Математика и музыка

 

Музыканты прекрасно понимают какая связь существует между музыкой и математикой. Но человеку непосвященному, может показаться, что это совсем разные вещи. Музыка – творчество, а математика – наука.

Тем не менее, общего у них довольно много. Наша задача — разобраться в этом и выявить все точки соприкосновения музыки и математики.

Содержание статьи:

Звук — музыка или физика

Музыка — это в первую очередь звук. У звука есть ряд свойств, которые мы сейчас рассмотрим:

1. Частота
2. Обертоны
3. Громкость
4. Продолжительность

 

В музыкальном мире, все эти свойства называются иначе:

1. Частота – звуковысотность
2. Совокупность обертонов – тембр
3. Громкость – динамика
4. Продолжительность – длительность

 

Вы уже могли догадаться, что три составляющие относятся больше к физике, а одно — к математике. Давайте рассмотрим эти свойства по очереди.

Частота звука или звуковысотность

Представим себе гитару: самая толстая струна натянута не сильно, щипая ее звук получается низким, похожим на жужжание шмеля. А если мы щипнем самую тонкую струну, которая натянута гораздо сильнее, звук получится высоким, похожим на писк комара. Чем чаще колеблется тело издающее звук, тем выше будет этот звук. В данном случае телом можно назвать любой предмет, издающий звук – будь то струна балалайки или мембрана барабана.

Высота звука в физике называется частотой и измеряется в герцах (количество колебаний в секунду). Частота звука в музыке называется звуковысотностью. Ни один музыкант на свете не поймет, какую высоту звука передает нота, если она не располагается на нотном стане. Подробнее о том, как на пяти линейках нотного стана уживаются звуки самой разной высоты, читайте здесь.

Познавательно

Любопытно: нас всегда заставляют думать, будто звук плоский, а его диаграмма выглядит вот так:

Однако науке уже давно известно, что звук — это волна. А это значит, что звук объёмен и представляет собой спираль, но не совсем такую, какой вы ее представили.

Английский ученый Роберт Гук еще в 17 веке доказал, что что высота звука определяется частотой колебаний, а также он был первым кто сделал интересный опыт:

Гук взял металлическую пластину, насыпал на нее муку и начал возбуждать пластину скрипичным смычком. Мука на пластине приняла форму напоминающую снежинку или орнамент.

 

В наше время проделать этот опыт гораздо проще: под пластину ставят мощный динамик, после чего меняют частоту звука. Результатом опыта являются кружевные узоры на песке, который находится на пластине:

 

Обертон или тембр

Очень интересным свойством звука является обертон.

Обертоны – призвуки, входящие в спектр музыкального звука. В переводе с немецкого языка, обертон означает «высокий тон» или «высокий звук». А откуда берется этот высокий звук, сейчас и узнаем.

Струна колеблется целиком, вы сами это видели на видео про гитару. Но оказывается, каждая часть струны тоже вибрирует и издает звук. Не такой громкий как основной тон, но вполне ощутимый.

Еще Пифагор определил принцип, по которому возникают обертоны. Он заключается в следующем:

Первый обертон возникает от вибрации половины звучащего тела – в нашем случае струны. То есть, если мы зажмем струну в том месте, где она делится пополам, то звук получится в два раза выше, чем звук полной струны. Это и есть звучание первого обертона. Но чтобы услышать его в чистом виде, нужно использовать специальный прием – флажолет.

Теперь поделим струну на 3 равные части. Одна треть струны даст нам второй обертон. Затем делим струну на 4 части, получаем третий обертон и так далее.

Вот как выглядит колебание струны: 1 – Целая струна; 2 — ее половина – первый обертон; 3 — третья часть – второй обертон и т.д.

 

 

 

Посмотрите, как с помощью флажолетов можно извлечь обертона:

 

Пифагор установил, что первый обертон звучит выше основного тона на одну октаву. Второй обертон звучит выше первого на квинту; третий – выше второго на кварту; четвертый выше третьего на большую терцию. Потом пойдут малые терции, затем большие и малые секунды. Вот как выглядит обертоновый ряд от ноты до:

 

Именно от набора и относительной громкости обертонов зависит тембр инструмента, голоса. Именно благодаря тембру, мы можем отличать звук флейты от звука арфы, звук рояля от звука трубы.

Познавательно

Еще обертоны называют гармониками. Гитаристы в своей игре часто используют гармоники как художественный элемент.

Есть и такие мастера, которые вплетают в свою игру флажолеты так умело, что не сразу понятно сколько инструментов звучит. Послушайте как искусно использует гармоники Jaco Pastorius играя на бас-гитаре:

Громкость – динамика

Громкость звука в физике зависит от амплитуды колебания тела. Вернемся к нашей гитаре.

Если мы ущипнем струну аккуратно, ее колебания будут слабыми, их мы почти не заметим, а звучать она будет тихо. Если же ущипнуть струну как следует или даже дернуть, то она начнет колебаться сильно, звучать громко и эти колебания вы можете увидеть невооруженным глазом. Однако, если воспользоваться стробоскопом, колебание струн наблюдать станет куда удобнее:

 

С помощью диаграммы можно увидеть участки где звук был тихим, а где громким:

 

Продолжительность звука – длительность

Физические свойства звука мы рассмотрели, теперь дело за математической составляющей.

Тут все просто. Звук или есть, или его нет. Похоже на двоичную систему счисления. Но в музыке все несколько иначе – одни ноты звучат долго, другие имеют среднюю продолжительность, а третьи звучат совсем коротко.

Продолжительность звука в музыке называется длительностью. Ноты имеют разные длительности и в зависимости от этого по-разному выглядят. Подробнее о том, читать и считать ноты, вы можете узнать из этой статьи.

Познавательно

Звук передается не только по воздуху, но в воде и твердых веществах. Удивительно, но в твердых веществах звук распространяется быстрее, чем по воздуху.

Люди и сухопутные животные, слышат звук с помощью ушей. Барабанная перепонка в нашем ухе очень тонкая, она колеблется с частотой воздуха в окружающей среде. Перепонка передает вибрацию через мельчайшие косточки в орган, называемый средним ухом. Полученный из внешнего мира механический сигнал, в среднем ухе преобразуется в электрические импульсы и передается в мозг. Человек способен воспринимать звуки от 20 Гц до 16000 Гц, но с возрастом этот диапазон сужается. А вот рыбы, например, воспринимают звук боковой линией, которая передает сигналы во внутреннее ухо.

 

Что же общего у музыки и математики

Теперь мы знаем, что такое звук, знаем его природу и свойства. Так давайте порассуждаем, что общего у музыки (организованных по высоте и времени звуков) и математики.

Вклад Пифагора

Еще в Древней Греции математика и музыка шли бок о бок и считались сестрами. Со времен Пифагора (570-490 гг. до н.э.) наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.

С помощью математической формулы, Пифагор выяснил, какие пропорции существуют между звуками и какие из них лучше сочетаются между собой. Также, он создал свой музыкальный строй – Пифагорейский строй.

Также, пифогорейцы вычислили «золотую пропорцию» — конкретное место в музыкальном произведении, где должна быть кульминация.

Вклад Баха

Иоганн Себастьян Бах (1685-1750) популяризировал Темперированный музыкальный строй.

До Баха музыканты использовали разные строи, но они были не совершенны. Некоторые интервалы звучали как диссонансы, а [urlspan]тональности

[/urlspan] с большим количеством знаков давали фальшивое звучание. И.С. Бах был первым, кто начал использовать Темперированный строй в своих произведениях. Этим музыкальным строем мы пользуемся до сих пор. Вся современная музыка написана именно в нем. Каждый интервал в этом строе имеет формулу. Однако в те времена не было такой техники, которая могла бы помочь настроить инструмент так точно. Но Баху это было и не нужно. Он обладал великолепным слухом и легко настраивал инструмент без формул и вспомогательных устройств.

 

 

Темп и длительности

Как в математике существует понятие скорости, так и в музыке темп, обозначает скорость музыкального движения. А длительности нот можно сравнить с математическим понятием целых чисел и дробей.

Композиторы математики

Множество композиторов в основе музыкальных произведений используют заранее математические формулы. Основоположником додекафонии является Арнольд Шенберг. Также он считается основателемНововенской школы.

А сейчас, предлагаю послушать финал второго струнного квартета Шенберга. Начало атональной музыки связывают именно с ним.

 

Еще одним замечательным музыкантом-математиком является Том Лерер. Он занимался точными науками, но прославила его музыка. Большинство его песен связаны с наукой, преимущественно с математикой. В целом, песни Лерера носят сатирический характер, отличаются оригинальными и остроумными рифмами.

Одним из самых популярных произведений Тома Лерера является песня (речитатив) под названием «New Math». В ней автор, под музыку собственного сочинения занимается вычитанием 173 из 342 в десятичной и восьмеричной системах счисления.

Были и другие замечательные музыканты, которые плотно связаны с математикой. Среди них Филип Гласс, Ла Монте Янг, Стив Райх и Терри Райли.

Среди наших соотечественников хочется выделить Сергея Прокофьева. Он запомнился многим не только как выдающийся композитор, но и как отличный шахматист.

Прокофьев — автор музыки к фильму «Александр Невский». Режиссер фильма Сергей Эйзенштейн, обращался к композитору с просьбой, написать музыку ровно 2 минуты и 11 секунд. Прокофьев с легкостью выполнял требование.

Мне нравится статья3Не нравится

Заключение

Музыка и математика действительно тесно связаны. В этой статье я раскрыл только часть из них. Но и эта часть, надеюсь, была убедительной.

Еще больше интересного о музыке вы можете узнать из других статей. Буду рад видеть вас в моей группе вконтакте и на youTube канале.

