Разное

Математика в искусстве и музыке: Недопустимое название — Викицитатник

Содержание

Математика и музыка – есть ли связь?

Математика и музыка – есть ли связь? На этот сложный вопрос искали ответ воспитанники ноябрьской смены «Сириуса» вместе с кандидатом физико-математических наук.

Словами математика и физика Готфрида Лейбница «Музыка есть радость души, которая вычисляет, сама того не сознавая» кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики института им. В.А. Стеклова РАН, создатель проекта «Математические этюды» Николай Андреев начал лекцию о связи двух пространств — математического и музыкального.

Лекция «Математика и музыка» была посвящена истории великих математических задач, решённых и тех, которые до сих пор остаются для человечества загадкой. Для того, чтобы наглядно продемонстрировать школьникам связь между строгим пространством чисел и чарующими звуками музыки, лектор специально пригласил 16-летнюю Анастасию Голикову (г. Новоуральск, Свердловская область), участницу смены по направлению «Искусство».

Задание для присутствующих в зале, половина из которых математики, Николай Андреев специально сформулировал в виде задачи с условием: доказать на примере музыкальной композиции для виолончели, что определение интервала в музыке – это вычисление разности между двумя звуками, построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики, а звуковые частоты – это не что иное, как геометрическая прогрессия.

Участница Южной математической смены 15-летняя Олеся Рвач интересовалась связью музыки и математики и раньше. На эту тему она даже готовила научный доклад в школе.

– Эта лекция для меня была очень полезной по многим причинам. Во-первых, я уже работала над подобным проектом. Во-вторых, из лекции узнала ту информацию, которую раньше не могла найти: про частоту, про колебание струны. Еще больше понравилось, что нам не просто рассказали, а еще и показали. Да, я-математик, но играю на скрипке и фортепиано. То есть, все услышанное сегодня для меня не только интересно, но и полезно.

По отзывам из зала было понятно, что многие из ребят, одаренных математически, играют на музыкальных инструментах — скрипке, фортепиано, гитаре.

– Сегодня на лекции мы успели затронуть только одну тему «Частоты нот, равномерно темперированные наверх», — лектор подвел итоги встречи.  —  Из неё мы узнали, что сами произведения часто основываются на математических понятиях.

Для тех, кого связь музыки и математики не оставила равнодушным, а таких в зале оказалось большинство, Николай Андреев порекомендовал для чтения книгу из библиотеки ОЦ «Сириус» «Математическая составляющая».  В ней, по словам лектора, ребята смогут найти примеры великих музыкальных композиций, в которых доказано используется математика.

Загоруйко Илья. Математика в искусстве и живописи.

Исследовательская

работа на тему

Выполнил

Учени к 8 « Б » класса

МБОУ «Многопрофильный лицей»

Загоруйко Илья

Руководитель: Терентьева О. А.,

учитель математики

Математика в искусстве и живописи

Математика в искусстве

  • В ХХI веке распространено заблуждение, что математика и искусство – не сочетаемые понятия.
  • На самом же деле эти понятия неразделимо связаны друг с другом

Введение

Исторически, математика играла очень важную роль в музыке и изобразительном искусстве , в частности при изображении перспективы на плоском холсте или листе бумаги. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства. Однако было много художников, у которых математика находиться в центре внимания. Одним из них являлся

Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, математика,провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук . На уроках алгебры или геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук. . В результате мы часто задаёмся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?»

Цель!

Целью

работы является изучение связи между искусством и математическими науками.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи :

Определить математических и музыкальных наук;

Рассмотреть несколько геометрических законов, содержащихся в живописи;

Понять важность математических законов и расчетов при построении архитектуры .

Математика в музыке

  • Длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют мажорный аккорд удовлетворяют арифметической пропорции
  • В музыке немало математики . Мы используем западноевропейскую нотную систему, основа которой- две строгие шкалы частоты и времени .

Труды Пифагора

Первым ученым-математиком, отличившийся в музыкальной сфере, стал, несомненно, Пифагор.

Он занимался поисками музыкальной гармонии, поскольку верил в то, что такая музыка необходима для очищения души и способна помочь разгадать любую тайну.

С помощью чаши с водой и однострунной арфы он изучил соотношения между высотой тона и числами. Он обнаружил, что половина длинны струны поднимает ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков – до,ре,ми,фа,соль,ля,cи,до — древнейшая музыкальная гамма. Пифагорова теория музыки достигла даже небес. По мнению Пифагора каждая планета двигаясь с постоянной скоростью, проходит определённое расстояние, создавая звук. Именно благодаря трудам Пифагора математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки- временную и частотную шкалы. С этого момента музыкальная и математическая науки пошли бок обок друг с другом. Более того музыка начала развиваться именно благодаря математике.

Геометрия на службе у живописи

  • Линейная перспектива
  • Симметрия и асимметрия
  • Золотое сечение

Линейная перспектива

  • Линейная прямая перспектива — вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта

Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях: в области науки (строительстве, технике) и в живописи. История свидетельствует, что египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по изображениям — прототипам современных чертежей. Начала геометрии, и в частности перспективы, можно встретить в трудах древнегреческих и римских ученых.

Вывод

Закономерностями построения изображений окружающей действительности, близкой к зрительному восприятию, занимались и художники. Живопись древних времен не сохранилась, и неизвестно, какой она была в те далекие времена. Но высокое развитие архитектуры, скульптуры, дошедшей до наших дней, и труды древних ученых-математиков, писателей и философов дают основания предположить, что перспектива в творчестве художников занимала важное место.

Симметрия и асимметрия

Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство

Симметрия

Еще одним фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием «гармонии» имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является «симметрия».

К фундаментальным понятиям симметрии относятся  плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии .

Плоскостью симметрии  называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

Осью симметрии   называется такая прямая линия, вокруг которой симметричная фигура может быть повернута несколько раз таким образом, что каждый раз фигура «самосовмещается » сама с собой в пространстве. Число таких поворотов вокруг оси симметрии называется порядком оси.

Симметрия в кристаллах.

  • Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме, но любой из них представляет симметричное тело. И действительно симметричность это одно из основных свойств кристаллов.

Определение

Асимметрия — это нарушение симметрии , соразмерности или ее отсутствие.

Асимметрия у камбалы возникла в результате эволюции при изменении условий жизни. Эта рыба ведет придонный образ жизни, поэтому глаза ее располагаются на одной стороне тела.

Асимметрия всегда придает пластической форме динамику и выявляет ее потенциальную способность к движению. Поэтому принципы асимметрии лежат в основе изображения предметов движущихся или имеющих какое-то отношение к движению, либо предметов, в которых надо выразить внутреннюю энергию, жизнь .

Благодаря асимметрии мышц, тело приобретает большее изящество

Асимметрия головного мозга

Правое полушарие отвечает за образное мышление , интуитивное, эмоциональное и обращено в прошлое. Функции правого — врожденные.

Л евое полушарие отвечает за абстрактное, интеллектуальное мышление . Функции левого полушария обращены в будущее. Однако мозг функционирует как единое целое

«Мир является бедным и бесплодным, без свободного и богатого разнообразия асимметрии» Аттирэ.

Ассиметричные здания

Золотое сечение

  • Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.)

Определение

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а. Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и «Золотым сечением». О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о «Золотом сечении» — далеко не все.

Немного истории

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Математика в архитектуре

  • «Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона и Тадж-Махала

Храм Василия Блаженного

Известно, что принципы симметрии являются руководящими принципами для любого архитектора.

В одних случаях архитектор ограничивается примитивной симметрией прямоугольного параллелепипеда, в других – использует более утонченную симметрию Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов.

Невозможные фигуры

  • Невозможные фигуры — эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве.

Искаженные и необычные перспективы

  • Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников.

Фракталы

  • Фрактал — это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей.

Заключение

  • Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.
  • Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постарался это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?»

Математика и музыка — Информио

В своей жизни человек неизменно, в той или иной форме, сталкивается и с математикой, и с музыкой. Каждая сфера является крупным разделом знаний в информационном хранилище человечества, получая свои начала со времён древних цивилизаций и продолжая своё развитие по сей день. Математика и музыка имеют множество специфичных и узкоспециализированных терминов, методов работы и проявлений, из-за чего обе сферы деятельности часто рассматриваются как обособленные друг от друга, однако, если изучать подробнее, то можно убедиться в том, что множество музыкальных законов построены на математических.

Математика – это наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов [1].

Музыка – вид искусства, в котором средством воплощения художественных образов служат определенным образом организованные музыкальные звуки. Основные элементы и выразительные средства музыки — звуковысотность, лад, ритм, метр, темп, громкостная динамика, тембр, мелодия, гармония, полифония, инструментовка. Музыка фиксируется в нотной записи и реализуется в процессе исполнения [2, с. 4188].

Данные определения терминов будут основой для выбора рассматриваемых элементов с целью нахождения связи.

Исходя из определения музыки, рассмотрим взаимосвязи с математикой с точки зрения теоретического построения музыки на примере разбора нескольких данных элементов.

Основой математических знаний является арифметический счёт. Счёт, как числовой ряд, состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Арифметические действия с числами происходят путём перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. Аналогией этому в является музыкальный звукоряд — совокупность звуков одной музыкальной системы (инструмент или голос), расположенных в определённом порядке [3, с 201], где за наименьшую единицу счёта принимается полутон. При восходящем движении значение каждого звука увеличивается на единицу, когда при нисходящем — уменьшается. Так мы выявили арифметическое начало в музыке.

Далее рассмотрим ритм. Ритм является одним из основных элементов, определяющим мелодию музыки (наравне с звукоовысотностью и интерваликой). Мелодия образуется только в том случае, когда ноты организуются в едином ритме, то есть приобретают определённые длительности.

Основные ритмические измерения, применяемые в музыке — это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая. Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т.е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному.

Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби, обозначающей размер: например, в размере 3/4 – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты [4].

Также стоит отметить алгоритмизацию в музыке.

Алгоритм – это способ решения задач, точно предписывающий как и в какой последовательности получить результат [2, с. 129]. Хоть и создание музыки – творческий процесс, который невозможно представить в виде алгоритма, тем не менее, особенно в современной музыке, возникновению у композитора идеи сочинения может предшествовать большая подготовительная работа, связанная с формальными вычислениями. Например, композитор задумал создать последовательность аккордов, обладающую определёнными свойствами. Такая последовательность может быть получена с помощью применения повторяющихся действий. Конечно, полученная последовательность не будет музыкальным сочинением, но может рассматриваться как основные элементы, комбинации, из которых композитор будет создавать своё сочинение [5].

Рассмотренные нами элементы доказывают общность и единообразие математических и музыкально-теоретических процессов.

Проявление связи математики и музыки можно увидеть не только в теоретических процессах. Исследования психологов выявили яркую закономерность, связанную с одарённостью людей в математической и музыкальной сферах.

В грандиозном исследовании 25000 американских школьников, занимающихся по арт-программам, было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах высшие баллы, чем дети, музыке не обучавшиеся. Для детей из так называемых «неблагополучных семей» прогресс в математических тестах был особенно заметен: среди занимающихся музыкой восьмиклассников 21% имели высокие математические баллы по сравнению с 11% не занимающихся – музыкальные дети оказались в математическом отношении на 10% лучше немузыкальных. В десятом классе разрыв увеличился: уже 33% неблагополучных детей, занимающихся музыкой, показали высокие математические результаты, а среди не занимающихся музыкой детей из таких же семей хороших математиков было только 16% – через два года занятий разрыв составил 17%.

Выдающийся исследователь таланта и одаренности Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты: ученики восьмого класса, которые занимались игрой на музыкальных инструментах, показали себя гораздо лучшими математиками чем остальные ученики. Особенно отличились пианисты, которые выиграли по тестовым баллам конкурс по математике [6].

Подобные эксперименты раз за разом выявляют прямую закономерность: насколько музыкален человек, настолько он развит в математике – насколько высоки знания в математике, тем легче человек обучается музыкальной деятельности. Соответственно, на основе подобных исследований можно сделать вывод, что занятия по математике помогут улучшить успехи в музыкальной сфере – и наоборот.

Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно, и психологически.

Таким образом, связь математики и музыки неоспорима. Словно абсолютно разнящиеся по направленности сферы деятельности – наука и искусство, – но они переплетаются очень тесно. Математика и музыка имеют общие принципы в теоретических процессах, которые проявляются и в практических сторонах своих сфер. Также музыку и математику связывают установленные исследователями психологические и логические связи, показывающие их взаимовлияние друг на друга при обучении человека. Конечно, изучение этой области нельзя назвать полностью завершённым, но тем не менее факт того, что математика и музыка работаю на основе аналогичных процессах доказывается теоретическим и практическим путями.

Список использованных источников

Вильбур Р. Энциклопедия Britannica [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://www. britannica.com/science/mathematics (дата обращения — 02.03.2018).

Прохоров А.М. Большой энциклопедический словарь [Текст]: Издание второе, переработанное и дополненное/ А.М. Прохоров. – Москва: «Советская энциклопедия», 2000. – 7239 с.

Келдыш Г.В. Музыкальный энциклопедический словарь [Текст]/ Г.В.Келдыш. – Москва: «Советская энциклопедия»,1990 – 672 с.

Самбурская А. Математический компонент музыкального языка [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://алиса-самбурская.рф/publ/2-1-0-5 (дата обращения – 02.03.2018).

Амосов Г.Г. Музыкальное исчисление [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://book.etudes.ru/toc/music/ (дата обращения – 06.03.2018).

Морозова С. Музыка математична, а математика музыкальна [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://lionzage.livejournal.com/6540.html (дата обращения – 08.03.2018).

 

Оригинал работы:

Математика и музыка

Реферат Математика в музыке

МБОУ «Лицей №21»

«Математика в музыке»

Автор: Аниськина Ксения Игоревна

9 «А» класса

Учитель математики:

Уланова Татьяна Николаевна

г. Дзержинск

2016 год

План:

Введение

1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки

1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки

1. 2.Математический уровень музыкальных рассуждений

1. 3.Семёрка в музыке

1. 4.Чем полезна математика в музыке

1. 5.Законы пифагорейской музыки

2. Практическая часть.

2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы

2. 2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения

2.3.Примеры

2.4Опрос

Заключение

Введение.

Целью моей работы было рассказать о тесной связи музыкального искусства и науки математики, есть ли что-нибудь общее между музыкой и математикой? Если музыка связана с окружающим миром, то, наверное, она как-то взаимодействует и с наукой? Мне стало интересно самой узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой сложной, наукой, как математика.

Математика и музыка — два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.

В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени.

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства. «

Г. Нейгауз

1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки

1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки

Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы. (Плутарх)

Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса.(Альберт Эйнштейн)

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.(Готфрид Лейбниц)

Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё ещё служить источником новых музыкальных мыслей. (Пётр Чайковский)

Чрезвычайная бедность, шаткость и разрозненность существующих основ музыкальной эстетики побуждает нас пытливо всматриваться во всякое закономерное явление, относящееся к этой области, в надежде приподнять хотя бы уголок изидовой завесы, скрывающей от нашего умственного взора таинственные творческие законы природы. (Э.Розенов)

Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов — остроты современников по поводу «новой теории музыки». (Леонард Эйлер)

Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. (Генрих Нейгауз)

Музыка — это математика интуиции. (Олег Гуцуляк)

1.2.Математический уровень музыкальных рассуждений

Математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Могут ли чисто математические результаты иметь интересную интерпретацию в музыке, является для автора спорным. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Мы же будем к таким идеям подходить более осторожно.
Как обычно – четких границ между уровнями нет. Одно и то же явление может простираться через несколько уровней. Почему, например, интервал октава звучит для человека очень приятно? Можно представить это как аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки, различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и нижний из них. Поэтому они практически сливаются. А математически октава описывается числом 2, которое является наименьшим простым числом. На любом уровне, однако, существуют явления, несводимые к предыдущему уровню.

1.3.Семёрка в музыке

Октава – расстояние между двумя звуками в семь ступеней. По-другому, ряд из семи звуков – называется звукоряд: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Звуков всего семь. При помощи повторений в разных регистрах и различных сочетаний между собой образуется множество прекрасных мелодий.

Интересная семёрка.

В древнем Вавилоне были известны 7 планет, к которым причисляли Солнце и Луну. Все непонятные явления природы приписывались богам, и постепенно представление о богах соединилось с 7 планетами. 7 священное число, т.к. человек воспринимает мир через 7 отверстий в голове: два глаза, два уха две ноздри и рот. Приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному 7 разных лекарств, настоянных на 7 травах, и советовали пить их семь дней. Одиссей 7 лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено 7 стенами. У мусульман небесный свод состоит из 7 небес, и все угодные Богу попадают на седьмое небо блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье 7 слоников. В Библии – 7 ангелов.

В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум – повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Математика не включена в число смежных дисциплин и находится в стороне от музыкального искусства, скорее музыкальное искусство в некоторых своих проявлениях прибегает к использованию математического аппарата.

1.4.Чем полезна математика в музыке

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пространственное представление, столь необходимое ребенку в овладении письмом, столь же важно и в математике. Из-за его отсутствия дети не могут подписать в столбик цифры при арифметических действиях, правильно понять условие задач, особенно на время, скорость и расстояние, ошибаются в устном арифметическом счете. При дальнейшем обучении у таких детей обнаруживается неспособность следить за правильной последовательностью выполнения арифметических действий, например, сложение и вычитание производить только после выполнения умножения и деления. А когда наступает время знакомства с геометрией, попытки одолеть ее полностью терпят крах, потому что овладение этим предметом без пространственного представления невозможно. Кроме того, школьники часто делают математические ошибки из-за того, что не владеют математическими символами: они не могут следить за математическими знаками «+» и «–», путают знак «<» со знаком «>». Музыка помогает преодолеть эти затруднения на самом начальном этапе, так как знание музыкальной символики приучает к владению обозначениями любыми, в том числе и математическими.

1.5.Законы пифагорейской музыки

Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной).

Пифагор перенёс числовые соотношения на гармонию Вселенной. Согласно его учению Земля, Солнце, Луна и планеты располагаются на небесных сферах и совершают вместе с ними круговое вращение. Вследствие трения об эфир они издавали музыкальные звуки, которые объединялись в созвучия. Так возникла чудесная мировая музыка или «гармония сфер», без которой мир бы не мог существовать как единое целое. Земная человеческая музыка, по мнению Пифагора, — слабые отголоски музыкальных небесных сфер; она дана человечеству в утешение, и создаёт её тот, кто способен услышать в себе мировую музыку. Пифагор был уверен, что музыка звучит совершенными консонансами (благозвучными интервалами): тон, издаваемый Землёй принимался за тонику, сфера Луны звучала квартой, Солнце – квинтой, а звёзды и планеты – октавой.

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

w = a : l ,

где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Математическая стройность музыкального искусства потрясала не только древних мыслителей. Многие великие умы более поздних эпох и современности обращали на это внимание и использовали близость музыки и математики.

2. Практическая часть.

2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы.

Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим.

Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w1) и ее октавного повторения (w2) помогает найти совершенный консонанс квинту.

Т.к. w2 = 2w1, то w3 = (w1 + w2) : 2 = 3w1 : 2 или w3 : w1= 3 : 2 (w3 – частота колебаний квинты).

Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее октавного повторения l2.

Т.к. l2 = l1 : 2, то l3 = 2 l1 l2 : (l1+ l2) = 2 l1 l1 : 2 : (l1 + l1 : 2) = l12 : ((2 l1 + l1 ) : 2) = 2 l12 : :3 l1 = 2 l1 : 3; или l3 : l1 = 2 : 3.

Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1и октавы w2, получим w4= = 2w1w2 : (w1 + w2 ) = 2w1 2w1 : ( w1 + 2w1 ) = 4w12 : 3w1 = 4w1 :

Значит w4: w1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту.

Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ):

l4 = ( l1+ l2 ) : 2 = ( l1+ l1: 2 ) : 2 = ( 2 l1+ l1) : 2 : 2 = 3 l1 : 4; l4 : l1= 3 : 4.

Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

 

2.2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения?

Простой пример – небольшой менуэт Ф.Э.Баха включает 107 нот, помимо этого в нотном тексте содержится 38 специальных указаний. Не сложно подсчитать, что если на кодировку нот использовать по 3 байта (старт, стоп и номер ноты), по байту на специальные указания, то все произведение вполне можно закодировать в файле размером в 0,5 Кb.

2.3.Пример.

Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не три, а не пять – это надо знать!
Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь – это ясно всем!
Трижды три навеки – девять,
Ничего тут не поделать!
И нетрудно сосчитать,
Сколько будет пятью пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Совершенно верно!

сл. М.Пляцковского, муз. В.Шаинского

Если вслушаться в эту песенку, то на её примере можно выдвинуть гипотезу, что занятия музыкой помогают изучению математики. С помощью этой песенки можно легко запомнить некоторую часть таблицы умножения. Мы думаем, что ни один человек в мире не может прожить без математики и без музыки.

На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой. В музыке все считать надо. Как и в математике.7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. Чтобы записать слова – мы используем буквы, числа – цифры, а музыку – ноты.

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби. Предлагаю рассмотреть нотную запись отрывка пьесы Петра Ильича Чайковского «Сладкая греза», исполняемого на блок-флейте.

 В этой нотной записи:

Целые ноты не используются.

Половинки используются 3 раза. Например, нота до.

Четверти используются 12 раз. Например, нота ре.

 Восьмые используются 3 раза. Например, нота ми.

Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент. Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения. В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются. Кроме вышеупомянутых понятий, с понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто. Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.

Мы знаем, что при записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).Сопоставление целого числа и целой длительности.

математика

Музыка

( длительность нот)

Целое число — торт

Целая нота

Делим пополам — половина торта

Половина целой ноты — половинная

Делим торт на четыре части — одна четвертая

Делим целую ноту на четыре части – четвертная

На восемь — одна восьмая

На восемь — восьмая, восьмушка

На шестнадцать — одна шестнадцатая

На шестнадцать — Шестнадцатая

Итак, мы видим, ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность определяется длительностями, математическим счетом.

2.4.Опрос учащихся   МБОУ лицея № 21«Зачем нужна математика в музыке?»

Матукина Анастасия 7-«Б» класс: «Математика нужна в музыке для того, чтобы музыка звучала приятно».
Малиновская Екатерина 7-«В» класс:  «Математика нужна для гармонии в музыке».
Кучина Анна -8 «А» класс: “Математика приводит музыку в порядок, делает ее приятной для слуха»
Аниськин Илья 5-«Б» класс “Математические законы  делают музыку лечебной»

Заключение.

Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И. С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием «Калейдофон». Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой «Порги и Бесс», пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение — это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом…


 Список литературы.

«Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.

Р.Глиэр. О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8

Электронная энциклопедия.

Список использованных источников информации:

http://www.o-detstve.ru/forchildren/research-project/4579.html

http://ru.wikiquote.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B5

http://fdstar.com/2007/09/01/muzyka_-_eto_matematika. html

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/350410-referat-matematika-v-muzyke

Математика в искусстве

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уральский государственный экономический университет» Институт торговли, пищевых технологий и сервиса Кафедра управления качеством Статья по дисциплине математика Тема: «Математика в искусстве» Исполнители: Антропов Д.М; Бочкарев А.В; Тушнолобов Р.Р (УК-18) Руководитель: Синцова С.Г Екатеринбург, 2019 Введение «Математику уже затем учить нужно, что она ум в порядок приводит» М.В. Ломоносов. Несомненно, данное утверждение верно, но роль математики намного выше. Без неё ничто в мире не смогло бы функционировать и вообще существовать. Она играет ключевую роль в каждой из сфер жизни общества. В экономической сфере математические методы являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, отображающих связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется динамика экономических показателей в стране. В политической сфере математика позволяет: — четко формулировать и анализировать закономерности политической сферы общественной жизни, строить прогнозы ее развития; — измерять характеристики политических явлений, получая объективные данные для дальнейшей работы; — анализировать огромные массивы информации. Массив количественных данных о политике на сегодняшний день столь велик, что без математических методов обрабатывать его попросту невозможно. — строить модели политических систем и процессов, а также ставить эксперименты над такими моделями. В политической науке это практически единственный способ постановки научного эксперимента. В социальной сфере это методы статистического анализа данных и методы математического моделирования социальных явлений и процессов. Основой нашего проекта стала четвертая сфера жизни общества, а именно её взаимосвязь с математикой. Но какова же роль математики в искусстве? Искусство как способ познания мира. Возникновение искусства связывают со стремлением человека познать окружающий мир. Искусство стало сильнейшим орудием в борьбе за существование. Оно помогало создавать модель мира, изучать её и выявлять взаимосвязи. Развиваясь, человек продвигал искусство на новый уровень, а это, в свою очередь, способствовало дальнейшему продвижению человека на новую ступень развития. Вывод: главной функцией искусства было удобство представления и анализа информации с возможностью выявления закономерностей. На решение такого рода задач и нацелена математика. Другими словами, характерная черта как искусства, так и математики – стремление к развитию и преодолению достигнутой господствующей нормы. Роль математики в искусстве Архитектура Прежде привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома.В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения. Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое. Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. Современный архитектор также должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным (помните — «Архитектура — это застывшая музыка»). Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. В конечном счете, все это многократно оправдает себя в процессе самостоятельной работы. Не случайно при подготовке архитекторов за рубежом большое внимание уделяется математической подготовке и владению компьютером. Скульптура Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос. Живопись Все состоит из фигур: руг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник. Все, что вы хотите нарисовать, можно разбить на простые фигуры. Изобразить их несложно. Прорисовывая поверх геометрических фигур желаемую картину, вы получите правильные пропорции. Если же нужно рисовать в объеме, помогут геометрические тела – цилиндр, конус, шар и другие. В 1509 году в Италии появилась книга Луки Пачоли под названием «О божественной пропорции». В ней были установлены математические соотношения, соблюдая которые художник достигнет красоты. Иллюстрации — 60 многогранников и рисунок «Витрувианский человек» принадлежали руке Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи известен, прежде всего, как великий художник. Но он был разносторонним человеком, занимался математикой, физикой, химией, машиностроением, военной техникой, архитектурой. И во всех этих науках Леонардо добился успехов. Этот человек полон загадок, многие из которых до сих пор остались тайной. Его рукописи были зашифрованы, он писал так, что прочесть слова можно было только с помощью зеркала. Леонардо да Винчи был убежден в единстве живописи и математики. Он говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Леонардо изучал пропорцию. В его рисунке «Витрувианский человек» выражена идеальная пропорция тела человека, которая заключена в соотношении стороны квадрата и радиуса окружности. Еще одна идеальная пропорция тела была сформулирована еще во времена Древней Греции: Рост человека=размаху рук (от кончиков пальцев) =8 ладоням=6 ступням=8лицам Музыка «Музыка есть таинственная арифметика души; Она вычисляет, сама того не подозревая» Г.Лейбниц. Теорию музыки нельзя представить без математики: длительность нот и пауз, музыкальный размер, ритм, темп – всё это имеет прямое отношение к математике. Без знания математики невозможно сыграть ни одну мелодию. Оказывается, музыкальные произведения соединяют, на первый взгляд, несовместимые вещи: высокие чувства и математический расчёт. Да, именно благодаря математике мы можем услышать высокий и низкий звук, протяжное и отрывистое звучание, мы можем двигаться вверх и спускаться вниз по ступенькам звукоряда, пропевая гамму. Рассмотрим взаимосвязи между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения. Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд, состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. Чтобы, например, к двум прибавить пять, нужно от 2 переместиться на 5 единиц в сторону увеличения чисел – получаем 7. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон), если звукоряд восходящий. Соответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на пол-тона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду. Что же касается нотной записи, то здесь без математических знаний не обойтись! То, с чего собственно и начинается музыка, один из основных элементов выразительности мелодии (наряду с различной высотой, интервальными соотношениями звуков, составляющих мелодию) – это ритм. Мелодия образуется только в том случае, если звуки организованы ритмически, т.е. определяются определенными длительностями. Чередование звуков вне ритма не воспринимается как мелодия; ритм же подчас настолько ярко характеризует мелодию, что ее можно узнать только по обозначению длительностей звуков без указания их высоты. Основные ритмические измерения, применяемые в музыке — это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая. Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т.е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби, обозначающей размер: например, в размере 3/4 – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты. Так, обозначение четвертная нота = 80 указывает, что в минуту должны прозвучать 80 четвертных долей (и соответственно – 40 половинных или 160 восьмых и т.д.). Причем абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, от которого зависит замысел музыкального произведения. Математика важна и в процессе обучения игры на каком-либо инструменте. Расскажем на примере гитары о ее важности. Лады и струны гитары обозначаются цифрами: так самая высокая струна – 1, а самая низкая – 6 (на 6-струнной гитаре). Для того, чтобы построить и сыграть какой-либо аккорд на гитаре, необходимо уметь пользоваться табулатурой (правильной записью аккордов), где цифрами обозначаются еще и пальцы руки, которой мы данный аккорд зажимаем. На картинке наглядно представлена схема построения аккорда Соль мажор (G). Для игры на гитаре также необходимо знать какой-либо вид боя или перебора. Допустим, что нам нужно сыграть песню группы Металлика – Медляк. В этой песне используют перебор, который записывается так: А табулатура этой же песни будет выглядеть так: В этой записи цифры на струнах – это лады, на которых необходимо зажимать ту или иную струны. Существуют также и другие виды переборов, но помимо них есть несколько видов боя: бой на 4, бой на 8, на 16… Записываются они при помощи стрелочек (где вверх – это удар по струнам, а вниз – проведение по струнам вверх, крестики/точки – это пропуск) Таким образом, общность и единообразие математических и музыкально-теоретических процессов очевидно, и это служит свидетельством того, что занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио, и наоборот – решение музыкальных задач и упражнений или даже просто активное восприятие музыки может способствовать улучшению арифметических навыков. Заключение Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен. Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе мы постарались это показать и считаем, что наша работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Поэтому когда мы занимаемся искусством, мы занимаемся и математикой. Следовательно нам необходимо ценить и заниматься данной наукой, поскольку ее влияние на нашу жизнь неоценимо. Cписок литературы 1)Высшая математика. Математический анализ [Текст] : учеб.пособие/[авт. кол. : Ю. Б. Мельников, М. Д. Боярский, М. Д. Локшин, Гниломедов П. И., Синцова С. Г., Кныш А. А.] ; М-во науки и высш. Образования Рос. Федерации, Урал. гос. Экон. Университет – Екатеринбург : Издательство Уральского государственного экономического университета, 2018.-193с. 2)Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 2000. 3)Иконников А.В. Художественный язык архитектуры — М.: Стройиздат. 1992. 4)Шевелёв И.М., Марутаев М.А., Шмелёв И.П. Золотое сечение — М.: Стройиздат. 1990. 5)Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент.: Фан, 1982. 6)Табулатура Metallica – «Nothing else matters» 7)Шарапкина Е. П. Гармония математики и музыки/П.Е.Шарапкина.//Университетские чтения 2006г. 8)Давыдов М. «Красота математики». Н. Новгород, 2007.

Исследовательская работа «Математика музыкальна или музыка математична?»

Автор: Зверева Полина Игоревна

Место работы/учебы (аффилиация): СОШ №3 ст. Зеленчукской им. В.В. Бреславцева, 8 класс

Научный руководитель: Зверева Татьяна Владимировна

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом. Сегодня математика становится всё более популярным, но остаётся при этом не менее сложным предметом, ценность музыки и музыкального образования в школе должна повышаться, но это придёт только с пониманием способности музыки помогать в изучении математики. В нашей школе на уроках музыки мы занимаемся не только вокальной работой, но и изучаем теорию музыки, а также проводим анализ музыкального произведения. Я задала себе вопрос: «Какая связь может быть между математикой и музыкой? И можно ли эту связь использовать с пользой для себя?» Решила найти ответы на эти вопросы и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.

Гипотеза: Музыка и математика связаны между собой и занятия музыкой помогают изучению математики. Цель: доказать взаимосвязь музыки и математики, способствующей улучшению качества личностных достижений учащихся.

Для достижения цели определили задачи:

  • проанализировать литературу по теме исследования;
  • сравнить материал, изучаемый на уроках музыки и математики;
  • переложить числа (даты рождения) на музыку;
  • установить связь между «звучанием» даты рождения и способностями личности;
  • сформулировать выводы.

Объект исследования: музыка и математика. Предмет исследования: математика в музыке.

Методы исследования:

  • работа с источниками информации;
  • анкетирование;
  • анализ, сравнения, наблюдения.

Выводы. Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришла к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики.

Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику. Из проведённых нами исследований можно сделать вывод о том, что музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически значит, занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, математика и музыка имеют общность, и успех изучения одной из этих наук способствует получению хороших результатов в другой, то есть наша гипотеза подтвердилась.

Исследовательский проект на тему «Математика и музыка»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области

«Свердловский областной педагогический колледж»

Кафедра управления в социальной сфере

Как связана математика с музыкой?

Индивидуальный проект

Плотникова В. А.

Специальность 51.02.02

«Социально-культурная деятельность»

Группа 13к

Преподаватель:

Перминова Е.В.

Екатеринбург

2018

Содержание

«Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё ещё служить источником новых музыкальных мыслей.»

П. Чайковский

Пояснительная записка

Тема нашего проекта как связана математика с музыкой.

Отличный способ убить разговор — сказать человеку, с которым вы говорите, что вы математик. Разговор может как-то тянуться еще в течение минуты или двух, но почти всегда он обречен. Однако есть чудодейственное средство: просто скажите вашему собеседнику, что вы музыкант и математик. Даже люди, которые ничего не знают о математике, слышали, что математические способности связаны некоторым чудесным и нелогичным образом со способностями музыкальными.

Ведь математика- это наука, музыка- искусство, а язык- это язык. Обычно их изучают порознь. Более того, в школе язык, музыку и математику причисляют к предметам, овладеть которыми не так-то просто. Утверждают, что они открывают свои тайны только тем, кто обладает особыми способностями.

Проблема: Как связана между собой математика и музыка

Проектным продуктом будет — Викторина на тему «Математические нотки»

Задачи:

  1. Выяснить, что значит музыка в современном мире

  2. Провести свое исследование по установлению связи между математикой и музыкой.

  3. Создание игры «Математические нотки»

Данная тема актуальна в том, что любое музыкальное произведение можно представить, как некую математическую модель.

Музыка для современного человека

В современной культуре музыка занимает особенное, несомненно, важное место. Она как бы пронизывает собой культуру. Мы слышим её везде. В дороге она звучит в наших наушниках, если мы едем в метро, в кабине водителя, если нас везёт маршрутное такси или автобус, а если мы садимся в собственную машину, то, как правило, сразу же включаем радио или ставим в проигрыватель диск. На работе мы боремся с производственным шумом, опять-таки включая радио или затыкая уши наушниками, а те, кому это запрещено, нам тихо завидуют. Радио обдает нас музыкальной волной, когда мы заходим в парикмахерскую, ремонтную мастерскую, в любую сервисную контору. В кафе обязателен звуковой фон, чтобы обеспечить интимность нашему разговору. Но развернуться на полную катушку мы можем только дома, где к нашим услугам всевозможные звуковоспроизводящие системы, телевидение (очень и очень музыкальное – от саундтреков фильмов через рекламные клипы к музыке как таковой), наконец, всё то же неизбывное радио. Для полноты картины лишь остаётся добавить всё более совершенные трели в мобильных телефонах, чтобы представить музыку неизменной спутницей на жизненном пути современного человека.

Она нас сопровождает. Но не только. Она развлекает, повышает наше настроение. Впрочем, музыка претендует на большее — она тяготеет к эмоциональному резонансу и может быть конгениальна любому настроению. Если уж на то пошло, многие из нас готовы подтвердить, что музыка способна его создавать.

Ещё одна важная функция музыки в современном мире не так заметна. Настроение – это лишь эмоциональная периферия самоощущения человека, но наша душа целостна; то, что воздействует на периферию, проникает и глубже. Если человек позволяет музыке формировать своё настроение, то почему бы ему не дать ей сформировать и себя самого? Музыка участвует в самоидентификации человека: «я – тот, кто слушает или любит рок (рэп, классику, джаз…)». А поскольку музыкальный стиль часто оказывается ядром субкультуры, то принимая этот стиль, мы принимаем и всё, что вокруг его выстроено, адаптируя под эту среду свой быт, своё поведение, своё понимание жизни.

С этой точки зрения музыка подобна вирусу. Музыка также позволяет реализовывать творческую потребность. Необязательно долго учиться, можно взять гитару и положить текст поверх трёх аккордов. Впрочем, сегодня и это уже – вчерашний день. Синтезатор подберёт аккорды за тебя. В конце концов, перебирать в памяти компьютера файлы с музыкой и выстраивать их в нужном тебе порядке – тоже творчество, как и подбор мелодий для твоего сотового телефона. Всё это привычное, как бы само собой разумеющееся музыкальное пространство, в которое современный человек то ли погружается время от времени, то ли просто в нем обитает, — феномен именно нашего времени, эпохи зрелой цивилизации. Раньше была другой не только музыка, её роль, её функционал также были совсем иными.[6, с.7]

Влияние музыки на современного человека

Лишь музыки серебряные звуки,

снимают, как рукой, мою печаль.

Шекспир, «Ромео и Джульетта»

Принято считать: для стабилизации и активизации деятельности мозга подходят произведения Моцарта. Это могут быть первые и третьи части из фортепианных сонат и концертов, «Рондо» из «Маленькой ночной серенады».

От головной боли спасет полонез Огинского, «Венгерская рапсодия» Листа, «Фиделио» Бетховена.

Бессонницу можно вылечить сюитой «Пер Гюнт» Грига, «Грустный вальс» Сибелиуса, пьесами Чайковского.

Гипертоникам полезно слушать «Ноктюрн ре-минор» Шопена, «Свадебный марш» Мендельсона и «Концерт ре-минор» для скрипки Баха.

Приятная музыка благотворно действует и на кровь. Любимая мелодия вызывает увеличение в крови лимфоцитов, организму становится легче бороться с болезнями.

Прослушивание классики помогает легкому запоминанию информации.[6, с. 21]

Установления связи музыки с математикой

Все слышали о Пифагоре (Приложение рис.1) и его теореме, но далеко не все знают о том, что это был великий мудрец, который повлиял на древнегреческую и древнеримскую культуру, оставив неизгладимый след в мировой истории. Пифагор считался первым философом, еще он сделал множество открытий в музыке, геометрии и астрономии; также, он был непобедим в кулачных боях.

Память человечества сохранила имя Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой, загадочной. Слова мелодия, ритм родились в Элладе, название слова «гамма» происходит от греческой буквы (гамма).

Пифагорейский музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки – это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и математиков. В XVIII в. создается музыкальная акустика. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония.

Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Музыкальная гармония в учении Пифагора является моделью вселенской гармонии, которая состоит из нот – различных аспектов Мироздания. Считалось, что Пифагор слышал музыку сфер, которая была определенными звуковыми колебаниями, что исходили от звезд и планет и вместе сплетались в божественную гармонию — Мнемосину. Также, Пифагор и его ученики использовали определенные песнопения и звуки лиры, чтобы успокоить свой ум либо исцелиться от определенных болезней.

Звуки могут, как исцелить, так и убить. Лечение музыкой, например, арфотерапия, в некоторых странах была, признаётся и изучается (например, в Британском институте арфовые мелодии используют для облегчения прохождения курса химиотерапии). Пифагорейское учение о музыке сфер подтверждается современной теорией супер струн: колебаниями, которыми пронизано все космическое пространство.[4, с. 41]

«Музыка, поэзия, математика — сколь родственны они»

Имре Мадач

Открытие Пифагора в области теории музыки

Первые научные принципы музыкальной эстетики были заложены Пифагором и его последователями. До Пифагора эстетика базировалась на основе мифологии, то есть на фантастическом представлении о природе и обществе. С Пифагора начинается история научной эстетики, опирающейся на законы естественно — научного познания. Пифагорейцы считали, что в основе всех вещей лежит число. Этим самым была высказана догадка о закономерности природы и мира в целом.

Пифагор обнаружил, что первая и четвертая струны, когда звучат вместе, дают гармонический интервал октавы, потому что удваивание веса имело тот же эффект, что и укорачивание струны наполовину. Натяжение первой струны было в два раза больше, чем четвертой струны, и, как говорят, их соотношение равно 2:1, или двукратное. Подобным же рассуждением он пришел к заключению, что первая и третья струны дают гармонию диапенте, или квинту. Натяжение первой струны было в полтора раза больше, нежели третьей струны, и их соотношение было 3:2, или полуторное. Подобным же образом вторая и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая, и третья, давали гармонию диапенте. Продолжая это исследование, Пифагор открыл, что первая и вторая струны дают гармонию diatessaron, или терцию, натяжение первой струны на треть больше, чем второй, их соотношение 4:3, или sesquitertian. Третья и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая, и вторая, дают ту же гармонию. Согласно Ямвлиху, вторая и третья струны имеют соотношение 8:9, или epogdoan.[4, с. 68]

В средневековой Европе в церковной музыке широкое распространение получил орган (Приложение рис.2) — многоголосный инструмент с фиксированной частотой звуков. Этот инструмент требовал настройки. Так как единственным строем, хорошо известным в те времена, был строй Пифагора, то орган стали настраивать в этом строе. В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора.

Для Пифагора музыка была производной от божественной науки математики, и ее гармонии жестко контролировались математическими пропорциями. Пифагорейцы (Приложение рис.4) утверждали, что математика демонстрирует точный метод, которым Бог установил и утвердил Вселенную. Числа, следовательно, предшествуют гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми гармоническими пропорциями. После открытия этих гармонических соотношений Пифагор постепенно посвятил своих последователей в это учение, как в высшую тайну своих Мистерий. Он разделил множественные части творения на большое число плоскостей или сфер, каждой из которых он приписал тон, гармонический интервал, число, имя, цвет и форму. Затем он перешел к доказательству точности его дедукций, демонстрируя их на различных плоскостях разума и субстанций, начиная с самых абстрактных логических посылок и кончая наиболее конкретными геометрическими телами. Из общего факта согласованности всех этих различных методов доказательства он установил безусловное существование определенных естественных законов.[4, с. 98]

Законы пифагорейской музыки

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1.Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4,т. е. как1:2,2:3,3:4.Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1)(n=1,2,3),тем созвучнее получающийся интервал.

2.Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине w=a:l, где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.[4, с. 125]

Приемы дирижирования

Под дирижированием, в широком смысле этого слова, подразумевается управление исполнением музыкального произведения хором, оркестром или другими крупными ансамблями.

В применении к пению или сольфеджио под дирижированием подразумевается средство: во-первых, счета, то есть указания времени продолжительности и смены долей такта; во-вторых, установления темпа для данного произведения.

В основу приемов дирижирования положены двухдольные, трехдольные и четырехдольные фигуры взмахов.

Они заключаются в следующем (все схемы даны для правой руки):

а) Все простые двухдольные размеры дирижируются двумя взмахами — вниз и вверх (Приложение рис. 3)

б) Все простые трехдольные размеры дирижируются тремя взмахами — вниз, вправо и вверх

в) Четырех дольные размеры — четырьмя взмахами — вниз, влево, вправо и вверх

г) Шести дольные размеры дирижируются шестью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваиваются движения вниз и вправо

д) Девяти дольные размеры дирижируются девятью взмахами.

В основе приема лежит трехдольная фигура, в которой утраиваются все взмахи

е) Двенадцати дольные размеры дирижируются двенадцатью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов. Каждое направление движения соответствует простому такту. Каждый взмах этой фигуры утроен

ж) Пяти дольные размеры дирижируются пятью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваивается движение вниз или движение вправо, в зависимости от последования простых тактов

з) Семи дольные размеры дирижируются семью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов, в которой удваиваются движения вниз, вправо и вверх при последовательности простых тактов — 3+2+2; вниз, влево и вправо при последовательности — 2+2+3.[8, с. 21]

Математическое описание построения музыкальной гаммы

Основой музыкальной шкалы-гаммы пифагорейцев был интервал — октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическими и гармоническими.

Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w1) и ее октавного повторения (w2) помогает найти совершенный консонанс квинту.

Т.к. w2= 2w1, то w3= (w1+ w2) : 2 = 3w1: 2 или w3: w1 = 3 : 2 (w3— частота колебаний квинты).

Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора — Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее октавного повторения l2.

Т.к. l2= l1 : 2, то l3 = 2 l1 l2 : (l1 + l2) = 2 l1 l1 : 2 : (l1 + l1 : 2) = l12 : ((2 l1 + l1 ) : 2) = 2 l12 : :3 l1 = 2 l1 : 3; или l3 : l1 = 2 : 3.

Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2, получим w4 = = 2w1w2 : (w1 + w2 ) = 2w1 2w1 : ( w1 + 2w1 ) = 4w12 : 3w1 = 4w1 : 3.

Значит w4 : w1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс — кварту.

Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ):

l4 = ( l1 + l2 ) : 2 = ( l1 + l1 : 2 ) : 2 = ( 2 l1 + l1 ) : 2 : 2 = 3 l1 : 4; l4 : l1 = 3 : 4.

Это значит, что длины струн l1 , l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

Итак, частота колебаний квинты является средним арифметическим частот колебаний основного тона w1 и октавы w2 , а частота колебаний кварты — средним гармоническим w1 и w2 . Или иначе: длина струны квинты есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а длина струны кварты — среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме.

2. У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами — квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например, «до» (3/2)0 = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)1= 3/2 — соль, (3/2)2:2 = 9/8 — ре, (3/2)3:2 =27/16 — ля, (3/2)4:22 = 81/64 — ми, (3/2)5: 22 = 243/128 — си, (3/2)-1:2 =4/3 — фа.[8, с. 23]Разработка Игры «Математические нотки»

Викторина — вид игры, заключающийся в ответах на устные или письменные вопросы из различных областей знания, в данном случае из математики. Слово «викторина» появилось в 1920-х годах. Жизнь этому слову дал известный советский журналист и писатель Михаил Кольцов в качестве названия газетной подборки.

Сейчас мы с вами поиграем! Всего будет 10 вопросов на тему «Математика и музыка». Вам задается вопрос, один верный вариант ответа, все остальные ложные.

1) Расстояние между двумя звуками-нотами? (интервал).

2) Первый открыватель в области царицы математики и великой музыкой? (Пифагор).

3) Пифагор обнаружил, что струны, когда звучат вместе, дают гармонический интервал октавы, какие это были струны? (1 и 4).

4) Каким особым качеством обладает музыка, если не успокоением? (вылечить).

5) Кто выполняет управление коллективом музыкантов? (дирижер).

6) Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая как звучат? (медные чаши).

7) В средневековой Европе в церковной музыке широкое распространение получил инструмент? (орган).

8) Что по мне мнению Пифагорейцы, в основе всех вещей лежит? (число).

9) В чем еще Пифагор сделал открытие? (музыке, геометрии и астрономии; также, он был непобедим в кулачных боях).

10) Гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами (квинтой и октавой).

Заключение

Между математикой и музыкой есть ли связь?

Этот проект о связи математики, техники и музыки далеко неполный.

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». [2]

Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Из изученной литературы убедились, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

В ходе проведения исследования, было выявлены общие точки соприкосновения (совпадения) точной науки математики и прекрасного, изящного искусства – музыки.

В подтверждении теории Пифагора, что числа правят музыкой, установили связь между цифрами и музыкой, и их влиянием на творческие способности людей.[7]

Таким образом, данное исследование доказывает, что такие разные предметы имеют общие точки соприкосновения и взаимосвязаны друг с другом.

Список литературы

  1. Uhlib.ru библиотека [Электронный ресурс]: электрон. журнал – режим доступа: http://www.uhlib.ru — Дата обращения 17.02.2018

  2. Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. -«Язык, Музыка, Математика» /Перевод с венгерского Ю. А. Данилова — 1981 с. 73-77

  3. Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005 с. 47-48

  4. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

  5. Информио [Электронный ресурс]: электрон. журнал – режим доступа: http://www.informio.ru — Дата обращения 11.03.2018

  6. Кленов А.С Я познаю мир: Детская энциклопедия: Музыка /авт. Под общей ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 2010. с 46

  7. Психология ребенка [Электронный ресурс]: электрон. Журнал – режим доступа: https://childdevelop.ru — Дата обращения: 21.12.2017

  8. Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагогика» 1985г с. 21-24

Терминологический словарь

  1. Ямвлих — Единственным источником биографических данных о Ямвлихе служит сочинение «Жизни философов и софистов» Евнапия. По происхождению сириец, родился в Халкиде. Греческое имя «Ямвлих» является калькой с сирийского «он царь» и восходит к семье жрецов-правителей Эмесы. После возвращения в Сирию основал собственную школу в Апамее. Изучал труды пифагорейцев, Платона, Аристотеля, особое внимания уделяя его сочинениям по логике. Продолжал руководить своей школой до самой смерти.

  2. Консонанс — Благозвучное сочетание звуков

  3. Пифагорейцы — Союзы, объединявшие последователей древнегреческого ученого, философа и мистика Пифагора. Пифагорейцы играли во многих городах роль политической партии аристократов.

  4. Мистерии — богослужение, совокупность тайных культовых мероприятий, посвящённых божествам, к участию в которых допускались лишь посвящённые. Зачастую представляли собой театрализованные представления.

  5. Диапенте – в музыке название чистой квинты

  6. Гамма – это звукоряд из восьми нот, где первая и последняя совпадают по названию, но отстают друг от друга на октаву.

Приложение

(рис. 1)

(рис. 2)

(рис. 3)

(рис.4)

Мостов: математические связи в искусстве и музыке

11.08.2006


Красоте математики представилась уникальная возможность проявить себя в минувшие выходные: Лондонский институт образования провел конференцию Bridges 2006 , посвященную математическим связям в музыке и искусстве. Более двухсот делегатов, некоторые математики, некоторые художники, а некоторые и те и другие, собрались вместе, чтобы засвидетельствовать более ста презентации и выставка изобразительного искусства, и, наверное, самое главное, чтобы поговорить и обменяться идеями.

Non-Spin Return , скульптура Саймона Томаса, основанная на идее коллапсирующей вселенной.

То, что математика и искусство пересекаются — это идея, с которой знакомы многие люди, особенно обычные читатели Plus . Математические структуры изобилуют искусством и музыкой, и, как скажет вам любой математик, математика может быть такой же красивой, как и любое произведение искусства, и для ее выполнения требуется уникальный вид творчества. Но возможностей исследовать связь между искусством и математикой на практике немного. и далеко между ними.Конференция Bridges призвана восполнить этот пробел и дать возможность двум предметам взаимно обогатиться, дав художникам и математикам редкую возможность взаимодействовать и учиться друг у друга.

Дух сотрудничества Bridges отразился в разнообразном опыте выступающих в этом году. Были художники без академической математической подготовки, которых использовали математику как язык моделей и форм, математики без художественного образования, которые были заинтригованы присущей им красотой своей работы, и люди практически со всех точек зрения на скольжении. масштабирование между этими двумя крайностями, включая те, которые активно работают в обеих областях.

Модель нового учебного здания для проекта «Эдем», разработанная Джойлоном Брюисом из Grimshaw Architects в сотрудничестве с Питером Рэндалл-Пейджем. Он состоит из центрального полого ствола и конструкции крыши, напоминающей полог дерева. В центральном стволе находится гигантское семя. В спиралевидный узор крыши основан на последовательности Фибоначчи.

Поскольку опыт делегатов сильно различается, меняется и характер совпадений между искусством и математикой. Некоторые художники вдохновлены природой и пришли к математике как к языку естественных форм.Так обстоит дело со скульпторами Саймоном Томасом, чьи работы вдохновлены всем — от моделей образования льда на лужах до концепций бесконечность и возможные формы вселенной, а также Питер Рэндалл-Пейдж, который участвует в проектировании нового учебного здания для проекта «Эдем» в Корнуолле. Новое здание спроектировано так, чтобы быть похожим на дерево, в котором находится гигантская скульптура, представляющая семя в своей основе. Спиральные узоры, участвующие в Дизайн основан на последовательности Фибоначчи, которая, что примечательно, оказалась не только наиболее эстетичным, но и наиболее практичным решением — природа и ее математические формы не только красивы, но и максимально эффективны.

Фрактальное изображение, основанное на кляйнианской группе, созданное Джосом Лейсом. Изображение © Джос Лейс.

Но красота может происходить и из чистой математики. Как профессор математики в Уорикском университете, Кэролайн Ряд изучает математические объекты, называемые кляйновскими группами . Ее работа включает понимание отражений, сдвигов и вращений не обычного евклидова пространства , а гиперболического пространства (см. Статью Plus Strange геометрии).В то время как евклидовы симметрии дают начало конечному количеству узоров на плоскости — математики классифицировали их на 17 узоров обоев — симметрии гиперболического пространства создают бесконечное множество потрясающе красивых фракталов. Ее презентация довела немного пугающую математику этих фракталов до удобоваримого уровня и, без сомнения, даст компьютеру художники-графики приветствуют инструменты для экспериментов.

Другие делегаты объяснили, насколько важна математика как инструмент художника. Создатель кос Джеки Кэри использует его как язык: это единственный метод, за исключением метода проб и ошибок, который может взять узор плетения — теоретический рецепт переплетения нитей — и рассказать вам, что готово — сложный шнур, используемый для изготовления украшений. и искусство — посмотрю подобно. Архитекторы Брэди Петерс и Ксавье Де Кестелье, которые работают в группе специалистов по моделированию Нормана Фостера, используют математические методы для моделирования всего, от внешнего вида здания до его акустических и аэродинамических свойств.И, что более необычно, математик Гэри Р. Гринфилд использует методы эволюционных вычислений, чтобы заставить виртуальных муравьев, управляемых виртуальными феромонами, создавать картины путем нанесения цвета на виртуальный холст.

Виртуальный муравей, созданный Гэри Р. Гринфилдом.

Эти несколько примеров показывают, что совпадение математики и искусства может обеспечить благодатную почву для развития. Но это не единственная причина изучить их: они также предоставляют отличные учебные пособия, особенно для учителей математики. Конференция подтвердила это с помощью серии семинаров для учителей и Дня семьи Bridges , бесплатного мероприятия, открытого для публики и представляющего особый интерес для молодежь. Часть дня было празднованием 25-й годовщины основания мастер-классов по математике, проводимых Королевским институтом Великобритании по всей Великобритании. Связь между математикой и искусством была популярной темой на мастер-классах, и очень Первая серия из них была создана сэром Кристофером Зееманом после его успешной рождественской лекции 1978 года по математике перспективы.

Сэр Кристофер присутствовал на семейном дне, чтобы познакомить с этим мастер-классом, который до сих пор пользуется популярностью у студентов. Он объяснил художественные правила перспектив, разработанные Брунешелли в 1420 году, и показал, как они были окончательно математически доказаны более 200 лет спустя. Другие мастер-классы в этот день включали впечатляющие навыки жонглирования Колина Райта и его математические навыки. описания техник жонглирования привели его к открытию совершенно новых трюков, которые никогда раньше не выполнялись.Тем временем мастер-класс Кристофера Бадда исследовал математику в африканском искусстве и кельтские узлы, а Алан Дэвис объяснил причудливые творения анаморфического искусства.

Мастер-классы — это возможность познакомиться с математикой; следуя указаниям профессионала, вас поощряют исследовать и делать открытия для себя. И это не только более увлекательный способ изучения математики, но и более успешный — как сказал Колин Райт: «Покажи мне, и я увижу, дай мне испытать, и я буду учиться».»Исследование продолжилось во второй половине дня. с множеством предлагаемых мероприятий, включая математическое оригами и красивые скульптуры из сложенных кругов (также известных как бумажные тарелки!).

Серия конференций Bridges была создана математиком Резой Сарханги и проводится ежегодно с 1998 года в различных местах по всему миру. С тех пор она набирает обороты, и в этом году в Лондоне будет проведено мероприятие, искусно организованное Филиппом Кентом и Джоном Шарпом из London Knowledge Lab, и на сегодняшний день это крупнейшая конференция Bridges . Как сказал жонглер-математик Колин Райт: «Именно связи между вещами ведут к величайшим достижениям».


Дополнительная литература

  • Узнайте больше о конференции Bridges на ее веб-сайте. Вы можете приобрести материалы этой и прошлых конференций Bridges в Tarquin Books в Европе и на сайте mathartfun.com в США.
  • Саймон Томас описывает, как он сочетает искусство и математику в нескольких интересных статьях на своем веб-сайте.
  • Сотрудничество Питера Рэндалл-Пейджа с проектом «Эдем» описано в этой статье с его веб-сайта.
  • Узнайте больше о числах Фибоначчи в статье Plus «Жизнь и числа Фибоначчи».
  • Узнайте больше о гиперболической геометрии в статье Plus «Странные геометрии» и полюбуйтесь некоторыми фракталами, которые происходят от групп Кляйна на сайте Джоса Лейса.
  • Узнайте больше о математике и искусстве в архиве Plus .

AMS :: математика и музыка

«В жужжании струн есть геометрия, в промежутках между сферами есть музыка». — Пифагор

Счет, ритм, весы, интервалы, паттерны, символы, гармонии, тактовые размеры, обертоны, тон, высота. Нотации композиторов и звуки, издаваемые музыкантами, связаны с математикой. В следующий раз, когда вы услышите или сыграете классическую, рок, фолк, религиозную, церемониальную, джазовую, оперу, поп или современную музыку, подумайте о том, что общего между математикой и музыкой и как математика используется для создания музыки, которая вам нравится.

Изучите связи между математикой и музыкой в ​​видео, подкастах и ​​статьях ниже.

Видео

Величество музыки и математики. «Исследуйте взаимосвязь музыки и математики. В« Величестве музыки и математики »представлены замечания математика и ученого-информатика Института Санта-Фе Криса Мура, а также музыкальные отрывки Симфонического оркестра Санта-Фе с главным дирижером Гильермо Фигероа».

Геометрия в музыке; Дмитрий Тимочко. «Что может быть лучшим средством для передачи математики публике, чем универсальный язык музыки? С тех пор, как Пифагор использовал числовые термины для обозначения интервалов между нотами и производных музыкальных тонов из геометрических узоров, математики связали музыку с числами». На Ежегодном собрании SIAM в 2010 году Тимочко использовал графику и звук, чтобы связать математику с музыкой Шопена, Моцарта и Шуберта. Видео Адама Баузера, Bauser Media Group.

Сочетание математики и музыки. Евгения Ченг , математик, которая также является пианисткой, описывает, как математический прорыв позволил Иоганну Себастьяну Баху написать «Хорошо темперированный клавир» (1722). Во время записи видео Ченг был приглашенным старшим преподавателем математики в Чикагском университете. У Ченга также есть серия видео из 11 частей, Math in Music , размещенная на WFMT , 2020, с такими темами, как «Чувство коммутативности умножения», «Математика для создания новых идей», «Симметрия в музыке», «Дроби вызывают у нас чувства!», «Математика тоже может звучать плохо» и «Гармоники как спецэффекты». «

Дэвид Кунг на тему «Симфонические уравнения: волны и трубки». Дэвид Кунг (Колледж Святой Марии в Мэриленде) представляет «Симфонические уравнения: волны и трубы» — мини-экскурс в математику и музыку, представленный как лекция выдающегося диплома MAA в Научном институте Карнеги.

Наука за искусством: математика за музыкой. Университет Суррея, Англия.

Еще видео

Математика превращается в музыку. Шон Хардести (Университет Райса) играет вступление к скрипичному концерту Сибелиуса и обсуждает связь между математикой и музыкой.

Самая уродливая музыка в мире: Скотт Рикард на TEDxMIA. Скотт Рикард имеет ученые степени в области математики, информатики и электротехники Массачусетского технологического института. и степень магистра и доктора наук в области прикладной и вычислительной математики Принстонского университета.Рикард говорит, что он «увлечен математикой, музыкой и обучением нового поколения ученых и математиков».

Роберт Шнайдер — Мечты в подписях прайм-тайм (август 2013, Банф-центр). Роберт Шнайдер («Яблоки в стерео» / «Слон 6») написал эту тему для пьесы математика Эндрю Грэнвилла и сценариста Дженнифер Грэнвилл «MSI (Исследование математических наук): анатомия целых чисел и перестановок». «Как видно из названия, произведение написано тактовыми размерами с простыми номерами; то есть в каждом такте есть простое количество долей.Основная тема воспроизводится в размере 7/4, который обозначает 7 долей на такт, с интермедией, которая также проходит через подписи 2/4, 3/4 и 5/4. Из-за ограничений, налагаемых этими ритмическими паттернами, мелодии возникали естественным образом, когда я сочинял, особенные для каждого основного тона … »

Музыка и математика: Гений Бетховена — Наталья Сен-Клер TED Ed. Наталья Сент-Клер использует Лунную сонату «», чтобы проиллюстрировать, как Бетховен смог передать эмоции и творчество, используя математическую достоверность.«

Математика музыки. Итан Томпсон и Дэвид Гамильтон забавно и кратко объясняют математику, лежащую в основе музыки, в этой работе финалиста конкурса Math-O-Vision 2015 года.

Listen Up (Подкасты)

  • Making Beautiful Mathematics, подкаст-интервью с Робом Шнайдерманом (Lehman College, CUNY) о метафорических связях между математикой и музыкой.
  • Маркус дю Сотуа: музыка и симметрия. Маркус дю Сотуа (Симони, профессор общественного понимания науки и профессор математики Оксфордского университета) говорит с аудиторией на концерте о связи между музыкой и математикой.
  • Музыка на карте. Слушайте Дмитрий Тимочко (Принстонский университет) говорит об использовании топологии для представления музыкальных аккордов в виде точек в пространстве.

Смесь математики и музыки

  • «Улыбка математика: когда категории вдохновляют» Марии Манноне
  • «Фазовые переходы: математика, лежащая в основе музыки», Phys.org , 23 мая 2019 г.
  • «Нет статики вообще: частотная модуляция и синтез музыки» Дэвида Остина.
  • «Частотно-временной анализ музыкального ритма», Сяовэнь Ченг, Джарод В. Харт и Джеймс С. Уокер.
  • «Музыкальные действия диэдральных групп» Алиссы С. Кранс, Томаса М. Фиоре и Рамона Сатьендры.
  • «Музыка: нарушенная симметрия, геометрия и сложность» Гэри В. Дона, Карин К. Мьюир, Гордона Б. Волка, Джеймса С. Уокера
  • «Что-то не так с метрономом Бетховена?» Стуре Форсен, Гарри Б.Грей, Л. К. Олоф Линдгрен и Ширли Б. Грей,
  • Эмили Ховард, статьи и сочинения опубликованы от имени Artist in Residence, факультет математических наук, Ливерпульский университет
  • «Математические модели, как и у композитора, должны быть красивыми», Питер Линч, The Irish Times
  • «Математика и музыкальное приношение» Тони Филлипса
  • «Математика настройки фортепиано» Тони Филлипса.
  • «Топология поверхности в канонах Баха: Часть I и Часть II» Тони Филлипса
  • PRiSM: Центр практики и исследований в области науки и музыки при Королевском северном музыкальном колледже, которым руководит композитор Эмили Ховард (профессор композиции, RNCM) и со-руководит математик Маркус дю Сотуа (профессор Симони по вопросам общественного понимания Наук и профессор математики Оксфордского университета)
  • «Магическая математика музыки» Джеффри Розенталя.
  • «Можно ли услышать звук теоремы?» Роб Шнайдерман.
  • «Песни этой птицы имеют общие математические черты с человеческой музыкой», Хелен Томпсон.
  • Блог Дэниела: музыка и математика, Дэниел Томпкинс
  • Математика и музыка: подборка сочинений и описаний, Даниэле Трукко
  • «Обобщенный тоннец» Дмитрия Тимочко
  • «Неориманова теория», Википедия

Если вы хотите порекомендовать больше веб-сайтов по математике и музыке, дайте нам знать.Отправьте электронное письмо в офис общественной информации AMS.

Ресурсы доступны по подписке или покупке

См. Также: Общество математиков и вычислений в музыке. Общество было основано в 2006 году как международный форум для исследователей и музыкантов, работающих в трансдисциплинарной сфере на стыке музыки, математики и вычислений. На веб-сайте размещена информация о присоединении к собраниям и их посещении, а также информационные бюллетени в Интернете.

Чтобы запросить копию плаката AMS Mathematics & Music , отправьте электронное письмо в Общественное информационное бюро AMS. Примечание 02.04.20: Выполнение запросов на плакаты приостановлено.

Математика и музыка

Дата выпуска — 29 августа 2017 г.

Хотя это может быть не очевидно на поверхности, существует сильная и показательная связь между дисциплиной математики и искусством музыки. Независимо от того, рассматриваем ли мы сложности, связанные с гармониками, мириады способов, которыми музыканты использовали магию чисел в своей работе, или самые элементарные описания звука, темпа и вибрации, математика была вплетена в ткань музыки для тысячи лет.

Этот пост исследует глубокую взаимосвязь между математикой и музыкой. Он представляет собой введение в богатый предмет, который дает представление как о математике, так и о музыке и может обогатить ваш опыт обоих. И хотя вам, конечно, не обязательно быть математиком, чтобы наслаждаться музыкой всех видов, мы надеемся, что после прочтения этого поста вам будет интересно продолжить изучение этой темы.

Поскольку это невероятно обширная тема, мы ограничимся ее обзором в этом посте.Мы начнем с музыкальных теорий Пифагора и рассмотрим важность математики в ключевых моментах истории музыки. В заключение мы подведем итоги связей между математикой и теорией музыки.

Пифагор, математика и музыка

Греческий философ Пифагор был одним из первых исторических деятелей, подчеркнувших взаимосвязь между математикой и музыкой. Хотя его жизнь и деятельность окутаны тайной, Пифагор жил в 6 веке до нашей эры и считается «отцом» философии и математики.

Числа имели невероятное значение для Пифагора и его последователей. Их вклад в математику наиболее заметен в теореме Пифагора, которая используется для вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника путем сложения квадрата двух других его сторон.

Пифагор внес и другой вклад в математику, но его теории музыки — вот что нас здесь интересует. Возможно, его самым важным вкладом в наше понимание музыки были его открытия в области гармоник.Пифагор понял, что музыкальные интервалы могут быть выражены числовыми соотношениями.

Это открытие, наряду со многими другими точными и неточными предположениями, сделало Пифагора одним из отцов теории музыки. Основываясь на его работе, последующие поколения мыслителей и музыкантов сформулировали концепции, которые в конечном итоге стали нашим современным пониманием музыки и теории музыки.

Важно помнить о «мистической» природе чисел в мысли Пифагора.Для него сама реальность (включая музыку) в некотором смысле фактически состояла из чисел, а не просто описывалась ими. Хотя современная наука давно опровергла это утверждение, полезно использовать музыкальные теории Пифагора как пробный камень для того, что пришло позже.

Математика и история музыки

Математика сыграла ключевую роль в создании музыки, а также в ее теоретических описаниях. Вот четыре момента в истории музыки, когда математика способствовала важному движению или композиции.

  • В 1722 году композитор Иоганн Себастьян Бах использовал недавние достижения в области корневых функций для создания своего монументального и очень влиятельного произведения «Хорошо темперированный клавир».
  • Математическая концепция, известная как «золотое сечение», оживила великие музыкальные произведения таких разных композиторов, как Моцарт, Бетховен и Бела Барток.
  • В 1980 году Джонатан Харви помог открыть эру электронной музыки, используя математические методы для объединения высоты звука и древесины на компьютере в своей работе «Mortuos Plango, Vivos Voco.«Эта разработка открыла новый мир возможностей для электронной композиции.
  • В конце 1980-х влиятельный поджанр независимой музыки, известный как «математический рок», помог преобразовать популярную музыку. Математический рок, хотя и не получен так непосредственно из математических понятий, как остальная часть нашего списка, все же использовал причудливые размеры, нетипичные ритмические структуры и диссонирующие последовательности аккордов, которые создали новую поп-эстетику на основе концептуальной работы в математике.

Математика и теория музыки

Как вы, надеюсь, начинаете видеть, связи между математикой и музыкой существуют на разных уровнях.Наиболее фундаментальные из этих связей существуют на уровне теории музыки. Короче говоря, теория музыки — это широкий термин, обозначающий изучение наиболее фундаментальных качеств музыки, таких как нотная запись, гармония, мелодия, высота звука и т. Д.

Хотя даже введение в этот круг идей выходит за рамки этой статьи, мы закончим кратким обзором тесной связи между математикой и этими фундаментальными музыкальными качествами. Вот лишь несколько областей, в которых существуют эти отношения.

Музыка можно рассматривать как звук, организованный определенным образом. А сам звук, который представляет собой серию слышимых колебаний воздуха, лучше всего описывается математическими терминами. Детали очень сложные *, но вибрации, из которых состоит звук, можно описать с помощью тригонометрической функции, называемой синусоидальной волной. Это особый тип синусоидальной волны, синусоидальная волна описывает звук в чисто математических терминах, таких как период, частота и длина волны.

Математика также играет ключевую роль в музыкальной гармонии.По сути, гармония — это комбинация музыкальных звуков, воспринимаемых ухом, и анализируется с точки зрения математических понятий, таких как частота, высота тона и последовательность аккордов. Математика также глубоко переплетена с западным представлением о музыкальной шкале. Возьмем, к примеру, «диатоническую гамму». Диатоническая гамма — это наиболее часто используемая гамма в западной музыке, которую проще всего выразить как ряд числовых соотношений.

Описание отношений между математикой и теорией музыки можно продолжать почти бесконечно, но вы, возможно, уже можете видеть, насколько глубоко взаимосвязаны эти две дисциплины. И хотя теория музыки — это анализ музыки, между теорией и композицией происходило плодотворное движение вперед и назад, которое значительно обогатило наш музыкальный канон и было бы невозможным без применения математических понятий.

Заключение

Хотя мы лишь коснулись поверхности невероятно обширного и сложного предмета, мы надеемся, что вы получили начало нового взгляда на математику, музыку и отношения, существующие между ними.

Математика иногда может казаться абстрактной и далекой от повседневной жизни. Но, как вы можете видеть из нашего обсуждения ее отношения к музыке, математика — это предмет, который фактически играет «неотъемлемую часть» в нашем повседневном опыте.

Математика и музыка: отношение науки к искусству?

% PDF-1.6 % 2 0 obj > endobj 5 0 obj > транслировать Acrobat Distiller 6.0 (Windows) DVIPSONE 2.2.4 http: //www.YandY.com2010-02-16T09: 36: 06Z2019-07-04T11: 18: 48 + 01: 002020-06-13T18: 03: 22 + 02: 00uuid: 127748a4-0d49-43d2-bd84-b33ae5b7a996uuid: ec991b00-33c9-41a8-b29b-8e233f6bf166application / pdf

  • Математика и музыка: отношение науки к искусству?
  • Майкл Бир
  • © Applied Probability Trust, 2008 г.
  • Reserach статья опубликована в Mathematical Spectrum (т.41, нет. 1)
  • Истинный конечный поток endobj 21 0 объект > транслировать HWMd7_uqkH% bCd = HSee == o> N] ?: q 饸 SRO, 9: >>]% & ‘: Ǚ # = V5_. [/!Dw! visibleWo;}BO.a ט? L (X> _1> WOsΏmR_ #> ׆ ۷ IN% NG5] $ Fv \ j9K ~} Pjv ֲ 3 $ RiRgy | FX? O «» z? S w 㽋 QXϜ8Хaxp ~] YMxOpFi | Q \ E6Kq3K / (

    Скрытая математика в великом искусстве

    Для меня одним из самых захватывающих открытий стало то, что даже в искусстве письменного слова скрыта математика. Поэты, драматурги и писатели все играли с захватывающими формами, узорами и каркасами, которые имеют математические формы.

    В моей радиосерии «Тайные математики» я исследовал художественные практики целого ряда композиторов, писателей, архитекторов и художников.Благодаря их работе я смотрю на спектр математических идей, к которым они были привлечены, иногда сознательно, но часто совершенно бессознательно.

    Филип Гласс очарован силой чисел создавать ритмы, которые вовлекают слушателя в его медитативный мир, ритмы, которым подчиняется природа. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес стремился найти объяснение формы нашей конечной вселенной, написав «Вавилонскую библиотеку»; а движение за параметризм Захи Хадид помогает наполнить нашу городскую среду формами, которые являются одновременно математическими и естественными в душе.

    В моей программе по изобразительному искусству я исследую, как художники эпохи Возрождения помогали математикам того времени заново открывать формы, впервые обнаруженные древнегреческим математиком Архимедом — их описания со временем были утеряны, но они были обнаружены в процессе разработки рисунка.

    Я нахожу гиперпространственное твердое тело в одной из самых известных работ Сальвадора Дали, Распятие (Corpus Hypercubus), и обнаруживаю, как Джексон Поллок бессознательно использовал геометрические структуры, называемые фракталами, — формы, которые математики открыли только в 20 веке.Художник из США был тайным математиком в силу своей неуравновешенности и склонности к алкоголю. Он использовал то, что математики называют «хаотическим маятником», когда, шатаясь, создавал свои рисунки капель.

    Аниш Капур изначально хотел стать инженером, но сдался, посчитав математику слишком сложной. Тем не менее его работы демонстрируют необычайную чувствительность к математическим структурам, формам, которые универсальны и не связаны культурными привязками. Его башня из сферических шаров 2009 года, названная «Высокое дерево и глаз», создавала фрактальные по своей природе отражения, в то время как его гиперболические зеркала искажали нашу окружающую среду, создавая странный новый взгляд на мир.Изогнутые зеркала Капура позволяют увидеть Вселенную такой, какая она есть на самом деле: изогнутая, изогнутая, где свет искажается на своем пути в пространстве, а наша интуиция вывернута наизнанку.

    Маркус дю Сотуа — профессор Симони общественного понимания науки и профессор математики Оксфордского университета. Он является автором книги «Тайны чисел» (HarperPerennial).

    Если вы хотите прокомментировать эту историю или что-нибудь еще, что вы видели на BBC Culture, зайдите на нашу страницу Facebook или напишите нам на Twitter .

    МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА: ГЛУБОКИЕ ССЫЛКИ

    В качестве числа соотношение может показаться непривлекательным (оно равно (-5 -1) / 2). Но ее можно переписать весьма примечательным образом, как дробь, целиком состоящую из единиц, наслоенных бесконечным рядом. С этой точки зрения число становится своего рода арифметическим «изображением» геометрического свойства отношения — оно бесконечно представлено внутри себя. Как показано на иллюстрации на первой странице, например, если квадрат, образованный одной стороной золотого прямоугольника, обрезан, золотой прямоугольник остается.Если квадраты постоянно удаляются, получается бесконечная спираль золотых прямоугольников, содержащихся друг в друге.

    Но достаточно драматично, если кривая нарисована на основе золотого прямоугольника, это точно форма раковины наутилуса с камерами. Это «логарифмическая» кривая «непрерывного роста». Любые два сегмента кривой имеют одинаковую форму; они просто разных размеров. По мере роста улитка производит материал раковины в том же составе, только в больших количествах. Подобные кривые лежат в центре подсолнечника в форме еловой шишки и в других природных формах, содержащих золотое сечение.

    Золотое сечение дает некоторое представление о том, как работает математика в целом. Природа могла бы предоставить исходную модель для размышлений о соотношении. При наблюдении за сосновой шишкой, раковиной улитки, подсолнечником отмечаются определенные сходства и делается абстракция. Эта абстракция — в данном случае пропорция — сама изучается, выявляя другие свойства. Затем основные принципы распознаются в различных сферах — золотой прямоугольник, свойства числа, искусства; связанные структуры лежат в основе, казалось бы, разрозненных систем.Математические мыслительные процессы, конечно, намного сложнее, но по сути они очень похожи.

    Музыка также предполагает этот тип аналитического мышления. Это тоже начинается в естественном мире — с физических законов и телесных ритмов. Музыка, как и математика, затем создает абстрактные системы, такие как тональность, для своей деятельности. В такой системе музыкальный «элемент», тема может быть исследована, преобразована, раскрыта в различных музыкальных контекстах. Его ритм может быть изолированным. Можно рассматривать его интервальную структуру, изучать ее гармонические последствия. Когда, например, в конце фуги Баха тема входит в каденцию, она несет в себе значения, которых она не имела, когда впервые услышала. Подобно математическому объекту, эта тема исследовалась в различных комбинациях; он был перевернут, расширен, рассмотрен в различных контекстах, рассечен. Были достигнуты своего рода музыкальные знания. В фортепианных сонатах Бетховена есть такое же ощущение, что концентрированное исследование музыкальных элементов происходит прямо на ушах; когда тема возвращается в перепросмотре, она уже не слышна, как вначале.В этом манипулировании абстрактным материалом, которое открывает новые отношения и структуры, математика и музыка могут иметь общую формальную основу.

    Но эти процессы в математике и музыке также предполагают эстетику, которая была центральной на Западе и подразумевалась золотым сечением. Это понятие красоты включает в себя пропорцию между различными элементами и отношение между частями и целым — воспроизведение макрокосма в микрокосме.

    В музыке, приведу необычный пример, интерес Бартока к подобным идеям был настолько велик, что он буквально воспроизводил золотое сечение в своих композициях. В «Бела Барток»; Анализ его музыки », — венгерский музыковед Эрно Лендваи показывает, что в музыке Бартока важные музыкальные события отмечают подразделения и подразделения произведения на золотые сечения. Необычная гармоническая система Бартока, утверждает г-н Лендваи, также связана с золотым сечением.

    Почему история математики — это также история искусства | Математика

    Когда я был аспирантом по истории искусств, я читал много объяснений абстрактного искусства, но они неизменно были неадекватными и вводили в заблуждение.Поэтому после получения докторской степени я продолжил изучать историю биологии, физики и астрономии и опубликовал книгу, в которой подробно описывалось, как современное искусство является выражением научного мировоззрения.

    Тем не менее, многие произведения искусства также выражают математику и технологии своего времени. Для исследования Math и Art мне пришлось изучить такие математические понятия, как исчисление, теория групп и логика предикатов. Как новичок, пытающийся понять эти идеи, я был поражен низким качеством и запутанным содержанием иллюстраций в большинстве учебных книг.Поэтому я поклялся создать для своей книги набор убедительных математических диаграмм, которые будут кристально чистыми визуализациями абстрактных понятий.

    Как лектор в Школе визуальных искусств на Манхэттене, я написал эту книгу для своих студентов, таких как Мария, которая сказала мне, что никогда не была хороша в истории, потому что не могла вспомнить даты, и для Джин Суг, который проиграл алгебра в старших классах, потому что он не мог запоминать формулы. Я надеюсь, что они прочитают эту книгу и обнаружат, что история — это сборник рассказов, а математика — это увлекательные идеи.

    Вот десять изображений, за которыми следуют описания:

    Эрик Дж. Хеллер (американец, 1946 г.р.), Транспорт VI, ок. 2000. Цифровая печать. Предоставлено художником.

    На протяжении всей истории ученые открывали математические закономерности в природе, такие как пути, по которым электроны движутся по холмам и долинам крошечных «ландшафтов», которые измеряются в микронах (один микрон равен одной миллионной части метра). Пути электронов на этом цифровом отпечатке были записаны Эриком Дж.Хеллер, изучающий волны-убийцы (волны-убийцы, волны-убийцы) в больших и малых масштабах. Когда волна электронов проходит через компьютер, необычная волна в полупроводнике может внезапно угрожать бесперебойной работе устройства.

    Джим Сэнборн (американец, 1945 г.р.), Килки, графство Клэр, Ирландия, , 1997 г. Широкоформатная проекция, цифровая печать, 30 × 36 дюймов (76,2 × 91,4 см). Предоставлено художником.

    Западная математика развивается за счет увеличения абстракции и обобщения. В эпоху Возрождения итальянский архитектор Филиппо Брунеллески изобрел линейную перспективу, метод проецирования геометрических объектов на «картинную плоскость» с заданной точки зрения.Три века спустя французский математик Жан-Виктор Понселе обобщил перспективу в проективную геометрию для плоскостей, которые наклоняются или вращаются. Затем, в начале двадцатого века, голландец Л.Э.Дж. Брауэр обобщил проективную геометрию Понселе на проекции на поверхности, которые растянуты или искажены до любой формы — так называемая геометрия резинового листа — при условии, что плоскость остается непрерывной (без отверстий или разрывов), что является предметом этой фотографии. Современный художник Джим Сэнборн создал его, спроецировав узор из концентрических кругов на большое каменное образование ночью с расстояния примерно 1/2 мили.Затем он сделал эту фотографию с длинной выдержкой при восходе луны.

    Реза Сарханги (американец иранского происхождения, 1952 г.р.) и Роберт Фатхауэр (американец, 1960 г.р.), Гептагон Бузджани, 2007 г. Цифровая печать, 13 × 13 дюймов (33 × 33 см). Предоставлено художниками.

    Знания о древнегреческой математике, такой как Евклид и Птолемей, были потеряны для средневекового Запада, но исламские ученые сохранили свои труды в арабских переводах. В девятом веке халифы основали Дом мудрости в Багдаде как место, где ученые могли приобретать и переводить иностранные тексты по математике и философии.Тринадцатитомный труд Птолемея известен сегодня под названием, которое они дали ему: Альмагест (по-арабски «величайший»).

    Два современных математика, Реза Сарханги и Роберт Фатхауэр, отдают дань уважения исламскому математику Абу аль-Вафа ‘Бузджани (940–98 гг. Н.э.), который работал в Доме мудрости, где он написал практический текст О тех Части геометрии, необходимые мастерам . Он показал, как построить правильный семиугольник (многоугольник с семью равными сторонами и углами), который находится в центральной части этого отпечатка.По периметру семиугольника Сарханги и Фатхауэр семь раз написали имя Бузджани на фарси, языке Персии (современный Иран).

    Роберт Бош (американец, 1963 г.р.), Узел? 2006 г. Цифровая печать, 34 × 34 дюйма (86,3 × 86,3 см). Предоставлено художником.

    С развитием железных дорог в девятнадцатом веке тема поиска оптимального маршрута для путешествия приобрела практический интерес. Эта тема вошла в математическую литературу в 1930 году, когда венский математик Карл Менгер описал ее как «проблему посыльного» ( das Botenproblem ) поиска оптимального маршрута доставки.Вскоре эту задачу назвали «задачей коммивояжера»: учитывая список городов и расстояния между каждой парой, найдите кратчайший маршрут, который посетит каждый город один раз и вернется в город происхождения

    Американский математик Роберт Бош провел эту непрерывную линию на основе решения задачи коммивояжера для 5000 городов. Издалека кажется, что отпечаток изображает черный шнур на сером фоне в виде кельтского узла. Но при ближайшем рассмотрении кажущийся «серый» на самом деле представляет собой непрерывную белую линию, движущуюся поверх черного фона.Белая линия никогда не пересекает саму себя — это сеть, а не узел, и поэтому краткий ответ на заголовок — «Нет».

    Карл Герстнер (Швейцария, 1930 г.р.), Полихромия чистых цветов , 1956-58. Чернила принтера на кубиках оргстекла, 1 1/4 × 1 1/4 дюйма (3 × 3 см). шт., закрепленный в хромированной металлической раме, 18 7/8 × 18 7/8 дюйма (48 × 48 см) шт. Предоставлено художником.

    В 1905 году Альберт Эйнштейн открыл симметрию массы и энергии — массу можно преобразовать в энергию, и наоборот (E = mc2).Затем, в первые десятилетия двадцатого века, физики и математики, в том числе Эйнштейн, собрались в Цюрихе и использовали теорию групп в своем исследовании симметрии природы.

    Швейцарские художники, такие как Герстнер, создали узоры, которые перекликаются с этими математическими описаниями природы с точки зрения симметрии. Подобно математикам, эти художники создали основные эстетические строительные блоки — единицы цвета и формы — и расположили их, используя правила, сохраняющие пропорции и баланс.

    В 1956 году Герстнер разработал модульную систему — подвижную палитру с 196 оттенками в 28 группах — для экспериментов с последовательностями, связывающими форму с цветом. Палитра Герстнера из 196 квадратов состоит из 28 групп по 7 квадратов в каждой. Здесь показаны четыре из бесчисленного множества возможных схем, которые художник описывает, используя математические термины: группы, перестановки, алгоритмы и инвариантность.

    Карл Герстнер (Швейцария, 1930 г.р.), Полихромия чистых цветов , 1956-58. Чернила принтера на кубиках оргстекла 1 1/4 × 1 1/4 дюйма.(3 × 3 см). шт., закрепленный в хромированной металлической раме, 18 7/8 × 18 7/8 дюйма (48 × 48 см) шт. Предоставлено художником Карл Герстнер (Швейцария, 1930 г.р.), Polychrome of Pure Colour , 1956-58. Чернила принтера на кубиках оргстекла, 1 1/4 × 1 1/4 дюйма (3 × 3 см). шт., закрепленный в хромированной металлической раме, 18 7/8 × 18 7/8 дюйма (48 × 48 см) шт. Предоставлено художником Карл Герстнер (Швейцария, 1930 г.р.), Polychrome of Pure Colour , 1956-58. Чернила принтера на кубиках оргстекла 1 1/4 × 1 1/4 дюйма.(3 × 3 см). шт., закрепленный в хромированной металлической раме, 18 7/8 × 18 7/8 дюйма (48 × 48 см) шт. Предоставлено художником. Карл Герстнер (Швейцария, 1930 г.р.), Цветная спиральная икона x65b, 2008 г. Акрил, алюминий, диаметр 41 дюйм (104 см). Собрание Эстер Гретер, