группа не поднимется выше четырех или пяти. Мы смотрим на узор — квадрат с чем-то в каждом углу для четырех и с чем-то посередине для пяти или форму треугольника с чем-то на каждом из углов — и мы знаем число. Мы распознаем образец, и мы знаем, что образец означает число.Гараж на две машины имеет две двери и вмещает две машины, и это все, что большинству из нас нужно знать о нем. Но шесть, семь, восемь и, конечно же, еще больше — это слишком много, чтобы сосчитать с первого взгляда. Мы не дельфины.

В Южной Америке жила группа индейцев, у которых не было числовых слов больше трех. Но они могли распознавать группы вещей и знали, завершены они или нет. Когда они путешествовали, их сопровождали собаки — и хотя они не знали, сколько у них собак, они сразу знали, пропала ли одна из них, и звонили, пока собака не вернулась.Учителя в командировке работают примерно так же. Они чувствуют, как должна выглядеть группа, и если она выглядит неправильно, , затем они останавливаются и считают. Такой взгляд — стопка меньше, чем должна быть — дает вам важную информацию (чего-то не хватает), но не дает вам числа, не говорит, сколько у вас есть. Этот вид подсчета, шаблон с первого взгляда (на самом деле есть слово для этого: , подбитый под ), работает только с относительно небольшими числами.Если с учительницей будет тридцать или больше детей (а родителей, увы, нет), ей будет трудно узнать, не считая, когда один пропал.

До некоторой степени птицы могут делать то же самое. Возьмите одно яйцо из нескольких гнезд, и птица не обращает внимания. Возьмите два, и последний будет оставлен. Астроном и математик девятнадцатого века сэр Джон Лаббок писал о землевладельце, которого беспокоила ворона, решившая поселиться в его сторожевой башне. Он заходил в башню, чтобы отогнать птицу, а птица вылетала наружу и ждала, пока человек уйдет, а затем полетела обратно в гнездо.Спустя время помещик придумал, как обмануть птицу. Двое мужчин были отправлены в башню с указанием одному подождать внутри, а другой уйдет; ожидалось, что когда птица увидит уходящего человека, она почувствует себя в безопасности и полетит обратно внутрь, где оставшийся человек сможет с ней справиться. Но у птицы хватило ума дождаться, пока они оба уйдут, прежде чем она вернется в гнездо. На следующий день трое мужчин вошли в башню, а двое ушли. Умную птицу не обманули; он снова терпеливо подождал, пока все трое не уйдут, а затем счастливо улетел обратно в башню.В башню вошли четверо мужчин; осталось три; птица ждала последнего человека перед отлетом домой. Наконец в башню вошли пять человек; четыре слева; и на этот раз птица снова прилетела, пока пятый человек все еще был там. Вывод: птица умела считать до четырех, но не до пяти.

Первый принцип заключается в том, что вы не должны обмануть себя — вас легче всего обмануть.

РИЧАРД ФЕЙНМАН, АДРЕС НАЧАЛА В КАЛТЕХЕ, 1974 г.

Птица знала количество, даже если не количество, даже если их было всего четыре.Это начало счета. Осознавать себя — это первый шаг к осознанию другого; и знание того, что их двое — я и ты, — это первый шаг к подсчету остального мира. В конце концов мы узнаем, что счету нет конца — что он продолжается вечно, и даже тогда может быть еще один. Для того, чтобы делать это, чтобы считать до бесконечности, нам понадобятся числа, которые позволят это сделать.

Мы можем достичь всех наших чисел, чтобы считать до бесконечности, используя очень мало цифр и слов.У нас есть только десять цифр, с которыми мы будем работать, независимо от того, что мы считаем: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. У каждой из этих цифр есть собственное имя — один, два. , три и так далее с десяти до двенадцати. После этого долгое время числовые имена были просто комбинацией слов, которые были раньше: тринадцать — это три и десять; двадцать это две десятки. Девяносто девять — это девять десятков и девять. Когда мы добавляем еще один, мы получаем сотню, первое новое имя числа после двенадцати. Следующая — тысяча, а следующая за ней — очень далеко — миллион — так мало слов и цифр для такого количества чисел!

Демократия не в голосовании, а в подсчете голосов.

TOM STOPPARD, JUMPERS

Точно так же в английском алфавите всего двадцать шесть букв, которых достаточно, чтобы охватить и Шекспира, и братьев Маркс, и все, что было до и после. Словарь, сказал Анатоль Франс, — это вселенная в алфавитном порядке. Был только один Шекспир; было три главных брата Маркс; в словаре миллионы слов и во Вселенной есть числа. Но в английском алфавите по-прежнему всего двадцать шесть букв и всего десять цифр.Этих десяти цифр достаточно, чтобы сосчитать все слова, когда-либо произнесенные кем-либо, и все буквы во всех словах. Кроме того, десять цифр — это все, что нам нужно, чтобы считать каждую песчинку, каждую звезду, каждые штук, — даже каждые штук, — как расстояние в пустом пространстве — во Вселенной.

ПЕРВЫЙ БЫЛ ОДИН

Первым числом, о котором нужно было подумать, неизбежно — потому что оно было первым, которое понадобилось — был один, это внутреннее число. На время может хватить: один сегодня, один сейчас, один — я, один — я, один — первый.

Пока вам нужен только один номер, жизнь проста. Если у вас есть только один предмет, вам не нужно его считать. Это либо есть, либо нет. Вы сразу понимаете: вы это видите или нет. Только когда вы добавите еще один, еще один — и еще один — отслеживать становится сложно, и вам нужно больше чисел. Цифры — признак изобилия.

Но даже при большом количестве вы можете некоторое время использовать только один. Насечки на древних костях — первые известные нам письменные подсчеты — представляют собой просто линии из одной линии, как зарубки на прикладе или царапины, сделанные на стене тюрьмы при заходе солнца.

Эти линии, тщательно выгравированные на кости животного, должно быть, появились после самых первых подсчетов, тех, которые мы сделали на наших пальцах. Указательный палец указывает горизонтально; он считается в вертикальном положении. Один палец; один номер. Большинство систем счета основаны на пяти (одна рука), десять (две руки) или двадцать (пальцы рук и ног). Латинское слово для обозначения пальцев — digiti; наши пальцы — это цифры, и числа тоже есть цифры. В средние века цифр использовались для обозначения единичных чисел десятичной системы, а артикулов (суставов) означали десятки; затем цифр стали обозначать сами цифры. Когда мы говорим о цифровых вычислениях, мы имеем в виду вычисления с помощью чисел — довольно быстро.

Счет пальцами дает большие преимущества. Если повезет, они всегда рядом. Они хорошо видны — другие люди могут их видеть, если вы хотите. Вы можете почувствовать, на что рассчитываете. Они портативны; куда бы вы ни пошли, они идут с вами. Но проблема в том, что они не постоянные. Вы поднимаете два пальца, и все понимают, что вы имеете в виду два. Когда вы опускаете пальцы, два исчезают.Это не оставляет никаких записей. Вы не можете несколько дней ходить с двумя пальцами в воздухе — они вам понадобятся для других целей. Если у вас не будет больше рук, чем у большинства из нас, вы не сможете считать очень высоко и можете одновременно считать только один вид вещей — птиц или бананы, но не то и другое одновременно. (Подробнее о подсчете пальцев, который может быть на удивление сложным, — в следующих главах.)

Должны были быть способы получше. И были. Везде и всегда был кто-то, кто нашел лучший способ.

ОДИН К ОДНОМ

Как люди, мы начали свой путь из теплых мест — Африки и того, что мы называем Ближним Востоком.Фрукты и злаки росли в нашем саду естественным образом, и долгое время мы были счастливы там, грызя то, что росло на деревьях. Проходили годы — эоны — пока мы ели, пока мы не наполнились плодами, так что мы стали плодовитыми и умножились. Мы начали блуждать, и в новых местах, которые мы нашли, мы охотились, собирали мусор и пробирались, пока постепенно и медленно мы не научились приручать дикую природу — а это, в свою очередь, приручило нас.

Мы научились сажать семена и остались собирать то, что из них выросло.У нас были фермы, а вскоре и соседи. Были даже села — небольшие группы ферм и люди, обеспечивающие потребности друг друга. Если в одной семье были коровы, в другой могло быть больше зерна, а в третьей — оливки для производства масла или виноград для вина. И поэтому мы начали изучать вещи, помимо посева, жатвы и ухода за животными, потому что мы хотели торговать, и как вы можете делать это — или продавать — если вы не умеете считать? Как вы можете измерить свою землю, если у вас нет никаких цифр? И если вы начинаете знать способы счета — не зная никаких чисел — как вы можете отслеживать свои счета?

После пальцев первый счет был простым: один на один. Когда коровы утром вышли в поле, фермер сделал кучу гальки: по камешку на каждую корову. (Наши слова вычисляют , а исчисление происходит от латинского исчисления, камешка и греческого халиков, камня или известняка.) В конце дня коровы возвращались, одна за другой. , фермер убирал гальку из кучи, пока не исчезла вся галька. Если оставался один камешек, не хватало одной коровы. Если кто-нибудь спросит, сколько коров у фермера, он может указать на кучу гальки и авторитетно сказать: «Столько.»Мы смотрим на зал, полный пустых мест; в зале пятьсот человек. Когда места заполнены, мы знаем, не считая, сколько там людей. Четверки, которые используют мусульмане, буддисты и католики, — это еще один вид счет один к одному: одна бусина на каждую молитву, поэтому можно молиться, не теряя при этом, сколько молитв было произнесено в последовательности.

Камешки сначала работали, но они были лишь немного полезнее, чем пальцы: они идут медленно, один за другим; груды гальки могут перевернуться; один камешек похож на другой; и вести постоянный учет сложно. Кто-нибудь может случайно опрокинуть кучу, галька легко потеряется, а кучу гальки сложно передвинуть. И снова нужно было что-то лучшее.

То, что было дальше, было на удивление постоянным: зазубрины в костях. Самой старой — бедренной кости павиана с двадцатью девятью зазубринами — тридцать пять тысяч лет. Он был обнаружен в горах Лебомбо в Африке. Найденной в Европе волчьей кости тридцать тысяч лет. В нем пятьдесят пять выемок. Наше слово tally происходит от латинского слова talla, cut, как отрезанная веточка.

Кости (и деревянные палки) было легче использовать, чем гальку — палку можно было держать в одной руке, и поскольку каждая вещь, каждая овца, возможно, возвращались в загон, большой палец мог скользить с одной выемки на другую. следующий. Когда весной появлялся новый ягненок, для его изображения можно было вырезать новую выемку. Палки можно было носить с собой — и их можно было разделить пополам, чтобы заемщик мог иметь постоянную и надежную запись того, что он взял. Когда он погасил свой долг, две половинки зубчатой ​​палки могли быть сопоставлены — и отчет о том, сколько именно был заимствован, будет ясен.

Зубчатые палки — одно из первых изобретений человека. Они пришли после того, как узнали, как использовать инструменты для охоты, но до изобретения колеса. И спустя много тысячелетий мы по-прежнему считаем так, когда нам нужно. Мужчины, работающие в Южной Калифорнии, обычно записывали свои дни, отрезая на каждый день линию в куске дерева; они использовали более глубокую или толстую линию в конце каждой недели и крестик в конце каждых двух недель. Ковбои делали зазубрины на своих прикладах для каждого убитого буйвола или для каждого индейца.Во время обеих мировых войн пилоты рисовали декали на своих самолетах, чтобы отметить количество сбитых ими самолетов противника — еще один своего рода личный рекорд. В Англии насечки на деревянных дубинках обозначали разные суммы фунтов стерлингов. Чарльз Диккенс в речи, произнесенной в 1855 году, рассказал о

жестоком способе ведения счетов на зубчатых палках . .. введенном в казначейский суд, [где] счета хранились, так же как Робинзон Крузо держал свой календарь на пустынный остров … .Официальный распорядок склонялся к этим зубчатым палкам, как если бы они были столпами конституции, и тем не менее счета Казначейства продолжали храниться на определенных лубках из вяза, называемых «счетчиками». В правление Георга III какой-то революционный дух задался вопросом: существуют ли ручки, чернила и бумага, грифели и карандаши, следует ли продолжать эту упорную приверженность устаревшему обычаю и не следует ли вносить изменения? быть произведенным. Вся бюрократическая волокита в стране покраснела при одном упоминании этой смелой и оригинальной концепции, и потребовалось до 1826 года, чтобы отменить эти палки.

Английское королевское казначейство вело свои счета на счетных палках с двенадцатого века. Доходы, расходы, налоги — все засчитывалось в счетах. И еще: выпущены двухзубые палочки; Половина палки с одним набором зазубрин могла быть обменяна (при условии, что она совпадает — или подсчитана) за наличные через Казначейство, в котором находился соответствующий кусок. Таким образом, письменный (или рифленый) сертификат, подлежащий оплате предъявителю после того, как он согласился с его обеспечением: чек. Слова , акции, и , дивиденды, также восходят к счетным палочкам Казначейства — акции были специально отмеченными счетными палками, которыми владел каждый, кто ссужал деньги Банку Англии и, таким образом, становился акцией — или акцией— держатель.Первоначально дивиденды представляли собой дивиденды Tallia — «палку для деления», подлежащую погашению через Казначейство.

Казначейский суд не получил свое название от банковских чеков. Вместо этого он был назван в честь ткани, покрывавшей стол в комнате, куда приходили местные администраторы, чтобы свести счеты с Короной. Ткань была клетчатой, так что фишки можно было размещать в квадратах, соответствующих разным размерам; окончательная сумма вносилась как в бухгалтерскую книгу, так и на счетную палочку — и каждый мог понять процесс, даже если они не знали, как читать или писать.

В 1782 году было решено, что счетные палочки больше не будут выдаваться Королевским казначейством, но они оставались действительными до 1826 года. В 1834 году процесс сжигания огромного количества устаревших счетных палок начался в печах под Домами Парламент. К сожалению, пожар был настолько сильным, что сами здания парламента загорелись и загорелись. В своей речи 1855 года Диккенс продолжил описание использования казначейским судом счетов для ведения счетов.»Случилось так, что [бюллетени] были сожжены в печи в Палате лордов. Печь, переполненная этими нелепыми палками, подожгла обшивку; обшивка подожгла Палату лордов; Палату лордов подожгли палату общин; эти два дома были превращены в пепел; архитекторы были приглашены для строительства других; сейчас мы находимся на втором миллионе его стоимости; национальная свинья еще не достигла предела; а маленький старуха Британия сегодня не вернулась домой.«

Британия не была единственной в использовании палок с зубьями. Счетные палочки использовались в Германии, Швейцарии, по всей Скандинавии, в Индокитае и во многих других местах. Слово для контракта на китайском языке написано с иероглиф, состоящий из трех частей: символ для подсчета слева, нож справа и под обоими, еще один символ, который означает большой. Таким образом, контракт — это большая подсчетная палка.

In The Universal History of Numbers, Жорж Ифра пишет о французской пекарне, где до 1970-х годов счетные палочки использовались как своего рода кредитные карты.Два маленьких куска дерева, называемые tailles, , надрезались каждый раз, когда покупатель покупал буханку хлеба; пекарь оставил одну доску, а покупатель отнес вторую домой с хлебом. В конце недели две доски были сопоставлены — насечки должны были быть одинаковыми — и счет был оплачен.

АГА!

Учетные палочки прослужили, потому что работают. Но даже в этом случае, несмотря на то, что они портативные и постоянные, у них есть недостатки. Вероятно, они начали до оседлого земледелия; но когда группы ферм превратились в города и деревни, потребовалось что-то большее, что-то лучшее. Пришлось разделить землю и установить границы. Рабочим приходилось платить зерном или кувшинами с маслом. Необходимо было отслеживать посевы, чтобы в любое время года оставалась еда, а семян оставалось достаточно для повторной посадки весной. Животных нужно было пересчитать и пересчитать. Пришлось платить налоги и подати. Дни нужно было пронумеровать, чтобы фермеры знали, когда будет полная луна и, таким образом, дни для работы в полях увеличатся, а когда солнце зайдет в южном небе, поскольку дни становятся короче, а ночи холодными и длинными.

Резьба по костям была сложной задачей; деревянные палки были относительно хрупкими и легковоспламеняющимися. Фермеры вместо этого начали лепить жетоны из глины, чтобы служить той же цели — подсчет один к одному, но без номеров. Жетоны легко переносились с одного места на другое, и их хватало столько, сколько было нужно. Самое главное, они сделали следующий шаг более очевидным: может быть несколько фигур. Круглый жетон мог быть эквивалентен одному из того, что считалось, а овальный жетон — десяти. А потом: насколько проще иметь десять овальных жетонов вместо ста круглых! Какой простой, но удивительный скачок вперед — тем более, что с нашей точки зрения он может показаться неизбежным. Дорога редко бывает чистой без карты, а первые счетчики ехали в неизвестной стране номеров.

Было много моментов гения на пути к тому, где мы сейчас находимся (и их, несомненно, еще впереди) — чистая Ага! моменты, которые кажутся такими простыми, когда мы оглядываемся на них, но были такими сложными и скрытыми до того, как кто-то подумал о них.Мы научились делать жетоны вместо вырезания костей, и мы научились делать простые формы, представляющие разное количество. Следующий скачок был значительно больше: жетоны могли иметь разную форму не только для отображения количества, но и для обозначения подсчитываемого объекта — банки с пивом или вином могли иметь одну форму; буханки хлеба другой; можно было сказать, посмотрев (без письменных слов), что именно считается. Сначала фигура объекта, а затем фигура числа.

Ни один человек не приобретает собственность, не приобретя с ней также немного арифметики.

РАЛЬФ УОЛДО ЭМЕРСОН, ПРЕДСТАВИТЕЛИ

Шумеры подхватили эту идею и сделали ее удивительно смелой. Они жили на Плодородном полумесяце, сладкой земле между реками Тигр и Евфрат, на территории нынешнего южного Ирака. Их ранние поселения превратились в поселки и деревни, а затем в города. Самым большим был Ур; там проживало около двадцати пяти тысяч человек и еще двадцать тысяч в том, что мы теперь называем столичной зоной.На Плодородном полумесяце были и другие большие города, и они неизбежно начали специализироваться и торговать древесиной на золото или серебро, ячменем и кукурузой на масло и вино. Чтобы торговать, они должны были доставлять свою продукцию по суше или по воде, и им приходилось следить за тем, что происходило и что приближалось.

Ко второму тысячелетию до нашей эры у них были глиняные жетоны. Но проблемы остались. Кто-то мог послать двадцать пять весов зерна, которые сопровождались бы двадцатью пятью жетонами. Невозможно было остановить грузоотправителя, если он был достаточно жадным и смелым, взяв один груз и один жетон — получатель никогда бы не узнал, что произошло, что он не получает то, за что платит.Продавец, в равной степени не зная, тоже может быть обманут. Чтобы этого не произошло — и не допустить подозрений — отправитель должен был точно знать, что было отправлено; запись должна была сопровождать товары во время их путешествия; и получатель должен был знать, что получает то, за что заплатил.

Глиняные жетоны не справились с этой задачей — их слишком легко взять. Их можно было положить в сумку — может, это сработает — но тогда любой сможет ее открыть. Было необходимо что-то долговечное, чтобы сопровождать груз до тех пор, пока он не будет доставлен благополучно.Решение? Оберните жетоны глиной и запечатайте обернутые глиной жетоны, выпекая все это целиком. Когда посылка прибыла, покупатель мог вскрыть глиняный пакет и пересчитать жетоны внутри. Матч всех порадовал.

На время. Как только пакеты были вскрыты, их полезность закончилась. Все, что осталось, это куча жетонов. Учитывая, что в каждой транзакции участвовали три стороны: отправитель, грузоотправитель и получатель, каждая из них должна была знать, что двое других были честными — что подсчет совпадал с отправкой от начала до конца.Должен был быть еще один шаг.

Что, если отправитель нарисовал бы изображение на снаружи глиняной обертки, показывающее количество жетонов внутри? Тогда пакет можно было запечатать, чтобы получатель узнал, если кто-нибудь попытается его открыть. Подробнее: что, если бы отправитель использовал ту же теорию, на которой были основаны сами токены? Он мог нарисовать одну форму для обозначения зерна или другую для обозначения масла, а затем он мог создать второй набор символов для обозначения количества — одну форму, простую линию, чтобы обозначать число один, а другое — десять.Теперь снаружи будет изображение, на котором точно соответствует внутри, с печатью отправителя для подтверждения посылки. Это сработает! Когда печать будет сломана и пакет будет открыт, жетоны внутри будут соответствовать изображению на внешней стороне, и груз будет в безопасности.

Но Ага! После всего этого, зайдя так далеко, зачем беспокоиться о внутренней части, со всеми этими надоедливыми маленькими жетонами? Все, что нужно знать каждому, было четко изображено на за пределами глиняного конверта.Забудьте о жетонах! Когда груз прибыл, грузоотправитель мог перепроверить, чтобы убедиться, что цифры на табличке совпадают с грузом, а покупатель мог ясно и легко сказать, был ли он обманут или имел дело с честными людьми. Обертка больше не была оберткой. Это была сама вещь . Это была глиняная табличка. Это был счет-фактура . И картинок было написано на нем . Это был счет, это была запись, и это писалось. Счет предшествовал записи .Подсчет дал писем. Мы считали, потому что нам это нужно, а затем мы научились записывать то, что мы посчитали. И оттуда мы полетели на годы к поэзии, библиотекам, спискам покупок и конституциям. Один, два и три. И многое другое в будущем.

ДРУГОЙ ЗАПИСЬ

Для такого важного числа, начало всего, одно довольно простое. Выглядит просто. В нем нет тонкости; он просто стоит там, прямой и высокий, цельный и без украшений. У него нет завитков или петель, нет углов, о которых стоит говорить, ничего мягкого, никаких женственных изгибов, только одна прочная линия, сверху вниз, сплошная.В лучшем случае на нем есть половина стрелки наверху — или, если хотите, небольшая шляпа, наклоненная набок в несколько бойкой попытке выглядеть жизнерадостной. Иногда у него на дне есть крошечная платформа, на которой можно стоять, но он остается скромным и единым, несколько упрямым, нерушимым, за исключением частей. Сама его солидность и упорство делают его вполне безопасным, но тут нет никакой связи. Я считаю одного одиноким и немного скучным — или, по крайней мере, скучным. В конце концов, одинокий и одинокий в обоих есть одно; и только один, и нет ничего хуже, даже одного.

Один есть один и все один, и так будет еще больше.

«GREEN GROW THE RUSHES», АНГЛИЙСКАЯ НАРОДНАЯ ПЕСНЯ

Действительно, можно добиться многого (один плюс один навсегда), но остается так мало. Он должен быть наполнен тоской (это холостяк — определенно фаллической), тоской по другому, как это делал Адам, совсем один в Эдеме. Есть уединенные радости, и некоторые из них великолепны, но так много в нас построено на идее двух: глаза, уши, руки — два почти так же основополагающие для нашей природы, как и один.Тем более, если признается необходимость делиться. «Смотреть!» мы хотим сказать, когда видим что-то необычное. Или «Ты это слышал?» Один — это начало, сущность, один — это то, из чего все сделано, и к чему мы всегда должны возвращаться, но от этого никуда не деться — один один и может быть одиноким. Один — это я, сначала один, а наконец, один.

Но что бы ни случилось дальше, один был здесь первым. А с другой стороны, одно — это все, что отделяет нас от ничего, пустота, вымирание — ноль, хотя ноль наступил спустя много времени после того, как человек ничего не оставил позади. Один был первым.

Одно — различие и различие. Один в стороне; один известен. Один — это место, вещь, точка, точка. Без него нет счета, хотя его и не нужно считать — он просто есть. Но ведь без него нет ничего.

Один — это целое число , — целое число, а один — целостность. Простота и необычность одного обманчивы, потому что одно есть все. Он охватывает все и охватывает бесконечность. Может выдержать небольшое одиночество.

Первое числовое слово в английском языке, one, происходит от латинского слова une . Unus — корень таких слов, как союз, единство, унисон, уникальный (единственный в своем роде) и единодушный (единодушный). Это также источник, косвенно, через англосаксонский, для a и an, оба означают одно. Яблоко — одно яблоко; банан — один банан. Быть единым целым — значит быть целым, что дает нам такие слова, как святой, полезный — даже здоровый и здоровый . Искупление — это тоже одно, чтобы снова быть единым, как и однажды, , когда это произошло первым.

Раннее латинское слово для одного было oinos — странно похоже на лук (который можно определить как одну очень вкусную сферу, охватывающую множество слоев). Индоевропейский прототип был, по разному, oi-no, oi-ko, или oi-wo . На санскрите это слово — эка; на немецком языке, ein; на русском языке, один; на ирландском языке, oin .

Древние египетские иероглифы, обозначающие все царства и династии, показывают число один как знакомую прямую линию. В более поздние годы египетские резчики, очевидно, любили головоломки и словесные игры, а в некоторых своих надписях использовали картинки для обозначения чисел. Один иногда изображался в виде круглого круга — солнце, потому что есть только одно солнце, даже если оно продолжает появляться, — или его можно было показать как небольшую изогнутую вверх линию с вершиной круга, выглядывающим поверх вершины, представляя Луна по той же причине.

В том же духе — хотя и не в качестве головоломки — индийские математики использовали различные поэтические концепции для выражения чисел. Известные нам числа восходят к древней Индии; в одиннадцатом веке персидский астроном написал о числах, используемых в индийских астрономических таблицах, и сказал, что, когда было трудно написать слово для числа в определенном месте в таблицах, астрономы могли выбирать из «среди его сестер». Цитируя великого индийского астронома и математика VII века Брахмагупту, он продолжал: «Если вы хотите написать что-то одно, выразите это словом, обозначающим нечто уникальное, например, Землю или Луну.Среди других родственных слов для номера один были «Предок», относящийся к Брахме, считающемуся творцом вселенной, «Начало» и «Тело».

РИМЛЯНЫ И ГРЕКИ ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ

Латинские слова, напечатанные на американских монетах, говорят нам, что одно означает объединение в унисон: e pluribus unum — из многих, один. Древние греки — пифагорейцы — видели одно по-другому, противоположным образом: из одного , много

Числа всегда были способом объяснения мира, будь то шумерские знаки и таблички, формулы Эйнштейна или всеобъемлющий взгляд на i. Пифагор родился примерно в 580 г. до н.э. на острове Самос, в молодости путешествовал по Египту и Вавилону и в конце концов основал школу в Великой Греции (южная Италия), которая стала основой скрытного Пифагорейского Братства.

В школе учились триста богатых и влиятельных молодых людей. Они были разделены на две группы: внешний круг, akousmatikoi, (те, кто слышит — от нашего слова «акустика») изучили правила поведения группы. Как только они были освоены, его участники могли переходить во внутренний круг, называемый mathematikoi .(Считается, что Пифагор изобрел слово математика, , означающее «то, что познается», а также слово философия, «любовь к мудрости».) Они изучили самые сокровенные и трудные из истин Пифагора — -в области геометрии, астрономии, теории чисел и музыки.

Музыка была основой их исследований, поскольку Пифагор считал, что Вселенная поет — что в небе есть буквальная музыка, образованная движением планет и состоящая из тонов, основанных на числовых частотах и ​​соотношениях. Он считал, что числа позволяют нам понять, что музыкальные гармонии — но даже сверх того, он полагал, что числа существовали до существовала физическая реальность, даже эти числа создают, а — это физическая реальность , строительные блоки вселенной, причина всего. что существует. Пифагорейцы считали, что только через число и форму человек может постичь природу Вселенной. Все, что равно , может быть пронумеровано.

Нечетное и четное являются элементами числа, из которых один бесконечен, а другой конечен, а единица является произведением обоих из них, поскольку оно и нечетное, и четное, а число возникает из единицы, и все небо, как было сказано, есть число.

ARISTOTLE

Все началось, когда Пифагор обнаружил взаимосвязь между длиной струны и звуком, который она издает, когда ее щипают; он понял, что если струна укорачивается до половины от ее первоначальной длины, звук, который она производит, будет на октаву выше, чем исходная нота, звук, который он описал как приятный и «гармоничный». Затем он определил длину струны, необходимую для других гармоний — при трех четвертях ее первоначальной длины струна производит тон, который мы называем четвертым; на двух третях его длины тон равен пятой.Хотя мы знаем, что тона меняются из-за того, что колебания струны меняются на разной длине, Пифагор вместо этого полагал, что гармонии зависят от соотношений между числами и что в конечном итоге все зависит от чисел. Для него небеса были музыкальной шкалой.

Музыка — это арифметика звуков, как оптика — это геометрия света.

CLAUDE DEBUSSY

Я сам понял своеобразную форму математики и гармоний, которая была странной для всего мира, кроме меня.

JELLY ROLL MORTON

(В каком-то смысле Эйнштейн верил в нечто подобное. Однажды он сказал, что Бетховен создал музыку, которую он написал, но музыка Моцарта «была настолько чистой, что казалось, что она всегда присутствовала во Вселенной, ожидая своего часа». быть обнаруженным мастером ». Эйнштейн видел физику таким образом — что за пределами наблюдения и теории была музыка сфер,« предустановленная гармония », ожидающая своего открытия.)

Пифагор верил в миграцию души после смерти и разработал обряд очищения души для подготовки к путешествиям.Поскольку души друзей могли вернуться в виде животных, вегетарианство было предпочтительнее мясоедения. Но есть фасоль запретили. Аристотель сказал, что одной из причин табу на бобы была возможность того, что бобы могли возникнуть одновременно с людьми в момент создания вселенной, а также то, что бобы напоминают гениталии.

Братство было религиозным и мистическим, и практичным. Он разработал принципы, которые повлияли на Платона и Аристотеля, а также на большую часть западной рациональной философии.Первые математические доказательства были у пифагорейцев; они разработали математическую теорию, которая используется до сих пор — вы узнали о прямоугольных треугольниках в геометрии средней школы. (Сумма квадратов длин двух более коротких сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы, которая является самой длинной стороной. )

Но помимо гипотенузы, большая часть пифагорейской традиции находится в области мистической мудрости, а не науки и науки, математики и геометрии, какими мы их знаем сегодня.Хорошим примером является вера пифагора в то, что нечетные числа (один, три, пять, семь, девять …) неразрывны, следовательно, являются мужскими и небесными по своей природе, и что четные числа (два, четыре, шесть, восемь, десять … .) растворимы, поэтому женственны, эфемерны и земны. Эта двойственность мужского и женского начала существовала для пифагорейцев за пределами деления чисел на мужское и женское. Они разделили реальность на две части: разум и дух были выровнены с царством богов, которым был мужчина; тело и материя были царством земли, которая была женской.В целом номера принадлежали мужчине; размышления о числах и математические задачи были мужской работой, связанной с богами и с преодолением всего материального. «Именно здесь, — писала Маргарет Вертхайм в The New York Times в 2006 году, — мы начинаем видеть семена современной физики». Были основаны первые университеты для обучения духовенства. Женщины не могли быть священниками, поэтому они не могли быть студентами университетов, а физические факультеты в двадцатом веке часто последними принимали женщин в качестве студентов или профессоров.

(Между тем на другом конце света китайцы считали, что нечетные числа означают белый цвет, день, тепло, солнце и огонь, а четные числа — противоположное: черный, ночь, холод, вода, земля. Китайская инь и ян ​​представляют нечетные и четные числа. Ян — мужское начало и представляет солнце, день, лето, свет и открытость. Инь женское — луну, ночь, зиму, тень, тайну. Они чередуются, одно за другие, вместе и соприкасаясь, один и два навсегда.)

Для пифагорейцев отдельные числа не только обладали абстрактными качествами, такими как мужественность и приземленность, но также могли быть отождествлены с человеческими качествами.Во-первых, поскольку это неизменяемо, они связаны с разумом; два, с его парами и противоположностями, по мнению или полярности. Гармония была собственностью троих. Четыре означает справедливость, потому что это произведение равных (два плюс два) и потому что квадраты с четырьмя четными сторонами являются идеальными фигурами; четыре также представляли пространство и материю. Пятерка представляет брак, потому что это первый союз женского числа с мужским числом (два плюс три равняется пяти) — и так далее через числа до идеальной пифагорейской десяти.

Проблема с одним для пифагорейцев заключалась в том, что при всей его неизменной разумности они вообще не верили, что это число. Числа были совокупностями, состоящими из отдельных единиц — чего-то плюс что-то, — но, как они думали, одно — это целостность, полная сама по себе. (У них не было грузовика с дробями.) У них был один, а их было больше. Один — «то, что есть»; это утверждение существования: один — это . У одного нет отдельных единиц; это — это единица, — единица, противоположность идее многих, противоположность множественного числа. Одно чистое и сильное, и они считали, что это единственная неделимая вещь, из которой произошли числа — не других чисел , потому что одно было не числом, а числами . Числа были своего рода идеей, как потомство первого человека, того, кем был Адам. Один — это номер отца. (И два, как и Ева, — это материнское число. Но мы еще не двое.)

Эта концепция единицы, как источника чисел, но не числа сама по себе, существовала в Средние века.В рукописи XII века, Салемский кодекс , сказано: «Каждое число может быть удвоено и уменьшено вдвое, кроме единицы; это, правда, может быть удвоено, но не уменьшено вдвое — в чем Лиет скрыл великий Мистериум [Бог] . » Немецкий математик шестнадцатого века согласился: «1 — это не число, но это образующая, начало и основание всех остальных чисел». В книге « числовых слов и числовых символов», Карл Меннингер цитирует Майкла Стевина как первого математика, который в 1585 году сказал, что это число.Он доказал это, сказав, что если вычесть один из трех, у вас останется два; если бы один не был числом, вычитание единицы из трех оставило бы три нетронутыми.

Спустя тысячи лет после древних греков Фрейд обнаружил, что один идеальный фаллический символ. Он прямой и прочный, такой же изящный фаллический символ, как стебель спаржи — возможно, лучше, потому что он не зеленый. Будь то его идеально колючая форма или какое-то числовое и лингвистическое свидетельство мужской природы, есть языки, в которых слово одно и слово мужчина — и даже больше, даже просто слово для пениса — одно и то же: мужчина, пенис, одно — все сводится к одному и тому же.

Есть также языки — другие языки — в которых слово для Бог совпадает со словом для один, и два то же самое, что и слово для грех , потому что два — это первый шаг от человека, а значит, шаг от Бога. На других языках, в том числе на раннем иврите и арабском, числа начинались с двух — как у пифагорейцев, но здесь это было потому, что один был числом для Бога (например, «Бог один» или «Бог один») , и был предназначен только для Бога.

ПЕРВЫЙ И РАЗ, И ВСЕГДА

Математически единица — это первое нечетное число. Но тогда все первое — первое — первое почти определяет. Вы не можете иметь ничего в первую очередь, не имея его.

Первый — это слово, которое выполняет тяжелую работу как прилагательное, так и существительное. Он охватывает все: от большого пальца ноги до начальных строк стихотворения и основы справа от домашней пластины в бейсболе. Он имеет дело со временем — это может быть самое раннее, — а также с самой низкой передачей вашего автомобиля; он стоит перед всеми другими по рангу или происхождению; это начало и это выигрышный номер.Жена президента — первая леди; когда-нибудь, возможно, муж президента станет Первым джентльменом, если не Первым мужчиной. По именам — начало дружбы. Первое место лучше всего.

Последнее, что человек знает при написании книги, — это то, что ставить в первую очередь.

BLAISE PASCAL, PENSEES

Первый — порядковое слово для единицы, — кардинальное слово. Другими словами, один — это число в ряду — один, два, три, в конечном итоге сообщающее вам, сколько их всего; первая — или вторая, или третья — сообщает вам позицию числа в серии.

Первый и второй — это слова, которые не имеют ничего очевидного общего с одним и двумя, хотя очевидно, что третий, четвертый, пятый и так далее — происходят от трех, четырех, пяти …. То же самое верно и для других языков — начиная с греческого, латыни и ранее. Первый связан со словами, означающими «до» или «впереди» — индоевропейский pro, «до» и санскирт puras, «впереди», со временем эволюционировал (с fr звук, заменяющий звук пр ) в первую очередь на , и затем на сначала на .(На немецком языке первый — это erst, что первоначально означало «раннее утро».) Второй связан со словами, означающими «другой», как латинское alter, и индоевропейский корень anteros означает «другой из двух» или «следующий», и латинское sequi, «следовать» и secundus, «следующий после первого».

Во многих местах счет шел только от одного до двух — одно было в единственном числе, два во множественном, а за двумя было огромное множество, идея многих .Точно так же может оказаться, что нам потребовалось столько времени, чтобы установить связь между количеством элементов, равным единице, и порядковым номером первого, а затем двух и второго. Второй был отключен от двух; скорее, это было просто следующим. К тому времени, когда мы достигли трех и третьего, мы не только поняли число после двух, мы также начали понимать отношения; третье было не просто одно за другим. Это была одна из серии — по сути, третья. Мы не так уж сильно отличаемся от племени Папуа-Новой Гвинеи.В их языке, Понам, единственные слова, которые показывают расположение, — это первое, среднее и последнее — все остальное не имеет значения, хотя в Понаме много чисел, с которыми можно рассчитывать.

Преимущество плохой памяти в том, что человек впервые получает несколько раз одни и те же хорошие вещи.

FRIEDRICH NIETZSCHE

Первичный и вторичный, снова от латинского primus и secundus, «первый» и «второй», за которыми следуют третичные (третьи), четвертичные , семеричный, восьмеричный, нонарный, динарийный, дуоденарный — что приводит нас к двенадцатому — а затем скачок к вигенарию, двадцатому.С десятого на двенадцатое место произошел небольшой скачок — у одиннадцатого места, увы, нет ни слова. Таким же образом, один, два раза, и трижды, за следует полный пробел — нет отдельных слов четыре раза, пять раз или любое другое количество раз; очевидно, говорит Oxford English Dictionary, , обычно надежный источник, наш язык никогда не нуждался в числовых словах после трижды . Еще. Обратите внимание, что айва — это фрукт, и это не имеет никакого отношения к тому, сколько раз вам удавалось найти такой фрукт на дереве.Его название происходит довольно окольными путями из множества слов, которые в основном означают вид яблока — хотя, если вы разрежете яблоко пополам через его середину, вы найдете пятиконечную звезду.

Еще одна причуда в этой категории странностей числовых слов — это произношение один — и, если на то пошло, один раз . Слова, производные от one, , например, только , одни, и исключают, дают o долгий звук — то, что миссис Куинн, моя учительница пятого класса, сказала бы, было письмом, говорящим его собственное имя . O как в go, toe, row, over и oh. По-видимому, то, как мы произносим one — как wun вместо w-oe-n — можно проследить до западной Англии и Уэльса в средние века, когда гласный звук начал серию изменений — с o. как собственное на o как на загрузочное до o как на взятое, а затем o как на одно. Последний звук застрял, а затем распространился. Другие гласные звуки также изменились в этих местах (овес, например, изменился с длинного звука o ой-тс на звук и в сокращениях), но осталось только произношение , и , когда остались. вокруг, чтобы звучать так, как мы его используем сегодня.

«Вы умеете складывать?» — спросила Белая Королева. «Что такое один, и один, и один, и один, и один, и один, и один, и один, и один, и один?»

«Не знаю, — сказала Алиса, — я сбилась со счета».

ЛЬЮИС КЕРРОЛЛ, ЧЕРЕЗ СМОТРЕТЬ СТЕКЛО

Произношение единицы, тогда , является странным, а единица — нечетным числом, по крайней мере, математически. Нечетные числа нелегко разделить на две равные стопки — всегда что-то остается.Они солидные и самодовольные. Как и Папай, они, кажется, говорят: «Я даю то, что говорю». И они всегда ели банку шпината.

Но в душе нет ничего странного в одном. Это — это число; это великолепное число. Это часть бесконечной серии, которая достигает звезд, но всегда начинается с номера один.

Если у вас есть одно число, у вас есть каждое число, потому что каждое число должно начинаться с единицы, и потому что независимо от того, какое у вас число, независимо от того, насколько оно велико, вы всегда можете увеличить его, добавив еще одно. Разве это не бесконечность? Последний номер, а потом еще один … и еще один … и еще один … навсегда.

Все за одного, один за всех.

АЛЕКСАНДР ДЮМА СТАРЕЙШИЙ, ТРИ МУСКЕТЕРА

Одно первое, потому что, как и говорили пифагорейцы, все остальные числа происходят от одного. Без него нет ничего. С одним есть все. Все начинается с одного. Один позволяет жить вечно.

Одно — все.

ИДЕАЛЬНЫЕ ФИГУРКИ.Авторское право © 2007 Банни Крампакер. Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть использована или воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения, за исключением кратких цитат, содержащихся в критических статьях или обзорах. За информацией обращайтесь по адресу St. Martin’s Press, 175 Fifth Avenue, New York, N.Y. 10010.

Physical Review Journals — Guidelines for Calculating Length

Процедура подсчета слов

Следующие рекомендации можно использовать для определения объема рукописи, отправляемой в журнал Physical Review . Общая формула для расчета объема рукописи:

Общее количество слов = текст + отображаемые математические данные + цифры + таблицы

Рекомендации для писем и коротких статей, включая комментарии
Текст	Включить Любой текст в теле статьи Любой текст в подписи к рисунку или таблице Любой текст в сноске или концевой сноске Исключить Название Список авторов и аффилированных лиц Абстрактные Дата получения, дата публикации и другая история публикаций Ключевые слова PhySH и DOI Список литературы Автор авторской сноски Благодарности
Отображаемая математика	Словарный эквивалент отображаемой математики — 16 слов в строке для уравнений с одним столбцом.Уравнения с двумя столбцами считаются как 32 слова в строке.
Фигуры	Чтобы оценить эквивалент слова для цифр, используйте соотношение сторон фигуры (ширина / высота). Оценка составляет [(150 / формат изображения) + 20 слов] для фигур в один столбец и [300 / (0,5 * формат изображения)] + 40 слов для фигур в два столбца.
Таблицы	Словарный эквивалент для таблиц — 13 слов плюс 6,5 слов на строку для таблиц с одним столбцом.Таблицы с двумя столбцами считаются как 26 слов плюс 13 слов в строке.

Рекомендации для PRX и обзорных статей в PRApplied, PRMaterials, PRResearch и RMP
Текст	Включить Любой текст в теле статьи Любой текст в подписи к рисунку или таблице Любой текст в сноске или концевой сноске Исключить Название Список авторов и аффилированных лиц Абстрактные Дата получения, дата публикации и другая история публикаций Ключевые слова PhySH и DOI Список литературы Автор авторской сноски Благодарности
Отображаемая математика	Словарный эквивалент отображаемой математики — 16 слов в строке для уравнений с одним столбцом. Уравнения с двумя столбцами считаются как 32 слова в строке.
Фигуры	Словарный эквивалент цифр — 170 слов на цифру для цифр в одну колонку. Цифры в двух столбцах считаются как 340 слов на рисунок.
Таблицы	Словарный эквивалент для таблиц — 13 слов плюс 6,5 слов на строку для таблиц с одним столбцом. Таблицы с двумя столбцами считаются как 26 слов плюс 13 слов в строке.

Подсчет слов в файле TeX

Авторам рекомендуется использовать REVTeX 4.2 для подготовки своей рукописи, используя соответствующий вариант журнала (например, «prl» для Physical Review Letters ). Рукописи, которые умещаются в следующих пределах страниц, скорее всего, будут соответствовать руководящим принципам длины: Письма и PRPER Короткие статьи: 4 страницы, Письма: 4 страницы для PRB; 5 страниц для Physical Review A, C, D, E, Fluids, Materials, and Research. Кроме того, вы можете определить количество слов в файле REVTeX 4.2 с помощью:

• Комментарий к команде \ maketitle
• Использование опции ‘nofootinbib’
• Вставка \ end {document} перед библиографией
• Закомментировать любые отображаемые уравнения
• Комментирование строк (но не заголовков) любых таблиц
• Комментарий к благодарности

Бумага должна по-прежнему работать под LaTeX.Чтобы получить точное количество слов, вы можете затем использовать файл wordcount.tex, который находится по адресу https://ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/wordcount.

Подсчет слов в файле Word

Чтобы подсчитать количество слов в документе Word, сделайте копию своей рукописи и удалите весь текст и другие элементы, которые не учитываются согласно правилам. Затем воспользуйтесь встроенной функцией подсчета слов Word.

Определение размера фигур

GhostScript можно использовать для определения ограничивающей рамки фигур Encapsulated PostScript (EPS) и PDF:

фигурка кошки. eps

gs -q -dSAFER -dBATCH -sDEVICE = bbox —

Затем вы можете использовать размер ограничивающей рамки, чтобы определить точную ширину и высоту фигуры. Различные программы обработки изображений будут отображать размеры файлов изображений JPEG, GIF, PNG и других типов. В качестве альтернативы вы можете использовать программу просмотра PDF-файлов с возможностью обрезки, чтобы нарисовать рамку для обрезки вокруг фигуры и считать размеры. Наконец, вы можете просто распечатать фигуру и измерить ее размеры.Единицы измерения являются произвольными, потому что в рекомендациях используется соотношение сторон, то есть ширина / высота.

Предел количества слов

Ограничения по длине для разных типов статей в журналах Physical Review различаются. Пределы длины приведены в следующей таблице:

.

Пределы длины изделия
PRL	Письмо Комментарий / ответ	3750 слов 750 слов
PRX	Комментарий / ответ	3500 слов
PRX Quantum	Комментарий / ответ Перспектива Учебное пособие	3500 слов 7 500 слов 37 500 слов
	Пределы длины для статей о перспективах и учебных пособиях являются лишь рекомендацией. При необходимости авторам следует проконсультироваться с редакторами PRX Quantum .
RMP	Артикул Коллоквиум	50 000 слов 20 000 слов
PRA	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 3500 слов
ПРБ	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 3500 слов
PRC	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 1500 слов
PRD	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 3500 слов
ПРЕД	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 3500 слов
PR Исследования	Обзор статьи Письмо Комментарий / ответ	30 000 слов 4500 слов 3500 слов
PRAB	Без ограничений
PR Заявлено	Обзор статьи Комментарий / ответ Письмо	30 000 слов 3500 слов 3500 слов
PR Жидкости	Письмо Комментарий / ответ	4500 слов 3500 слов
PRМатериалы	Обзор статьи Обновление исследования Письмо Комментарий / ответ	30 000 слов 10 000 слов 4500 слов 3500 слов
PRPER	Обзор статьи Краткая статья Комментарий / ответ	Без ограничений 3500 слов 3500 слов

Подсчет цифр вопросов для экзамена SSC ​​CGL

Уважаемые читатели,

Здесь мы предлагаем викторину по рассуждению в соответствии с программой SSC CGL Tier-I. Этот пост включает 15 вопросов по подсчету треугольников, квадратов или прямоугольников, которые действительно помогут вам получить больше оценок на выпускном экзамене.

Указания (1-7): В каждом из следующих вопросов найдите количество треугольников на данном рисунке.

1 кв.

(а) 5

(б) 6

(в) 8

(г) 10

Ответ (д)

Сол. Количество треугольников = 10

2 кв.

(а) 16

(б) 13

(в) 9

(г) 7

Отв.(а)

Сол. Количество треугольников = 16

3 кв.

(а) 15

(б) 16

(в) 17

(г) 18

Ответ (c)

Сол. Количество треугольников = 17

4 кв.

(а) 21

(б) 23

(в) 25

(г) 27

Ответ (д)

Сол. Количество треугольников = 27

Q5.

(а) 8

(б) 10

(в) 12

(г) 14

Ответ (д)

Сол. Количество треугольников = 14

Q6.

(а) 12

(б) 13

(в) 14

(г) 15

Ответ (д)

Сол. Количество треугольников = 15

Q7.

(а) 16

(б) 18

(в) 21

(г) 20

Отв.(в)

Сол. Количество треугольников = 21

Указания (8-11): В каждом из следующих вопросов подсчитайте количество квадратов на данных фигурах.

Q8.

(а) 8

(б) 12

(в) 15

(г) 18

Ответ (c)

Сол. Количество квадратов = 15

Q9.

(а) 18

(б) 19

(в) 25

(г) 27

Отв.(г)

Сол. Количество квадратов = 27

Q10.

(а) 11

(б) 21

(в) 24

(г) 26

Ответ (c)

Сол. Количество квадратов = 24

Q11.

(а) 15

(б) 16

(в) 19

(г) 20

Ответ (б)

Сол.Количество квадратов = 16

Указания (12-13): В каждом из следующих вопросов подсчитайте количество треугольников и квадратов на данном рисунке.

Q12.

(а) 26 треугольников, 5 квадратов

(б) 28 треугольников, 5 квадратов

(в) 26 треугольников, 6 квадратов

(г) 28 треугольников, 6 квадратов

Ответ (д)

Сол.Количество треугольников = 28

Количество квадратов = 6

Q13.

(а) 21 треугольник, 7 квадратов

(б) 18 треугольников, 8 квадратов

(в) 20 треугольников, 8 квадратов

(г) 22 треугольника, 7 квадратов

Ответ (а)

Сол. Количество треугольников = 21

Количество квадратов = 7

Указания (14-15): В каждом из следующих вопросов подсчитайте количество прямоугольников на данном рисунке.

Q14.

(а) 20

(б) 18

(в) 16

(г) 19

Ответ (а)

Сол. Количество прямоугольников = 20

Q15.

(а) 8

(б) 17

(в) 18

(г) 20

Ответ (c)

Сол. Количество прямоугольников = 18

Банк вопросов для фигур психических способностей 3-го класса, подсчет фигур

question_answer 1)

Сколько треугольников на рисунке ниже?

A)

3 готово прозрачный

B)

5 выполнено прозрачный

C)

6 готово прозрачный

D)

4 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 2)

Изучите рисунок ниже. На сколько треугольников больше, чем прямоугольников?

A)

6 готово прозрачный

B)

3 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

5 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 3)

Направление: Изучите рисунок ниже и ответьте на заданные вопросы.Треугольников на ______ меньше, чем кругов.

A)

1 готово прозрачный

B)

3 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

7 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 4)

Направление: изучите рисунок ниже и ответьте на заданные вопросы. Квадратов на _____ больше, чем прямоугольника.

A)

0 готово прозрачный

B)

2 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

5 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 5)

Кругов на _____ больше, чем прямоугольников.

A)

5 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

3 готово прозрачный

D)

2 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 6)

Направление: изучите рисунок ниже. На сколько кругов больше, чем треугольников?

A)

3 готово прозрачный

B)

2 выполнено прозрачный

C)

1 готово прозрачный

D)

0 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 7)

Направление: изучите рисунок ниже.На сколько квадратов меньше, чем прямоугольников?

A)

5 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

3 готово прозрачный

D)

1 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 8)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на заданные вопросы. Сколько треугольников можно найти?

A)

9 готово прозрачный

B)

8 выполнено прозрачный

C)

10 готово прозрачный

D)

11 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 9)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на заданные вопросы.Сколько кругов вы можете найти?

A)

6 готово прозрачный

B)

7 выполнено прозрачный

C)

8 готово прозрачный

D)

9 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 10)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на заданные вопросы. Сколько квадратов вы можете найти?

A)

3 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

5 готово прозрачный

D)

2 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 11)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на заданные вопросы.Сколько прямоугольников вы можете найти?

A)

3 готово прозрачный

B)

2 выполнено прозрачный

C)

1 готово прозрачный

D)

0 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 12)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на следующие вопросы. Сколько треугольников можно найти?

A)

3 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

2 готово прозрачный

D)

1 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 13)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на следующие вопросы.Сколько кругов на картинке выше?

A)

2 готово прозрачный

B)

3 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

9 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 14)

Направление: посмотрите на картинку и ответьте на следующие вопросы. Сколько квадратов на картинке выше?

A)

3 готово прозрачный

B)

2 выполнено прозрачный

C)

1 готово прозрачный

D)

4 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 15)

Сколько треугольников на рисунке ниже?

A)

1 готово прозрачный

B)

2 выполнено прозрачный

C)

3 готово прозрачный

D)

4 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 16)

Сколько квадратов на рисунке?

A)

5 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

6 готово прозрачный

D)

3 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 17)

Сколько треугольников на рисунке?

A)

5 готово прозрачный

B)

9 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

11 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 18)

Сколько полукругов на рисунке?

A)

5 готово прозрачный

B)

6 выполнено прозрачный

C)

7 готово прозрачный

D)

3 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 19)

Сплошная фигура ниже имеет _________ плоские грани.

A)

6 готово прозрачный

B)

5 выполнено прозрачный

C)

3 готово прозрачный

D)

4 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 20)

Сколько треугольников на рисунке?

A)

18 готово прозрачный

B)

19 выполнено прозрачный

C)

12 готово прозрачный

D)

15 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 21)

Сколько кругов на рисунке ниже?

A)

2 готово прозрачный

B)

3 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

5 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 22)

Укажите вариант, с помощью которого сформирован рисунок ниже.

A)

2 полукруга и 1 прямоугольник готово прозрачный

B)

2 полукруга и 1 квадрат готово прозрачный

C)

4 полукруга и 1 прямоугольник готово прозрачный

D)

4 полукруга и 1 квадрат готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 23)

Сколько изогнутых линий на данном рисунке?

A)

3 готово прозрачный

B)

4 выполнено прозрачный

C)

5 готово прозрачный

D)

6 готово прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 24)

Сколько прямоугольников на рисунке?

A)

6 готово прозрачный

B)

7 выполнено прозрачный

C)

4 готово прозрачный

D)

3 выполнено прозрачный

Просмотреть решение play_arrow

question_answer 25)

Какие две формы можно соединить без перекрытия, чтобы сформировать данный воздушный змей?

A)

сделано прозрачный

B)

выполнено прозрачный

C)

готово прозрачный

D)

готово прозрачный Просмотреть решение play_arrow

Рассуждения о подсчете изображений и фигур

В разделе «Рассуждения о подсчете изображений и фигур» определенная геометрическая фигура с использованием частей разного дизайна называется формированием фигуры. В этом разделе невербальных рассуждений рассматриваются проблемы, связанные с формированием геометрических фигур, таких как треугольник, квадрат, круг и т. Д., Путем соединения некоторых частей из группы частей с разным дизайном. Помимо этого, задаются некоторые вопросы, в которых фигура вопроса содержит некоторые цифры, которые можно соединить вместе, чтобы получить одну из альтернативных цифр ответа, и нужно найти правильную альтернативу.

На различных конкурсных экзаменах регулярно задаются несколько типов вопросов, основанных на логическом рассуждении подсчета изображений и чисел.В этой статье мы собираемся охватить ключевые концепции раздела рассуждений о подсчете изображений и фигур, а также решенные примеры, практические вопросы, советы и приемы и т. Д. Прочтите статью внимательно, чтобы развеять все сомнения по этому поводу.

Что такое подсчет изображений и фигур?

В разделе «Обоснование подсчета изображений и фигур» подсчет фигур относится к процессу формирования определенной геометрической фигуры с использованием частей разного дизайна. С другой стороны, изображения бывают различных типов, таких как зеркальное отображение, изображение воды и т. Д. Зеркальное изображение — это изображение или отражение объекта в зеркале, когда этот объект помещается рядом с ним.

Water Image — это отражение объекта в воде. Это вертикально перевернутое изображение, полученное при переворачивании объекта вверх ногами. Изображение воды на всех фигурах выглядит как зеркальное отражение фигуры, когда зеркало помещено горизонтально внизу фигурки с вопросом. На различных государственных конкурсных экзаменах задаются несколько типов задач, основанных на разделах рассуждения «Подсчет изображений» и «Подсчет фигур», некоторые из них приведены ниже.

Ознакомьтесь с более подробной информацией о аргументах и ​​аргументах.

Типы аргументов в пользу подсчета изображений и фигур.

. Теперь мы знаем, что состоит из вопросов, связанных с разделом «Рассуждения, связанные с подсчетом изображений и фигур». Давайте посмотрим на различные типы вопросов, которые могут поступать один за другим снизу.

1. Зеркальное отображение

В этом типе рассуждения о подсчете изображений и цифр изображение объекта в зеркале называется его зеркальным отображением i.е. если мы ставим зеркало перед объектом, то перевернутое отражение объекта называется зеркальным отображением.

2. Водное изображение

В этом типе рассуждения о подсчете изображений и фигур, изображение объекта в зеркале называется его зеркальным отображением, т.е. если мы помещаем зеркало под объект, то перевернутое отражение объекта будет называется водным изображением.

3. Встроенное изображение

В этом типе рассуждения о подсчете изображений и фигур дается изображение, за которым следуют некоторые параметры.Кандидатам необходимо найти правильный вариант, в котором скрыто данное изображение.

4. Завершение неполного узора

В этом типе подсчета изображений и фигур будет дана цифра, в которой отсутствует какая-то часть этой фигуры. Вам необходимо найти узор или изображение, которое впишется в неполный рисунок.

5. Соберите изображение

В этом типе рассуждения о подсчете изображений и фигур будет набор из нескольких фигур, кандидаты должны собрать их и составить полную фигуру.

6. Резка и фальцовка бумаги

В этом типе подсчета изображений и фигур лист / бумага складываются несколько раз и разрезаются, а затем кандидатов спрашивают, как лист будет выглядеть после разворачивания.

7. Подсчет фигур

В этом типе подсчета изображений и фигур будет дана форма или фигура геометрического объекта. По заданной форме кандидаты должны идентифицировать данную известную форму и подсчитывать, сколько раз она присутствует в данной форме.

Получите больше информации о высказывании и обосновании действий

Как решить вопрос на основе подсчета изображений и рисунков — все советы и уловки

Кандидаты могут найти ниже различные советы и приемы для решения вопросов, связанных с Раздел рассуждения о подсчете изображений и фигур.

Совет № 1: Буквы, зеркальное отображение которых совпадает с самой буквой:

A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y

Буквы, которые имеют свои зеркальные изображения, идентичные самой букве: i, l, o, v, w, x

Число, зеркальное отображение которого совпадает с самим числом: 0, 8.

Совет № 2: Буквы, изображения воды которых идентичны самой букве: C, D, E, H, I, O, X

Буквы, изображения воды которых идентичны самой букве: : c, l, o, x

Цифры, изображения воды которых идентичны самой букве: 0.

Образцы вопросов для подсчета изображений и рисунков

Вопрос 1: Найдите зеркальное отображение данного цифра?

Решение : Зеркальное отражение этого изображения: —

Вопрос 2: Найти изображение воды данной фигуры?

Решение : Изображение воды на этом изображении: —

Вопрос 3: Найдите ответ, в который встроена данная цифра. (Вращение не допускается)

Решение : Встроенная часть этого изображения: —

Следовательно, вариант 3 — правильный ответ.

Вопрос 4: Найдите цифры для ответа, которые завершат узор в цифре вопроса?

Решение : Рисунок для завершения выкройки: —

Вопрос 5: Сначала лист бумаги складывается, как показано на рисунке, а затем в нем проделываются отверстия.Как выглядит бумага в развернутом виде?

Решение: В развернутом виде бумага выглядит так: —

Вопрос 6: Сколько квадратов на данном рисунке?

Решение:

AEKQ, EFQR, FGRS, GBSL, KQMT, QRTU, RSUV, SLVN, MTOW, TUWX, UVXY, VNYP, OWCH, WXHI, KROJUCI, XJYD, MJ FBUN, UNID, RLXP, EGTV, TVHJ, QSWY, AGOY, KSCJ, EBWP, QLHD, ABCD.

Следовательно, на данном рисунке 30 квадратов.

Вопрос 7: Сколько треугольников на рисунке?

Решение: Треугольник на рисунке: —

Треугольники — это ∆AOC, ∆AOB, ∆ABC, ∆COD, ∆BOD, ∆ACD,

∆ABD, ∆BCD

Таким образом, На данном рисунке 8 треугольников.

Также ознакомьтесь с более подробной информацией о рассуждениях о линейном расположении

Экзамены, в которых подсчет изображений и фигур является частью учебной программы

Вопросы, основанные на разделе рассуждений о подсчете изображений и фигур, часто возникают на различных престижных государственных экзаменах, некоторые из них выглядят как следует.

• Банк (заказчик на поставку и клерк) Экзамены
• SSC (CGL, 10 + 2, Steno, FCI, CPO, многозадачность)
• LIC (AAO & ADO)
• RRB
• UPSC
• Государственные экзамены PSC1
Узнайте больше о других темах рассуждений:

Мы надеемся, что вы нашли эту статью, посвященную разделу рассуждений о подсчете изображений и фигур, информативной и полезной, и, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться к нам с любыми сомнениями или вопросами относительно того же. Вы также можете загрузить приложение Testbook, которое является абсолютно бесплатным, и начать подготовку к любому государственному конкурсному экзамену, пройдя пробные тесты перед экзаменом, чтобы повысить свою подготовку.

Часто задаваемые вопросы о рассуждениях по подсчету изображений и фигур

Q.1 Что такое рассуждения по подсчету изображений и фигур?

Ans.1

В разделе «Обоснование подсчета изображений и фигур» подсчет фигур относится к процессу формирования определенной геометрической фигуры с использованием частей разного дизайна. С другой стороны, изображения бывают разных типов, например, зеркальное изображение, изображение воды и т. Д.

Q.2 Сколько типов вопросов для обоснования подсчета изображений и фигур существует?

Отв.2

Типы вопросов, основанных на подсчете изображений и цифр, которые возникают на различных государственных экзаменах, приведены в статье выше. Пожалуйста, прочтите статью о том же.

Q.3 Где я могу получить советы и рекомендации для раздела рассуждений о подсчете изображений и фигур?

Ans. 3

Некоторые советы и приемы, относящиеся к разделу «Подсчет изображений и фигур», приведены выше в статье.

Q.4 Где я могу найти примеры вопросов, связанных с подсчетом изображений и фигур?

Ans.4

Различные примеры вопросов вместе с их решениями приведены выше в статье. Пожалуйста, прочтите статью о том же.

Q.5 В каких экзаменационных вопросах из соображений подсчета изображений и фигур используются?

Ans.5

Некоторые из престижных экзаменов, на которых вопросы на основе логического мышления включены в программу логического мышления, приведены выше в статье.

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

• Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

• Получите ежедневную капсулу GK и текущие новости и PDF-файлы

• Получите 100+ бесплатных пробных тестов и викторин




Подпишись бесплатно Создать бесплатный аккаунт? Войти

Следующее сообщение

.

No related posts.