Ученые раскрыли связь между музыкой, математикой и хорошей учебой

https://ria.ru/20190624/1555862792.html

Ученые раскрыли связь между музыкой, математикой и хорошей учебой

Школьники, занимающиеся в музыкальных школах, заметно лучше справляются с математическими или языковыми экзаменами и тестами, чем остальные сверстники. Об этом… РИА Новости, 24.06.2019

2019-06-24T16:59

2019-06-24T16:59

музыка

математика

социология

открытия — риа наука

сша

образование — общество

риа наука

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdn24.img.ria.ru/images/101145/84/1011458473_0:263:3112:2013_1400x0_80_0_0_3fe1bd6c3e959e7cede920580e4df349.jpg

https://ria.ru/20160713/1465407674.html

https://ria.ru/20160902/1475929080.html

сша

РИА Новости

Россия, Москва, Зубовский бульвар, 4

7 495 645-6601


https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

2019

РИА Новости

Россия, Москва, Зубовский бульвар, 4

7 495 645-6601


https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

Россия, Москва, Зубовский бульвар, 4

7 495 645-6601


https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

https://cdn24.img.ria.ru/images/101145/84/1011458473_0:263:3112:2013_1400x0_80_0_0_3fe1bd6c3e959e7cede920580e4df349.jpg

https://cdn22.img.ria.ru/images/101145/84/1011458473_0:0:2732:2048_1400x0_80_0_0_c783c1073c605e96a70dbc15553db151.jpg

https://cdn23.img.ria.ru/images/101145/84/1011458473_341:0:2389:2048_1400x0_80_0_0_cb49a261bf1eb1f65f39fe11a3351f5e.jpg

РИА Новости

Россия, Москва, Зубовский бульвар, 4

7 495 645-6601


https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

Россия, Москва, Зубовский бульвар, 4

7 495 645-6601


https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

музыка, математика, социология, открытия — риа наука, сша, образование — общество

МОСКВА, 24 июн – РИА Новости. Школьники, занимающиеся в музыкальных школах, заметно лучше справляются с математическими или языковыми экзаменами и тестами, чем остальные сверстники. Об этом пишут ученые, опубликовавшие результаты масштабных наблюдений за старшеклассниками в Journal of Educational Psychology.

«Уроки музыки и искусств часто отодвигаются на самый задний план и финансируются по остаточному принципу, так как чиновники считают, что они мешают детям осваивать математику, естественные науки и язык. Мы показали, что это не так – чем больше дети занимались музыкой, тем лучше они учились», — рассказывает Питер Гузуасис (Peter Gouzouasis) из университета Британской Колумбии (Канада).

В последние годы ученые активно пытаются понять, являются ли многие способности человека, в том числе музыкальные таланты, склонность к математике и науке, писательское умение и прочие отличительные черты наследуемыми с генетической точки зрения.

Психологи, генетики и нейрофизиологи провели десятки и сотни экспериментов, результаты которых оказались крайне разнородными, что заставило многих ученых заключить, что подобных «генетических» связей не существует.

С другой стороны, недавнее сравнение математических способностей родителей и их детей показало, что способности скорее наследуются, чем нет, однако многое зависит от воспитания и образования.

13 июля 2016, 20:03РИА НаукаУченые развеяли миф о врожденной склонности людей к гармоничной музыкеНеобычные опыты среди «первобытных» индейцев Амазонии показали, что они не делают различий между гармоничной и неприятной музыкой, что опровергает миф о врожденной склонности человека к эстетически «правильным» мелодиям.

При этом, многие обыватели и исследователи часто замечают, что дети, способные к музыке, одновременно хорошо себя проявляют и в математике, и наоборот. Это заставляет ученых еще больше спорить о том, с чем именно связан успех в учебе, насколько случайна связь между любовью к цифрам и искусству и есть ли другие закономерности такого рода.

Гузуасис и его коллеги решили проверить, действительно ли эта взаимосвязь существует. Для этого они проследили за успехами рекордно большой группы учащихся канадских школ, включавшей в себя свыше 100 тысяч старшеклассников, недавно сдавших выпускные или промежуточные экзамены.

Анализируя эти данные, ученые разбили детей на две больших группы – тех, кто занимался музыкой, чье число составляло около 13%, и остальных школьников, не имевших подобного хобби. Дополнительно социологи сопоставили между собой учеников музыкальных школ в зависимости от того, чему они учились и каких успехов они достигли.

Эти наблюдения принесли массу интересных и неожиданных открытий. Во-первых, канадские исследователи обнаружили, что музыка влияла не только на математические успехи школьников, но и на их успеваемость в физике, биологии и в гуманитарных дисциплинах.

При этом, что интересно, разные типы творчества влияли на успеваемость старшеклассников неодинаковым образом. Дети, учившиеся играть на любых музыкальных инструментах в группах или оркестрах, в среднем лучше сдавали экзамены, чем будущие певцы и другие представители вокальной музыки. Аналогичным образом, чем выше были успехи в той или иной области музыки, тем ярче они себя проявляли в математике, языках и естественных науках.

«В среднем, дети, которые учились играть на инструменте в оркестре или в группе, примерно на год обгоняли сверстников по уровню своих знаний и навыков во всех дисциплинах. Скорее всего, необходимость понимать ноты, слаженно играть в коллективе и уметь очень тонко управлять своими руками играет важную роль в ускоренном саморазвитии этих детей», — заключает Гузуасис.

2 сентября 2016, 16:14РИА НаукаМатематические способности наследуются генетически, заявляют ученыеПсихологи из университета Питтсбурга заявляют, что «чувство числа» и общие математические навыки родителей определяют то, насколько их ребенок будет успешен на уроках математики в школе.

Музыка математична, а математика музыкальна

Введение
1.Общие сведения
2.Табулатура
3.Симметрия в музыке.
4.Пифагорейское учение.
5.Исследования психологов.
Заключение

Введение
                                                          
«Раздумывая об искусстве и науке, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, а между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства»
                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Г. Нейгауз

Прежде чем доказать «теорему» о прямой связи математики и музыки, я расскажу немного о себе. С четырёх лет я играю на скрипке, она мне помогла развить зрительную память и логическое мышление, т.е. помогла мне в области математики. 4 года назад я окончила музыкальную школу, и скрипку в руки практически не брала. Однажды меня попросили сыграть на одном концерте. Непосредственно перед репетицией, на уроке математики, я прорешала много простых задач, после чего заметила, что скорость беглости пальцев ко мне вернулась, будто бы я занималась каждый день. Так уже на протяжении четырёх лет я играю на скрипке только благодаря математике. Я убедилась на собственном опыте, что математика и музыка мало того, что тесно связаны друг с другом, но ещё и помогают друг другу.

1.Общие сведения.

Повсюду вокруг нас господствует идея числа и отношения. Нет такой области музыки, где числа не выступали бы конечным способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней; ритм делит время на единицы и устанавливает между ними числовые связи и пр. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же, как в музыке. Занимаясь музыкой, человек занимается математикой. Хороший математик — это всегда хороший музыкант, потому что логика чисел, с которой постоянно общаются математики, связана с логикой развития музыкальных фраз.
Композиторы часто признаются, что их метод немногим отличается от математического… О том же пишет выдающийся дирижер Эрнест Ансерме: «Между музыкой и математикой существует безусловный параллелизм. И та и другая представляют собой действие в воображении, освобождающее нас от случайностей практической жизни». Он подчеркнул абстрактный, не имеющий прямых и реальных аналогов характер музыкальной и математической материи, ее обобщенность.
Многие выдающиеся музыканты блистали математической одаренностью: только что упомянутый Эрнест Ансерме  –  профессиональный математик и лучший исполнитель Стравинского, Леонид Сабанеев – выпускник математического факультета Московского университета, прекрасный пианист, композитор. Композитор Эдисон Денисов преподавал математику в Томском университете. Выдающийся виолончелист Карл Давыдов закончил физико-математический факультет, и, как вспоминают современники, имел «блистательные способности к чистой и прикладной математике». Но говоря о связи музыки и математики, нельзя забывать о такой науке, как табулатура.

2.Табулатура.

Табулатура — это один из самых старых способов записи, в которых вместо нот используют изображения расположений пальцев на инструменте. Она появилась приблизительно с 1500 года  и впервые использовалась для лютни и инструментов лютневого семейства.
Такое представление нот и по сей день популярно. Недостаток табулатур в том, что они не показывают с какой длительностью играть ту или иную ноту.
Существует несколько типов табулатур: органная, клавишная, старонемецкая, новонемецкая, лютневая и гитарная. Табулатура очень удобна и ею может пользоваться любой человек, даже не знающий музыкальной грамоты.

3.Симметрия в музыке.

Как я уже сказала ранее,  при написании музыки некоторые композиторы в определённых направлениях используют математику, всё рассчитывают. Например, Стравинский, который, когда писал произведения, всё рассчитывал до мелочей. Композиторы производят и используют математические расчёты  для того, чтобы музыка получилась мелодичной и симметричной. Что это значит? Возьмём, к примеру, трёхчастную форму написания ( 1-2-3) Трёхчастная форма — музыкальная форма, состоящая из трёх разделов: крайние(1-й и 3-й) совершенно одинаковы или сходны (3-й раздел трёхчастной формы называется репризой, т.е. повтором), средний отличается от них и часто бывает резко контрастным. Это позволяет сделать музыкальное произведение красивым, гармоничным и мелодичным.

4. Открытие Пифагора в области теории музыки.

Суть это открытия состоит в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд — полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент. Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения.
С понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто. Обычно цель при встрече с ней – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.
Также, математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам.

5. Исследования психологов.

В грандиозном исследовании 25000 американских школьников, занимающихся по арт-программам, было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах высшие баллы, чем дети, музыке не обучавшиеся. Для детей из так называемых «неблагополучных семей» прогресс в математических тестах был особенно заметен: среди занимающихся музыкой восьмиклассников 21% имели высокие математические баллы по сравнению с 11% не занимающихся — музыкальные дети оказались в математическом отношении на 10% лучше немузыкальных. В десятом классе разрыв увеличился: уже 33% неблагополучных детей, занимающихся музыкой, показали высокие математические результаты, а среди не занимающихся музыкой детей из таких же семей хороших математиков было только 16% – через два года занятий разрыв составил 17%.
Выдающийся исследователь таланта и одаренности Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты: ученики восьмого класса, которые занимались игрой на музыкальных инструментах, показали себя гораздо лучшими математиками чем остальные ученики. Особенно отличились пианисты, которые выиграли по тестовым баллам конкурс по математике.
Совпадение музыкальной и математической одаренности сделало эту тему предметом внимания психологов. Им хотелось понять психологические механизмы, стоящие у истоков музыкально-математической близости. Первым возникло предположение о совпадении слуховых данных музыкантов и математиков: музыкальный слух в значительной степени аналитичен, и он мог быть одной из причин музыкальности математиков и математических способностей музыкантов. Опыты психологов опровергли эту версию, работая со ста испытуемыми с хорошим слухом, которые не показали никакого превосходства над другими испытуемыми по части абстрактного мышления и математических способностей. Музыкальный слух сам по себе не был компонентом математического мышления. Сущность психологических связей между музыкальными и математическими способностями стала яснее, когда ученые обратили внимание на повышенно абстрактный характер восприятия музыкантов. Российский психолог Е.Артемьева работала с разными группами студентов, которые описывали видимый мир с помощью разнообразных категорий. Автор пишет: «Особенно отличается от других группа студентов музыкального училища. Здесь, в отличие от остальных, количество геометрических и предметных признаков превосходит количество непосредственно-чувственных и оценочно-эмоциональных признаков». Привыкнув замечать пропорционально-симметричные квазипространственные отношения внутри музыкальной формы, привыкнув охватывать в своем сознании разнообразные иерархически соподчиненные структуры, не имеющие явных предметных аналогов, музыканты переносят навыки пространственно-геометрического восприятия на реальную действительность. Выводы российского психолога совпали с мнением американских коллег. Они экспериментировали со студентами-музыкантами и студентами-биологами, которые слушали музыку. После этого у музыкальной и биологической групп замерили уровень кортизола в крови, возрастание которого говорит о том, что слушатели заняты абстрактными размышлениями, а уменьшение — о большей чувственной конкретности и эмоциональности восприятия. У студентов-музыкантов уровень кортизола повысился, а у биологов понизился. Из этого экспериментаторы сделали вывод о чрезвычайно абстрагированном восприятии музыкантов.

Огромный эксперимент по выявлению зон ответственности отделов мозга за те или иные музыкальные функции предприняла международная группа из восьми психологов под руководством Эрве Плателя. Испытуемыми были шесть французов, молодых мужчин-немузыкантов, слушающих музыку и музыкальные элементы — небольшие мелодии, ритмические фигуры и звуковые последовательности. Музыкальное восприятие на нейропсихологическом уровне оказалось весьма аналитичным: обработкой музыкальной информации занимались отделы мозга, традиционно отвечающие за логические операции. Этот эксперимент произвел большое впечатление на психологическое сообщество; его результаты были опубликованы в престижном журнале «Мозг» в феврале 1997 года.
В середине восьмидесятых годов крупные немецкие специалисты в нейропсихологии музыки Марианна Хасслер и Нильс Бирбаумер зарегистрировали весьма необычный результат у мальчиков-музыкантов по сравнению с мальчиками-немузыкантами подросткового и юношеского возраста. У испытуемых-музыкантов традиционно принадлежащие правому полушарию пространственные операции были несколько смещены в левое полушарие, вероятно, из-за особого аналитического «крена». Немузыканты и девочки-музыканты воспринимали пространственные процессы правополушарно. Эти различия можно трактовать как подтверждение особой природы пространственных представлений у музыкантов-мужчин: не теряя связь с образным правым полушарием, их пространственные представления приобретают некоторую аналитичность за счет смещения в левое полушарие. Не является ли это особым признаком музыкального таланта: подавляющее большинство выдающихся композиторов — мужчины, в то время как большинство профессиональных музыкантов — женщины: может быть, распространенность композиторского таланта у мужчин связана со спецификой их пространственного мышления… В исследовании 1992 года, в котором участвовали 117 взрослых музыкантов и 120 музыкантов-подростков, Марианна Хасслер отметила общее превосходство музыкантов по сравнению с немузыкантами в качестве пространственного мышления: пространственные тесты музыканты выполняли значительно лучше. Эти выводы были сделаны на основании восьмилетнего наблюдения над всеми испытуемыми.
Данные современной нейропсихологии подчеркивают повышенную аналитичность восприятия и высокое качество пространственных операций «музыкального мозга». Это объясняет частое совпадение музыкальной и математической одаренности у одних и тех же людей. Когда Мария Мантуржевска в одном из своих исследований сравнила математические успехи лучших и худших студентов-музыкантов, то результаты первых были многократно выше результатов вторых: самые одаренные музыканты оказались и самыми одаренными математиками.
Еще одним практическим доказательством близости музыкальных и математических склонностей является любопытный факт, который сообщает П.Вернон в диссертации на звание доктора философии Кембриджского университета: в 1927-28 году 60% профессоров-физиков и математиков Оксфордского университета были одновременно членами университетского музыкального клуба, и только 15% всех остальных профессоров посещали тот же самый клуб. Одаренным математикам музыка была нужна гораздо больше, чем всем остальным вместе взятым…
Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение которых в наш прагматический век оспаривать невозможно.

Заключение.

Итак, исходя из этих примеров, мы можем смело сделать вывод, что математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой: музыка делает человека более уверенным и эмоциональным,  обогащает умственно, способствует  духовному развитию, а математика в свою очередь — это инструмент познания, воплощающий порядок и логику. А закончить данное исследование я хочу словами великого математика Лейбница: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая».

                                                                                                                                                                                                                                                    Морозова Софья, 10 «В»

Музыкальная математика за 13,5 минут (Алексей Савватеев) / Хабр

Любопытное объяснение математических закономерностей в музыке популяризатором математики, доктором физико-математических наук, профессором МФТИ Алексеем Савватеевым. Для тех, кто любит текст — публикуем расшифровку с картинками.

Что такое музыка с точки зрения математики? Что такое «ля» или «ми»? То, как именно звуки образуются, хорошо понятно на гитаре.

Звук «ми» (свободное звучание 1-й струны), звук «ля» (1-я струна зажатая на 5 ладу). «Ля» —  это 440 Гц. Что значит 440 Гц? Это 440 раз колеблется струна в секунду. Звук «ми» на 5 полутонов ниже, чем звук «ля» (зажатый на 5 ладу).

Еще на 7 полутонов ниже я получу снова «ми», т.е. октаву. Почему и свободное звучание первой струны и звучание струны, зажатой на 12 ладу, называется одинаковым словом «ми»?

Нам кажется, что играется одна и также нота. Дело в том, что длина струны этой точкой («ми» на 12 ладу) делится ровно пополам:

Это означает, что колебания этого остатка струны, по законам физики, будут в два раза более частые, чем колебания полной струны.

Каждый раз, когда я отступаю по струне, и зажимаю ее на следующем ладу (деление, обозначенное на грифе перпендикулярной чертой), звук поднимается на один полутон, как говорят музыканты.

Заметьте, что лады на грифе разной ширины. Они постепенно сужаются.Потому, что чтобы поднять частоту на один полутон, надо уменьшить длину струны в некоторое количество раз. 

На что я намекаю, акцентируя внимание на том, что что-то «на» переводится во что-то «в»? Математики сказали бы, что есть единственная (в некоторых условиях) функция, где + переходит в х (

умножить). И функция эта называется логарифм. 

Это означает, что наши уши, укорачивание струны и поднятие звука в какое-то количество раз, воспринимают, как поднятие на один полутон. То есть каждый лад укорачивает струну в одно и тоже количество раз, а наши уши говорят, что мы поднимаемся на один полутон, доходя до ноты «ми» и получая октаву. Наши органы слуха устроены логарифмически.

Мы говорим, что «ми» и «ми» отличаются в два раза, это видно по звучанию. Верхняя дуга — колебание полное. Когда мы зажимаем ее посередине, струна начинает колебаться, как на графике посередине. 

Почему звуки похожи? Дело в том, что вместе с основным колебанием струны, на самом деле происходит колебание той же самой струны, во всех частотах, где длина колебательного участка обратно пропорциональная частоте. 

Соответственно, если длина уменьшается в целое количество раз, то можно услышать соответствующую обертонику. Соответствующий обертон реализуем данной струной. Если данная струна колеблется частично зафиксировавшись в этих двух точках (нижний график), то ее тон будет в три раза более высокий.

Увеличение частоты в два раза воспринимается слухом, как та же самая нота. Все обертоны, которые мы делим в несколько раз, т.е. любое деление половинного отрезка, является и автоматическим делением и большого отрезка. И только некоторые деления большого отрезка не укладываются в схеме деления половинного. 

Если мы берем четные верхние звучания для длинной струны, то они будут верхними звучаниями и для струны, укороченной в два раза. И абсолютно любое укороченное звучание короткой струны, будет звучанием и для длинной. Потому мы и чувствуем, что все, что мы слышим совпадает в этих точках, и воспринимаем как одну ноту.

Еще интереснее, что есть ноты, идущие через несколько полутонов, и они воспринимаются ушами как созвучие, аккорд, что-то приятное для слуха, не режущее наш слух. Что это за ноты?

Если взять 7 полутонов, взять ноту «ля» и поднять звучание на 7 полутонов, до следующей «ми», то такие две ноты будут звучать хорошо.

Если отступить еще на 5 полутонов вверх, то будет уже более высокая «ля» следующей октавы. Почему-то этот интервал тоже звучит для нас приятно. Давайте в этом всем разберемся.

Прежде всего, если поднятие на 1 полутон, это увеличение частоты колебаний в какое-то количество раз, то обозначим его как х. Если нужно поднять еще на 1 полутон, то уже будет х*х, то есть x². Если я поднял на 12 полутонов (x¹²), то это должно быть поднятием ровно в 2 раза. Мы получаем уравнение х¹²=2.

Поэтому увеличение на 1 полутон означает сокращение струны в х=

12√2, или, что тоже самое, поднятие частоты звука, в ¹²√2.

А при чем тут «ля» и «ми»? Почему 7 полутонов звучит мелодично? Давайте возведем степень:

Что в этом числе такого приятного, хорошего?

Когда-то в древности изобрели темперированные клавиры, точную запись музыки. На гитаре это очень хорошо видно, у фортепиано это тоже можно найти, оно внутри прячется, если заглянуть, можно увидеть струны.

Так вот, это число — очень близко к числу 3/2. Если вычислять на калькуляторе, буде очень большая точность. Это значит, что «ми» приблизительно выше, чем предыдущая «ля» в 1,5 раза. Т.е. подъем на 7 тонов эквивалентен тому, что мы поднимаемся на 3/2 раза, из этого получается, что у нас очень много верхних обертонов совпадает. 

Потому что любое деление на целое число малого отрезка, будет делением на целое число всего отрезка. И, соответственно, деление исходного отреза на количество кусков, кратное трем, будет и делением малого отрезка (⅓), и ⅔ тоже. Когда мы оставили ⅔ от длины, т.е. подняли частоту в 3/2, это мы примерно поднялись на 7 полутонов, у нас будет много общих обертонов, это будет приятное созвучие.

Оставшиеся 4/3 — это как раз 5 оставшихся полутонов, 3/2 х 4/3 =2, как раз октава. Чему соответствует формула х71243. Значение очень близкое к 4/3, но не 100%, т.к. Это число является иррациональным, не записывается никакой дробью, его нельзя записать как целое число делить на целое число.

Я слушал, что в Индии есть инструмент (ситар), в котором на 19 частей делится октава, т.е. у них полутон = 1/19 октавы, 19х2. 

И уже с огромной точностью х121932что означает, если на таком индийском инструменте отступить на 12 из 19 отрезков, то в этом созвучии будет больше совпадающих обертонов, и этом интервале звучит как бальзам на уши.

Про музыку и математику много чего интересного можно сказать. В частности, мажорным аккорд воспринимается, если к любой начальной ноте прибавить сначала 4 полутона, а потом 3, т.е. 0 — 4 — 3. А минорным, если в начале прибавлять 3, а потом 4, т.е. 0 — 3 — 4. Первая и последняя из трех нот аккорда, будет «одинаковая», она как раз отличается на 7 полутонов, а вот средний звук будет создавать наше восприятие созвучия, и настраивать на минорным или мажорный лад. 

Казалось бы, музыка и математика, что может быть общего? А общего так много, что математики и музыканты часто общаются, более того математики легко понимают музыкантов, так сказать, схватывают с полутона.
 
Несколько полезных ссылок:

Исследовательская работа по математике на тему «Математика и музыка»

«МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА»

Воронина Елизавета 16 лет, 10-й класс.

Руководитель работы: Глушкова Ирина Альбертовна, учитель математики.

2015 год.

«Музыка есть таинственная

арифметика души, она вычисляет,

сама того не подозревая».

Г. В. Лейбниц.

«Наука раскрывает неизвестное в

природе, а музыка — в

человеческой душе».

А. Эйнштейн.

Содержание:

Практическая часть

1. 1. Таблица данных………………………………………………..

10 стр.

2. Анализ оценок………………………………………………….

11 стр.

Заключение………………………………………………………..

11 стр.

Литература, интернет-ресурсы……………………………………

Приложения

12 стр.

Введение.

Эпиграфом к своей работе я хотела бы взять слова двух великих ученых. «Музыка есть таинственная арифметика души, она вычисляет, сама того не подозревая». Это слова немецкого учёного Готфрида Вильгельма Лейбница. Ему принадлежат величайшие открытия не только в математике и физике, но и в ряде других наук.

«Наука раскрывает неизвестное в природе, а музыка — в человеческой душе».

Эти слова принадлежат замечательному учёному, лауреату Нобелевской премии Альберту Эйнштейну.

Эти высказывания, по моему мнению, проводят взаимосвязь между музыкой и точными науками, к которым относится математика. Я задумалась: в какой же связи находятся такие, казалось бы, разные предметы как математика и музыка? Что общего может быть в мире звуков с миром чисел? Был поставлен вопрос: что же общего между математикой – наукой, пользующейся только точными формулами, где господствует логика, закон и порядок, и музыкой – одним из прекраснейших видов искусства, чьи произведения создаются исключительно за счёт чувств, эмоций и вдохновения? Чтобы проследить это сходство, стоит вспомнить о том, что музыка – это не талантливое «нагромождение» звуков, музыка – это наука, в основе которой всё та же логика, определённые правила и рациональность (

рацио – разум).

Таким образом, я решила проследить данное сходство и найти ответ. Хорошенько подумав, я создала гипотезу, о том, что занятия музыкой помогают в изучении математики. Цель моего исследовательского проекта будет заключаться в следующем: провести взаимосвязь между занятиями музыкой и математикой. Для достижения цели надо решить следующие задачи:

• проанализировать литературу по теме исследования;

• проанализировать музыкальный материал, найти связь с математикой;

• проанализировать оценки учеников по математике за 2 года, занимающихся и не занимающихся музыкой;

• сформулировать выводы.

Актуальность темы. К сожалению, на сегодняшний день значимость музыкального образования снижается. Большинство людей даже не подозревают о том, что музыка и математика – взаимодействующие между собой науки, что занятия музыкой развивают мышление, следовательно, развивают способность к точным наукам, в том числе и математике. Думаю, что понимание значимости музыкального образования придёт с пониманием способности музыки помогать в изучении и математики, и других наук.

Математика в музыке.

С первых уроков в музыкальной школе я сделала вывод, что в музыке преобладают различные числа. Тогда я не обратила на это особого внимания. Но, столкнувшись с темой сходства математики с музыкой, я задумалась: математика – это, прежде всего числа и счёт, и в музыке я с этим сталкивалась постоянно.

Начнем с того, что в музыке существуют 7 нот, которые записываются на 5 линейках. Ещё есть немало чисел, которые используются для передачи информации относительно какого-либо музыкального произведения. Любая мелодия имеет свой ритм. Чтобы как-то упорядочить ритм при записи какого-либо музыкального произведения, придумали размер, который состоит из двух чисел: 2/4, 3/4, 4/4, 3/8, 6/8 и т.д.

Таким образом, в любом музыкальном произведении встречаются числа, обозначающие размер произведения:

Существует также понятие длительности звуков (нот). В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота (), половинная (), четверная (), восьмая

(), шестнадцатая (). Реже встречаются – тридцать вторые и шестьдесят четвертые.

Названия длительностей служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты () на равные доли. Поэтому длительности можно подсчитывать как дробные числа, например:

= +

Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде уравнения: 1/4 = 1/8 + 2/16. Рассмотрим другие примеры:

= + + = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2. И наоборот: 3/4 + 2/8 = 1/1 = + + + + = . Таких примеров можно привести множество.

В музыке также существует понятие интервалов.

Интервал – это расстояние между двумя звуками. Чтобы определить название интервала, нужно произвести некоторые вычисления. Например, интервал секунда включает две ступени музыкального звукоряда, расстояние между которыми равно 0,5 или одному тону; интервал терция включает три ступени, расстояние между ними равно 1,5 или двум тонам, интервал кварта включает четыре ступени и т.д. (Приложение №1).

Чтобы проследить ещё одну из множества связей математики и музыки обратимся к дирижированию. Под дирижированием подразумевается управление исполнением музыкального произведения большим составом музыкантов: хором, оркестром или другими крупными ансамблями.

В основу приёмов дирижирования положены двухдольные, трёхдольные и четырёхдольные фигуры взмахов. Они заключаются в следующем (все схемы даны для правой руки). Все простые двухдольные размеры движутся двумя взмахами – вниз и вверх: ↓↑. Все простые трёхдольные размеры дирижируются тремя взмахами – вниз, вправо и вверх: ↓→↑. Четырёхдольные размеры — четырьмя взмахами – вниз, влево, вправо, вверх: ↓← →↑.

Существуют ещё сложные размеры (шести, девяти и двенадцатидольные), но мы не станем разбирать их подробно.

Немного истории.

Давайте вспомним, что на Земле ничего не существует без движения. Музыка также не является исключением. Именно в звуковом движении заложен сложнейший механизм её существования и воздействия на человека. Всякий звук – это колебания воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Если звучание – это колебание, то законы соотношения звуков самым прямым образом зависят от физических законов, определяющих взаимодействие колебаний с различными частотами.

«В музыке действуют природа и сила числа», – сказал Пифагор. Он был одним из первых, кто попытался установить взаимосвязь музыки и математики. Пифагор считал, что гармония чисел похожа на гармонию звуков и оба эти занятия развивают мышление, существенно дополняя друг друга. (Приложение №2).

Местом рождения Пифагора считается остров Самос. Точная дата его рождения не известна. Пифагор учился музыки в Египте и установил ее предметом науки в Италии. Им была создана школа мудрости или, как её ещё называют, пифагорейский союз. Там музыкальное искусство воспринималось наряду с точными математическими науками как научная дисциплина, а не как второстепенное практическое занятие. Пифагор и его последователи изучали философскую и математическую стороны звука, даже пытались связать музыку с астрономией. Некоторые их воззрения оказались ошибочными. Но одна их заслуга перед музыкой несомненна: они заложили основы современной теории музыки, без которой трудно разобраться в музыкальном искусстве.

Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был созданный ими «Пифагоров строй», который использовался для настройки популярного в те времена музыкального инструмента – лиры. Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу. Для своих опытов Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Используя монохорд, он также изучал музыкальные интервалы, открывал математические соотношения между отдельными звуками.

Очевидно, подставку монохорда можно было перемещать вверх или вниз таким образом, что звуки будут меняться по высоте постепенно. В этом случае получается звукоряд, отдельные звуки которого называются ступенями.

Но «Пифагоров строй» был несовершенен, чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз приходилось перенастраивать.

На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нём сохранилась «пифагорова комма» (чистота настройки, удовлетворявшая требованиям одноголосной музыки, давала неприятную резкость в созвучиях).

Постепенный поиск правильного соотношения звуков, их соразмерности привел к удивительной находке в музыкальном искусстве – темперации. Темперированный строй состоял из 12 ступеней звукоряда (звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке). И что интересно, само слово «темперация» в переводе с латинского означает правильное соотношение, соразмерность. Жизнеспособность новой музыкальной системы доказал Иоганн Себастьян Бах, написав «Хорошо темперированный клавир», состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений (каждое произведение соответствовало определённой ступени звукоряда). Авторитет великого композитора примирил споры выступавших «за» или «против» нового музыкального строя. Этот строй сохранился до наших дней.

Давайте посмотрим на клавиатуру фортепиано. Если посчитать все клавиши (звуки) их мы насчитаем восемьдесят восемь (52 белые и 36 черных клавиш). Весь этот огромный звукоряд делится на три основных регистра: низкий, средний и высокий.

Здесь напрашивается аналогия с вселенной, её небосводом. Как известно, он разделён тоже на восемьдесят восемь отсеков (секторов), которые в свою очередь распределены между 12 уровнями – от низшего к высшему. За каждым уровнем закреплён знак Зодиака в следующем порядке: Рыбы, Водолей, Козерог, Стрелец, Скорпион, Весы, Дева, Лев, Рак, Близнецы, Телец, Овен. Каждый из этих знаков окружен зодиакальным созвездием. Всех созвездий насчитывается 12 (разместившееся между Скорпионом и Весами созвездие Змееносца не имеет своего знака Зодиака).

Всё это наводит на мысль о неразрывной связи космоса с музыкальной системой, об отражении в последней вечных законов мироздания. Вернёмся вновь к Пифагору и лире. Существует мнение, что в древнейшем варианте пифагореизма (у самого Пифагора) речь шла только о гармонии (музыке) трёх сфер – Земли, Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой, квинтой и октавой. Они-то и легли в основу настройки четырёх струн лиры – до – фа – соль – до.

В своих работах учёные неоднократно пытались представить музыку как своеобразную математическую модель. Приведём, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера «Диссертация о звуке», написанная в 1727 году: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований всё, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков» (Приложение №3).

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики прошлого: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д’Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта – «Трактат о музыке»; первая крупная работа Леонарда Эйлера – «Диссертация о звуке».

Таким образом, связь музыки и математики просматривалась задолго до наших дней.

Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием «Калейдофон». Считают, что такие известные композиторы как Джордж Гершвин, Эйгор Вилла Лобос в некоторых своих произведениях пользовались этой системой.

Практическая часть.

Вернёмся к гипотезе о том, что занятия музыкой помогают в изучении математики. Я решила проанализировать оценки по математике моих друзей и знакомых, занимающихся и не занимающихся музыкой. Всего 20 человек, это учащиеся нашей школы.

Если представить данные в таблице в виде диаграммы, получится следующее:

Анализ результатов:

Всего обучающихся в музыкальной школе – 9 человек (45%), из них успешных в математике – 77% и неуспешных – 23%. Из тех, кто не занимается музыкой – 11 человек (55%), успешных в математике составляет 64%, не успешных – 36%. При этом процент тех, кто не занимается музыкой и плохо знает математику вдвое превышает процент «середнячков»-музыкантов. Таким образом, можно сказать, что музыка не мешает изучению школьного предмета – математики, а наоборот способствует.

Заключение.

Для выявления взаимосвязи математики и музыки я изучала и анализировала научную литературу. Я познакомилась с историей и формированием Пифагорейской теории музыки, проследила развитие музыкального строя – от Пифагорова к темперированному. Рассмотрев математическую теорию музыки, я поняла и разобралась в том, что различные музыкальные звуки и их сочетания подчиняются простым математическим законам. Современные учёные изучают геометрический строй музыки. Данная тема актуальна в наши дни, и в ней есть место для новых открытий.

На практике я проанализировала оценки учеников и пришла к выводу, что занятия музыкой не препятствует, а способствует изучению математики.

Вывод. Задумываясь над темой этого проекта, я поняла связь между математикой и музыкой. В основе этих двух наук всё те же логика, закон и порядок. Они обе развивают мышление. Эти две незаурядные науки во многом дополняют и украшают как друг друга, так и окружающий нас мир.

Список источников информации и иллюстраций:

Литература:

1. Вахромеев В. «Элементарная теория музыки». Москва « Просвещение», 1989. – с.247

2. Виноградов Г., Красовская Е. «Занимательная теория музыки». Москва, «Советский композитор» 1991. – с.189

3. Зильберквит Марк. «Мир музыки». Москва, «Детская литература» 1998. – с.219

4. «Энциклопедический словарь юного математика». Москва «Педагогика» 1985.

Сайты в Интернете:

1. http://moypifagor.narod.ru

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагореизм.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлер, Леонард

4. http://livescience.ru/Статьи:Музыка-математика-в-цифрах.

5. http://pandia.ru/text/category/nauchnie_raboti/ /text/77/497/8541.php

Иллюстрации:

1. http://go.mail.ru/search_images?q=леонард эйлер картинки

Приложения.

Приложение №1

Интервалы.

• Прима – однозвучный интервал.

• Секунда – интервал, имеющий две ступени, насчитывающий 0,5 тона (малая секунда) или 1 тон (большая секунда).

• Терция – трёхступенный интервал, насчитывающий 1,5 тона (малая терция) или 2 тона (большая терция).

• Кварта – четырёхступенный интервал, кварта бывает двух разновидностей: чистая – 2,5 тона, увеличенная – 3 тона.

• Квинта – насчитывает 5 ступеней, также бывает трёх разновидностей: чистая – 3,5 тона, уменьшённая – 3 тона.

• Секста – шестиступенный интервал, бывает малой (4 тона), большой (4,5 тона).

• Септима – насчитывает 7 ступеней, бывает большой и малой, насчитывает 5 и 5,5 тонов.

• Октава (чистая) – интервал в восемь ступеней и шесть тонов, обозначается ч. 8.

Приложение №2

Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) древнегреческий философ и математик. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Возвратившись на родину (ок. 530 г. до н. э.), Пифагор попытался организовать свою философскую школу. Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селится в Кротоне (греческая колония на севере Италии). Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статус пифагорейского союза был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя.

По своим философским взглядам Пифагор был идеалистом, защитником интересов рабовладельческой аристократии. Возможно, в этом и заключалась причина его отъезда из Самоса, где большое влияние имели сторонники демократических взглядов. В общественных вопросах под «порядком» пифагорейцы понимали господство аристократов. Древнегреческую демократию они осуждали.

В конце V в. до н. э. в Греции и ее колониях прокатилась волна демократического движения. Победила демократия в Кротоне. Пифагор вместе с учениками оставляет Кротон и уезжает в Тарент, а затем в Метапонт. Прибытие пифагорейцев в Метапонт совпало со вспышкой там народного восстания. В одной из ночных стычек погиб почти девяностолетний Пифагор. Его школа прекратила свое существование. Ученики Пифагора, спасаясь от преследований, расселились по всей Греции и её колониям. Добывая себе средства к существованию, они организовывали школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию. В этих науках они совершили массу открытий. Многие их открытия использовал в «Началах» Эвклид. Пифагорейские идеи проникли в Афины, они были приняты Сократом, позже переросли в мощное идейное движение, возглавленное великим Платоном и его учеником Аристотелем.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово «философ», как и слово «космос» достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески «математикой».

Приложение №3

Леонард Эйлер  (1707-1783) — математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец.

Леонард Эйлер родился в 1707 г, в швейцарском городе Базеле в семье пастора. Учился в Базельском университете, где его учителем был известный математик Иоганн Бернулли. Проявлял необычайные способности в самых различных отраслях знаний и уже в 1722, в возрасте 16 лет, получил степень магистра. В конце 1726 г. был приглашен в только что созданную Петербургскую академию наук и в мае 1727 приехал в Петербург. Здесь Эйлер нашёл самые благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого периода жизни в Петербурге, он подготовил к печати около 80 трудов и свыше 50 опубликовал. Изучил русский язык, в дальнейшем многие свои научные работы публиковал на русском.

В 1741 Эйлер принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация академии наук. В Берлинской академии наук Эйлер занял пост директора класса математики и члена правления, а с 1759 года фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

Живя в Берлине, Леонард Эйлер не переставал интенсивно работать для Петербургской академии наук, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с M. В. Ломоносовым, которого высоко ценил.

По приглашению Екатерины II в 1766 г. вернулся в Петербург и, несмотря на постигшую его слепоту, продолжал активно работать: за это время им было опубликовано около 400 работ. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 17 сентября 1783 года.

Леонард Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был, прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

«Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель», — любил повторять известный французский учёный Пьер-Симон Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали — точнее, изучали — и «король математиков» Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий.

Учебно-исследовательская работа по математике «Математика и музыка»

Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›Учебно-исследовательская работа по математике «Математика и музыка»

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: 417219

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

Исследовательский проект «Музыка и математика» | Искусство (музыка, ИЗО, МХК)

Исследовательский проект «Музыка и математика»

Автор: Осипова Татьяна Павловна

Организация: МОУ СОШ х. Бурковский

Населенный пункт: Волгоградская область, х. Госпитомник

Сегодня математика становится всё более популярным, но остаётся при этом не менее сложным предметом, ценность музыки и музыкального образования в школе должна повышаться, но это придёт только с пониманием способности музыки помогать в изучении математики.

В нашей школе на уроках музыки мы занимаемся не только вокальной работой, но и изучаем теорию музыки, а также проводим анализ музыкального произведения.

Мы задали себе вопрос: «Какая связь может быть между математикой и музыкой? И можно ли эту связь использовать с пользой для себя?» Решили найти ответы на эти вопросы и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.

Гипотеза: Музыка и математика связаны между собой и занятия музыкой помогают изучению математики.

Цель: доказать взаимосвязь музыки и математики, способствующей улучшению качества личностных достижений учащихся.

Для достижения цели определили

задачи:

-проанализировать литературу по теме исследования;

-сравнить материал, изучаемый на уроках музыки и математики;

-переложить числа (даты рождения ) на музыку;

-установить связь между «звучанием» даты рождения и способностями личности;

-сформулировать выводы.

Объект исследования: музыка и математика.

Предмет исследования: математика в музыке.

Методы исследования:

-работа с источниками информации;

— анкетирование;

-анализ, сравнения, наблюдения.

Этапы работы:

3. этап – аналитический: анализ полученных результатов, выводы.

Изучая информацию по теме исследования, мы узнали, что люди давно задумывались о связи музыки и математики.

Так древнегреческий математик — философ Пифагор был первым, кто изучил и установил связь между музыкой и математикой.

Математика в музыке — Изучение связей

Мы решили создать эту тему, чтобы показать вам, как математика связана с музыкой. Может быть, вы не любите математику, но не волнуйтесь, мы постараемся объяснить каждую концепцию простым способом, чтобы вы поняли, что наша чувствительность к звуку связана с логикой нашего мозга. Это очень интересно, так что избавьтесь от предрассудков. Все знания хороши, когда их хорошо преподают.

Очень хорошо, в первых темах этого веб-сайта мы упоминали, что звук — это волна, и что частота звука — это то, что определяет музыкальную ноту.

а что такое частота? Это повторение с привязкой ко времени . Представьте себе вращающееся колесо велосипеда. Если это колесо совершает один оборот за 1 секунду, мы говорим, что частота этого колеса составляет «один оборот в секунду» или «один герц».

Герц — это просто имя, данное для обозначения единицы частоты, которое часто сокращается до «Гц». Если это колесо в нашем примере совершит 10 оборотов за 1 секунду, его частота будет 10 Гц (10 Гц).

Отлично, но при чем тут звук? Что ж, звук — это волна, и эта волна колеблется с определенной частотой.Если звуковая волна совершает одно колебание за 1 секунду, ее частота будет 1 Гц. Если звуковая волна совершает 10 колебаний за 1 секунду, ее частота будет 10 Гц. Для каждой частоты у нас есть разный звук (другая нота). Нота A, например, соответствует частоте 440 Гц.

И при чем тут математика? Было замечено, что , когда частота умножается на 2, банкнота остается той же . Например, нота A (440 Гц), умноженная на 2 = 880 Гц, также является нотой A, только на одну октаву выше.

Если бы целью было понизить октаву, достаточно было бы разделить ее на 2. Тогда мы можем сделать вывод, что нота и соответствующая ей октава поддерживают соотношение 1/2.

Эксперименты Пифагора

Итак, прежде чем продолжить, давайте вернемся в прошлое, в Древнюю Грецию. В то время жил человек по имени Пифагор, который сделал очень важные открытия для математики (и для музыки). Это мы только что показали об октавах, он обнаружил, «играя» с натянутой струной.

Представьте себе натянутую веревку, привязанную к ее концам. Когда мы играем на этой струне, она вибрирует (см. Рисунок ниже):

Пифагор решил разделить эту строку на две части и снова коснулся каждого конца. Звук был точно таким же, только выше (поскольку это была та же нота на октаву выше):

Пифагор на этом не остановился. Он решил попробовать, как будет выглядеть звук, если струну разделить на 3 части:

Заметил, что появился новый звук, отличный от предыдущего.На этот раз это была не та же нота на октаву выше, а другая нота, которую нужно было переименовать. Этот звук, несмотря на то, что он отличается, хорошо сочетается с предыдущим звуком, создавая приятную гармонию для слуха, потому что показанные до сих пор деления имеют математические отношения 1/2 и 2/3 (наш мозг любит четко определенные логические отношения).

Итак, он продолжал делать подразделения и математически комбинировать звуки, создавая гаммы, которые позже стимулировали создание музыкальных инструментов, которые могли бы воспроизводить эти гаммы.

Интервал тритона, например, был получен из отношения 32/45, сложного отношения, фактора, который заставляет наш мозг считать этот звук нестабильным и напряженным.

Со временем заметкам дали имена, которые мы знаем сегодня.

Интересно, что в целом человеческий мозг интерпретирует звуки как «приятные», исходя из небольших значений в числителе и знаменателе дроби, например, 2/3, 4/5, 8/5 и т. Д. Дробь 32/45 звучит «неприятно».

Хотя нет никаких научных доказательств, подтверждающих это, причиной может быть комбинация периодов, когда очень несовпадающих периодов труднее интерпретировать .Например, представьте себе звук, который воспроизводится каждые две секунды, вместе с другим звуком, который воспроизводится каждые 3 секунды (в результате получается доля 2/3). Образец, полученный в результате этой комбинации двух ритмов, можно было быстро идентифицировать. Однако два звука, воспроизводимые в пропорции 32 на 45, будут образовывать ритмический узор, который будет труднее расшифровать. Если эта идея не очень ясна, рассмотрите следующее:

На практике, как мы уже видели, музыкальная нота формируется из быстро проигрываемых последовательно ударов (например: 220 ударов в секунду = 220 Гц).

Когда мы играем две ноты одновременно, мы сравниваем звук, который ударяет X раз в секунду, с другим, который ударяет Y раз в секунду, что приводит к соотношению X / Y.

Если наименьшая форма этой дроби приводит к малым числам, это означает, что ритмический образец может быть легче интерпретирован.

Другими словами, каждая нота имеет связанный ритм, и человеческий мозг интерпретирует эти ритмы в диапазоне высоты тона (высокий или низкий). Наложение двух нот по своей фундаментальной физической сути является ритмическим наложением.Если полученный ритм состоит из простого и узнаваемого рисунка, звуковая интерпретация будет более приятной.

Математика музыкальных гамм

Многие народы и культуры создали свои собственные музыкальные гаммы. Примером могут служить китайцы, которые исходили из опыта Пифагора (используя веревки). Они сыграли ноту C на натянутой струне, а затем разделили эту струну на 3 части, как мы только что показали.

Результатом этого деления стала нота G.Заметив, что эти ноты гармонируют друг с другом, они повторили процедуру, начатую с ноты G, снова разделив этот кусок струны на 3 части, в результате чего получилась нота D. Эта нота имела приятную гармонию с нотой G, а также с нотой C.

Затем эта процедура была повторена с ноты D, в результате чего появилась нота A. Затем, начиная с A, мы дошли до ноты E.

Когда они повторили эту процедуру разделения струны на 3 части еще раз, что дало начало ноте B, возникла проблема, поскольку нота B звучала не очень хорошо, когда игралась вместе с нотой C (первая нота эксперимент).На самом деле эти ноты были очень близки друг к другу, что вызывало некоторый дискомфорт в звучании.

По этой причине китайцы закончили свои подразделения, получив ноты C, G, D, A и E, оставив ноту B в стороне. Эти ноты послужили основой китайской музыки, образуя 5-нотную шкалу (пентатонику). Эта пентатоническая гамма, будучи приятной и созвучной, очень хорошо представляла восточную культуру, которая всегда руководствовалась гармонией и стабильностью.

С момента своего создания до сегодняшнего дня, пентатоническая гамма представляет собой отличный вариант для мелодий, как мы уже упоминали в статье о пентатонической гамме.Но вернемся к теме нот и частот, ведь мы пока показали только 5 нот на шкале.

Западная музыка, которая работает с 12 нотами, не отбрасывает ноту B, как это сделала восточная культура. Жители Запада отметили, что ноты C и B близки друг к другу, и решили создать более полную шкалу. На этой шкале все ноты должны находиться на одинаковом расстоянии друг от друга. И это расстояние должно быть интервалом между C и B (один полутон). То есть между C и D, например, должна быть промежуточная нота, потому что расстояние между C и D (два полутона) было больше, чем расстояние между C и B (один полутон).Путем анализа частот было обнаружено, что, умножив частоту ноты B на число 1,0595, мы получим частоту ноты C:

• B частота нот: 246,9 Гц
• C частота нот: 261,6 Гц

Умножив частоту ноты B на 1,0595, получим:

246,9 x 1,0595 = 261,6 Гц (примечание C)

Поскольку наша цель — поддерживать такое же отношение (расстояние) к другим нотам, мы будем использовать эту процедуру, чтобы выяснить, какая нота появится после C.Умножив частоту ноты C на 1,0595, получим:

261,6 x 1,0595 = 277,2 Гц (до-диез)

Повторите эту процедуру, чтобы увидеть, что идет после до-диеза:

277,2 x 1,0595 = 293,6 Гц (D-нота)

Обратите внимание: следуя этой логике, мы можем сформировать всю хроматическую гамму! То есть, умножив частоту ноты C на число «1.0595» двенадцать раз, мы вернемся к ноте C. Это возможно только потому, что «1.0595» соответствует результату корня .

Обратите внимание, что корень, умноженный сам на себя 12 раз, равен () ¹² = 2.

И мы уже видели, что нота, умноженная на 2, сама становится на октаву выше.

Теперь мы ясно видим, что эти числа не случайны. Задача с самого начала состояла в том, чтобы разделить шкалу на 12 равных частей , чтобы последняя нота снова была первой. Так появилась темперированная гамма, также называемая хроматической гаммой.

Путем нахождения заметок с частот

Все, что мы обсуждали, станет яснее, если взглянуть на ноты на пианино:

Если учесть, что первая C (крайняя слева) имеет частоту f , вторая C (на одну октаву выше будет иметь частоту 2 f ).Чтобы перейти к следующему C, нам нужно будет взять C 2 f и снова умножить на 2, получив C 4 f . Если повторить этот процесс, последняя C этого фортепиано будет C 8 f . Следуйте логике:

а как же частоты 3 f , 5 f , 6 f и 7 f , где они? Давайте разберемся. Сначала давайте подумаем о частоте 3 f . Это где-то между частотами 2 f и 4 f .7 = 1,5 (приблизительно).

Другими словами, нам нужно продвинуться на 7 полутонов вперед от 2 f , пока вы не дойдете до ноты 3 f . Вывод заключается в том, что note 3 f — это примечание G:

Обратите внимание, что теперь мы можем автоматически сделать вывод, где находится нота 6 f , потому что она будет на одну октаву выше 3 f : 3 f * 2 = 6 f . Вот почему это также было указано выше.

Выполнив ту же процедуру, мы можем найти примечание 5 f , которое находится на полпути между частотами 4 f и 6 f :

Теперь мы можем думать задом наперед, чтобы найти частоты первой октавы.До сих пор мы всегда продвигались, умножая на 2, чтобы достичь самых высоких нот. Если мы хотим найти самые низкие ноты, просто сделайте обратный процесс: разделите на 2.

То есть нота «E» (ми), обозначенная как 5 f , расположенная на одну октаву ниже, будет (5/2) * f . А при уменьшении еще на одну октаву получится (5/4) * f . То же самое и для 3 f note:

Теперь все начинает проясняться. Отношения 5/4 и 3/2, о которых мы начали говорить в этой статье, когда мы упомянули эксперимент Пифагора, материализуются на нашем фортепиано.

Используя те же методы, которые обсуждались до сих пор, мы можем точно установить все доли первой октавы:

Чтобы узнать, будут ли звучать две одновременно сыгранные ноты приятно, просто разделите свои дроби и уменьшите выражение до самой простой формы. Если результатом будет большое значение в знаменателе, ощущение будет неприятным.

Примеры:

Интервал между E и B соответствует идеальной пятой. Идеальные пятые интервалы очень приятны в музыкальном плане.Можем ли мы проверить это математически? Просто сделайте (5/4) / (15/8) = 40/60 = 2/3. Простая дробь (малый знаменатель), как и ожидалось.

А интервал между B и C? Между B и C существует конфликт звуков (ноты, разделенные полутоном, не звучат хорошо вместе). Давайте посмотрим, что математика говорит нам об этом интервале: (15/8) / (2/1) = 15/16. Сложная дробь, как и ожидалось.

Логарифм в музыке

Если вы разбираетесь в математике, то заметили, что при вычислении частот и корней мы по сути работаем с логарифмом с основанием 2.По этой причине создатели пианино поместили на корпус пианино форму логарифмической диаграммы, чтобы сделать ссылку на это математико-музыкальное открытие. Наблюдать:

Пример логарифмического графика:

Корпус фортепиано:

Идем дальше

Есть много других математических объяснений различных вопросов в музыке, и чтобы показать их здесь, необходимо обратиться к более сложным предметам, таким как ряд Фурье.Ряд Фурье можно использовать для описания поведения волны в физике. В основном, этот ряд образован основной гармоникой, добавленной к другим вторичным гармоникам. Уравнение можно описать следующим образом:

Когда струна вибрирует, мы слышим не один чистый звук, а наложение нескольких звуков , все частоты которых кратны основной частоте. Основная частота является основной, которая вносит наибольший вклад, а другие кратные частоты называются гармониками .

Количество гармоник добавляет звуку «богатства», придавая ему объем. Звук камертона, например, не имеет высших гармоник, в основном он содержит только основную частоту. Это отличный образец (по этой причине камертон обычно используется для настройки инструментов), но, напротив, камертон имеет плохой звук, без особой красоты или богатства звука.

Пропорция, в которой гармоники добавляются к основной частоте, способствует созданию тембральной характеристики каждого инструмента.Вот почему, например, гармоника имеет другой звук, чем флейта.

Очевидно, что разные материалы производят разные гармоники. Это означает, что при производстве качественного инструмента учитываются все характеристики каждого материала, например, сорт дерева, из которого изготовлен корпус гитары.

Идя дальше, когда музыкант подключает инструмент через кабель к усилителю, каждый элемент в этой цепи может в конечном итоге фильтровать некоторые гармоники, что снижает качество звука.Поэтому очень важно инвестировать не только в инструмент, но и в каждое конкретное оборудование.

Процесс звукорежиссуры, в ходе которого разрабатываются аналого-цифровые устройства для захвата звуковых волн и их сохранения в цифровом виде, всегда стремится максимально сохранить исходную форму волны. Студийное редактирование, такое как удаление шума, также использует эти концепции, пытаясь определить, какие гармоники загрязняют исходную волну.

Последние мысли

Нашей целью было показать вам, как музыка работает математически и как наш мозг понимает логические отношения.

Очевидно, что здесь мы все делали с использованием приближений (округленных чисел), так как более точный анализ был бы утомительным для большинства читателей, а также потребовал бы более строгих математических и физических испытаний.

Необязательно запоминать все, чему мы учим в этой теме, просто имейте в виду, что музыка возникла не на пустом месте, а в результате числовой организации. Вся эта интерпретация осуществляется нашим мозгом.

Суть в том, что если вы музыкант, то вы (так или иначе) математик, поскольку чувство удовольствия, которое вы испытываете при прослушивании музыки, скрывает подсознательные вычисления.

Ваш мозг любит вычисления, это вычислительная машина! Чем больше вы практикуетесь, изучаете и знаете музыку, тем больше у вас разовьется этот навык. Вы, вероятно, начнете получать удовольствие от прослушивания музыки, которая раньше не доставляла вам особых эмоций.

Это можно сравнить со студентом-физиком с 1 семестра. Если он прочитает современную книгу по физике, она будет ему казаться греческой; это не принесет ему никакого удовольствия. Но несколько лет спустя, когда он достигнет прочной математической основы и натолкнется на эту же книгу, возможно, он полюбит этот предмет и захочет посвятить ему свою жизнь.

Перейти к: Модуль 12

Вернуться к: Теория упрощения

,

AMS :: математика и музыка

«В жужжании струн присутствует геометрия, в промежутках между сферами есть музыка». — Пифагор

Счет, ритм, гаммы, интервалы, паттерны, символы, гармонии, размеры, обертоны, тон, высота. Нотации композиторов и звуки, издаваемые музыкантами, связаны с математикой. В следующий раз, когда вы услышите или сыграете классическую, рок, фолк, религиозную, церемониальную, джазовую, оперу, поп или современную музыку, подумайте о том, что общего у математики и музыки и как математика используется для создания музыки, которая вам нравится.

Изучите связи между математикой и музыкой в ​​видео, подкастах и ​​статьях ниже.

Видео

Majesty of Music and Math. «Исследуйте взаимосвязь музыки и математики. В« Величестве музыки и математики »представлены замечания математика и ученого-информатика Института Санта-Фе Криса Мура, а также музыкальные отрывки Симфонического оркестра Санта-Фе с главным дирижером Гильермо Фигероа».

Музыка + математика: симметрия. «На основе наблюдений Пифагора фундаментальной математической взаимосвязи между вибрирующими струнами и гармонией в оцифрованном музыкальном мире, которым мы наслаждаемся сегодня, The Majesty of Music and Mathematics с Симфонией Санта-Фе и Институтом Санта-Фе исследуют замечательное переплетение языков музыки и математики «. Просмотрите всю серию Института Санта-Фе, включая тритоны, гармоники, отношения и многое другое.

Геометрия в музыке; Дмитрий Тимочко. «Что может быть лучшим средством для передачи математики широкой публике, чем универсальный язык музыки? С тех пор, как Пифагор использовал числовые термины для выражения интервалов между нотами и производных музыкальных тонов из геометрических узоров, математики связали музыку с числами». На Ежегодном собрании SIAM в 2010 году Тимочко использовал графику и звук, чтобы связать математику с музыкой Шопена, Моцарта и Шуберта. Видео Адама Баузера, Bauser Media Group.

Сочетание математики и музыки. Евгения Ченг , математик, которая также является пианисткой, описывает, как математический прорыв позволил Иоганну Себастьяну Баху написать «Хорошо темперированный клавир» (1722). Во время записи видео Ченг был приглашенным старшим преподавателем математики в Чикагском университете. У Ченга также есть серия видео из 11 частей, Math in Music , организованная WFMT , 2020, с такими темами, как «Чувство коммутативности умножения», «Математика для создания новых идей», «Симметрия в музыке», «Дроби вызывают у нас чувства!», «Математика тоже может звучать плохо» и «Гармоники как спецэффекты».«

Дэвид Кунг на тему «Симфонические уравнения: волны и трубки». Дэвид Кунг (Колледж Святой Марии в Мэриленде) представляет «Симфонические уравнения: волны и трубы» — мини-экскурс в математику и музыку, представленный в качестве почетной лекции MAA в Научном институте Карнеги.

Наука за искусством: математика за музыкой. Университет Суррея, Англия.

Еще видео

Превращение математики в музыку. Шон Хардести (Университет Райса) играет вступление к скрипичному концерту Сибелиуса и обсуждает взаимосвязь между математикой и музыкой.

Самая уродливая музыка в мире: Скотт Рикард на TEDxMIA. Скотт Рикард имеет степени в области математики, информатики и электротехники Массачусетского технологического института. и степени магистра и доктора философии в области прикладной и вычислительной математики Принстонского университета.Рикард говорит, что он «увлечен математикой, музыкой и образованием следующего поколения ученых и математиков».

Роберт Шнайдер — Ревери в подписях прайм-тайм (август 2013, Банф-центр). Роберт Шнайдер («Яблоки в стерео» / «Слон 6») написал эту тему для пьесы математика Эндрю Грэнвилла и сценариста Дженнифер Грэнвилл «MSI (Исследование математических наук): анатомия целых чисел и перестановок». «Как видно из названия, пьеса написана тактовыми размерами с простыми номерами, то есть в каждом такте есть простое количество долей.Основная тема воспроизводится в размере 7/4, который указывает на 7 долей в такте, с интермедией, которая также проходит через подписи 2/4, 3/4 и 5/4. Из ограничений, налагаемых этими ритмическими паттернами, мелодии возникали естественным образом, когда я сочинял, особенные для каждого основного тона …

Музыка и математика: Гений Бетховена — Наталья Сент-Клер TED Ed. Наталья Ст. Клер использует Лунную сонату «, чтобы проиллюстрировать способ, которым Бетховен смог передать эмоции и творчество, используя математическую достоверность.«

Математика в музыке. Итан Томпсон и Дэвид Гамильтон забавно и кратко объясняют математику, лежащую в основе музыки, в этой работе финалиста конкурса Math-O-Vision 2015 года.

Слушайте (Подкасты)

• Making Beautiful Mathematics, подкаст-интервью с Робом Шнайдерманом (Lehman College, CUNY) о метафорических связях между математикой и музыкой.
• Маркус дю Сотуа: музыка и симметрия. Маркус дю Сотуа (Симони, профессор общественного понимания науки и профессор математики Оксфордского университета) беседует с аудиторией на концерте о связях между музыкой и математикой.
• Музыка на карте. Слушайте Дмитрий Тимочко (Принстонский университет) говорит об использовании топологии для представления музыкальных аккордов в виде точек в пространстве.

Смесь математики и музыки

• «Фазовые переходы: математика в музыке», Phys.org , 23 мая 2019 г.
• «Нет статики вообще: частотная модуляция и синтез музыки», Дэвид Остин.
• «Частотно-временной анализ музыкального ритма», Сяовэнь Ченг, Джарод В. Харт и Джеймс С. Уокер.
• «Музыкальные действия двугранных групп» Алиссы С. Кранс, Томаса М. Фьоре и Рамона Сатьендры.
• «Музыка: нарушенная симметрия, геометрия и сложность» Гэри В. Дона, Карин К. Мьюир, Гордона Б. Волка, Джеймса С. Уокера
• «Что-то не так с метрономом Бетховена?» Стуре Форсен, Гарри Б.Грей, Л. К. Олоф Линдгрен и Ширли Б. Грей,
• Эмили Ховард, статьи и сочинения опубликованы от имени художника по месту жительства, факультет математических наук, Ливерпульский университет
• «Математические модели, как и у композитора, должны быть красивыми», Питер Линч, The Irish Times
• «Математика и музыкальное приношение» Тони Филлипса
• «Математика настройки фортепиано» Тони Филлипса
• «Топология поверхности в канонах Баха: Часть I и Часть II» Тони Филлипса
• PRiSM: Центр практики и исследований в области науки и музыки при Королевском северном музыкальном колледже, которым руководит композитор Эмили Ховард (профессор композиции, RNCM), и совместно с математиком Маркус дю Сотуа (профессор Симони по вопросам общественного понимания Наук и профессор математики Оксфордского университета)
• «Магическая математика музыки» Джеффри Розенталя
• Роб Шнайдерман «Можно ли услышать звук теоремы?».
• «Песни этой птицы имеют общие математические черты с человеческой музыкой», Хелен Томпсон.
• Блог Дэниела: музыка и математика, Дэниел Томпкинс
• Математика и музыка: подборка сочинений и описаний, Даниэле Трукко
• «Обобщенный тоннец» Дмитрия Тимочко
• «Неориманова теория», Википедия

Если вы хотите порекомендовать другие сайты по математике и музыке, сообщите нам об этом.Отправьте электронное письмо в общественную информационную службу AMS.

Ресурсы доступны по подписке или покупке

См. Также: Society for Mathematics and Computing in Music. Общество было основано в 2006 году как международный форум для исследователей и музыкантов, работающих в междисциплинарной сфере на стыке музыки, математики и вычислений. Веб-сайт содержит информацию о присоединении к собраниям и их посещении, а также электронные информационные бюллетени.

Чтобы запросить копию плаката AMS Mathematics & Music , отправьте электронное письмо в Общественное информационное бюро AMS. Примечание 02.04.20: Выполнение запросов на плакаты приостановлено.

,

Классическая музыка и математика — CMUSE

Классическая музыка и математика

На протяжении моей карьеры учителя музыки коллеги часто предполагали, что мои математические способности будут аналогичны моим музыкальным способностям. К счастью для меня, моя математика не так уж и плоха, но достаточно ли этого доказательства, чтобы установить прочную связь между этими двумя разными дисциплинами? Связь между математикой и музыкой не нова, и в этой статье я собираюсь исследовать эту увлекательную идею немного дальше.

Классическая музыка и математика

Известный греческий математик и философ Пифагор установил некоторые из самых ранних зарегистрированных связей между математикой и музыкой. Именно Пифагор обнаружил связь между изменениями тона вибрирующих струн и тем, как они делятся. Например, если длина двух струн находится в соотношении 2: 3, разница в создаваемой высоте тона или тоне равна пятой (например: D — A). Его работа, в свою очередь, была далее обсуждена и развита Платоном в его работе «Состав души».

Менее сложным образом мы также можем найти связь между двумя предметами с точки зрения ритмического деления. Если мы рассмотрим традиционную нотную запись, первое, что мы заметим рядом с ключом, — это «размер» (см. Рис. 1).

Рисунок 1.

Эти две цифры говорят исполнителю, как каждый такт музыкальное произведение делится. В случае 3/4 каждая полоса имеет три доли крючка в качестве максимального значения. Полоса может включать в себя целый ряд различных музыкальных значений, которые в сумме составляют до трех ноток (нот с одной долей), и здесь снова в игру вступает математика.

Это приводит к разделению значений нот, которые сами по себе могут рассматриваться как математические в их отношении друг к другу. (См. Рис. 2)

Рис. 2.

На этом рисунке показано деление полубреве (вверху) на все более мелкие ноты; эффективно делится на два каждый раз.

Маркировку метронома также можно рассматривать как ссылку на математику. Этот музыкальный индикатор сообщает исполнителю точную скорость музыкального произведения в отличие от словесного представления скорости.Под этим я подразумеваю, что часто композиторы пишут Allegro, Andante, Adagio , чтобы обозначить скорость и характер своей композиции, но эти слова не передают точную скорость или темп пьесы. Маркировка метронома — это числовое представление темпа музыки. Если композитор желает, чтобы произведение воспроизводилось с одним ударом крючка в секунду, то он должен написать метроном, отметка которого будет равна 60. (См. Рис. 3)

Рисунок 3.

Аналогично, вязание крючком равно 120. ровно в два раза выше скорости указанной выше маркировки; или вязание крючком равно 180, в три раза быстрее.

Арнольд Шенберг изобрел совершенно революционный метод музыкальной композиции, который стал известен как сериализм. Шенберг создал этот композиционный инструмент, чтобы отойти от традиционной тональной системы написания музыки. В подходе Шенберга он позволяет каждой ноте хроматической гаммы иметь одинаковую важность и полностью отказывается от концепции тональности. Его ученики, Альбан Берг и Антон фон Веберн, переняли этот метод композиции очень разными способами, но оба основывались на том, что стало известно как «тоновые ряды».

Эти ряды тонов легли в основу композиций, обеспечивая музыкальный материал, на котором основывается работа. Построение тонового ряда в соответствии с принципами Шенберга означало, что никакая нота не могла использоваться снова, пока не были включены все остальные ноты хроматической гаммы. Это фактически означало, что все двенадцать нот хроматической гаммы использовались в тональном ряду одинаково.

Из этих идей вы можете начать понимать, насколько математическим может стать процесс композиции.Более поздние композиторы, такие как Булез, Картер, Штокхаузен и, в некоторой степени, Мессиан, создавали композиции, в которых почти каждый аспект музыки определялся «последовательными» процессами, от высоты звука до ритмических разделов и всей структуры произведения. Чтобы оценить влияние на композицию, нужно услышать ее. Для многих этот переход к более математическому процессу для музыки был просто слишком большим шагом и в некоторых смыслах почти лишил всех возможности получить доступ к результатам.

В работе греческого композитора Ксенакиса он применил принципы стохастической математики непосредственно в своей музыкальной композиции. Он утверждал, что этим методом может пользоваться любой, кто разбирается в математических концепциях, но мне кажется, что он несколько переоценил сложность задачи. Xenakis создал несколько замечательных композиций, и для меня музыкальный результат не омрачен лежащими в основе процессами. Одной из его новаторских работ была композиция 1954 года под названием «Метастазы», ​​в которой Ксенакис использует 12-тональные методы и ряд Фибоначчи для изучения взгляда Эйнштейна на время.Музыка напрямую связана с математикой открытым и честным образом, чего, насколько мне известно, ни один другой композитор раньше не достиг. Результаты потрясающие и уникально красивые.

Музыка 20 ^th и 21 ^st Century — не первая классическая музыка, которая включает математические концепции в свой дизайн. Среди многих композиторов Бах часто упоминается как творческий и особый способ использования математики в своих произведениях. Насколько нам известно, Бах любил число 14 и его обратное число — 41.Почему 14, ну, если вы назначите каждой букве ее номер с A в качестве первой буквы, вы получите следующее: B = 2; А = 1; C = 3 и H = 8, что в сумме дает 14. В «Вариациях Гольдберга» Баха это число проходит структурной нитью через 14 канонов. В «Музыкальном приношении» есть ряд статей, исповедующих математическую связь с контрапунктовой музыкой, сочиненной Бахом. Это распространяется на возможность выразить каждый из канонов как математическую функцию.

Чем глубже вы будете искать связи между математикой и музыкой, тем больше вы найдете.Возможно, важно помнить, что математика — это не просто способ решения задач или доказательства концепций, а музыкальная композиция — это не только метод организации звуков. Прелесть обеих дисциплин в том, насколько органично они могут работать в тандеме, позволяя нам исследовать и выражать наши идеи.

Чтение:

.

Музыка, математика и шаблоны — Math Central

Наташа Глайдон

Математика и музыка обычно делятся на две отдельные категории без очевидного совпадения. Обычно люди хороши в математике и естественных науках или , искусстве и музыке, как если бы эти два элемента нельзя было логически соединить вместе. На самом деле математика и музыка действительно связаны, и мы обычно используем числа и математику для описания и обучения музыке.

Заметки для чтения и дроби

Музыкальные пьесы читаются так же, как математические символы.Символы представляют некоторую информацию о произведении. Музыкальные произведения делятся на разделы, называемые тактами или тактами. Каждая мера включает в себя равное количество времени. Кроме того, каждый такт делится на равные части, называемые долями. Все это математические деления времени.
Дроби используются в музыке для обозначения длины нот. В музыкальном произведении размер сообщает музыканту информацию о ритме произведения. Размер обычно записывается в виде двух целых чисел, расположенных одно над другим.Число внизу говорит музыканту, какая нота в пьесе получает одну долю (счет). Верхнее число сообщает музыканту, сколько нот содержится в каждом такте. Числа могут многое рассказать о музыкальных произведениях.

Каждая нота имеет разную форму для обозначения длины или времени доли. Ноты также классифицируются по номерам. Есть целые ноты (одна нота на такт), половинные ноты (две ноты на такт), четвертные ноты (четыре ноты на такт), восьмые ноты (восемь нот на такт) и шестнадцатые ноты (шестнадцать нот на такт).Эти числа показывают, как долго сохраняются ноты. То есть целая нота будет длиться весь такт, тогда как четвертная нота будет длиться только доли, и, таким образом, достаточно времени для четырех четвертных нот в одном такте. Это можно выразить математически, так как 4 x 1/4 = 1. Нота с точкой после нее удлиняет ноту вдвое. Например, четвертная нота с точкой после нее будет удерживаться на 3/8
такта, поскольку

Три восьмых такта — это середина между четвертью и половиной.Музыкантам важно понимать отношения и значения дробей, чтобы правильно держать ноту.

Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи — это известная и хорошо известная последовательность, которая выглядит следующим образом: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… и так далее, добавляя каждый член к предыдущему. это создать следующий термин. То есть 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, и продолжается бесконечно. В музыке последовательность Фибоначчи можно увидеть в фортепианных гаммах.Например, шкала C на фортепиано состоит из 13 клавиш от C до C; восемь белых клавиш и пять черных клавиш, причем черные клавиши расположены группами по три и две.

Изображение воспроизведено с разрешения Деб Эйвери

В последовательности Фибоначчи соотношение между каждым членом очень близко к 0,618, что известно как золотое сечение.

Пифагор и частота

Именно Пифагор понял, что разные звуки можно издавать с разным весом и вибрациями.Это привело к его открытию, что высота тона вибрирующей струны пропорциональна ее длине и может контролироваться ею. Струны, урезанные вдвое, на октаву выше оригинала. По сути, чем короче струна, тем выше высота звука. Он также понял, что ноты определенных частот лучше всего звучат с несколькими частотами этой ноты. Например, нота 220 Гц лучше всего звучит с нотами 440 Гц, 660 Гц и так далее.

Самая тесная связь между музыкой и математикой — это шаблоны.Музыкальные произведения часто имеют повторяющиеся припевы или такты, похожие на паттерны. В математике мы ищем закономерности для объяснения и предсказания неизвестного. Музыка использует аналогичные стратегии. При просмотре музыкального произведения музыканты ищут ноты, которые они узнают, чтобы найти ноты, которые являются редкими (высокими или низкими) и менее знакомыми. Таким образом, примечания связаны друг с другом. Отношения имеют фундаментальное значение для математики и создают интересную связь между музыкой и математикой. ,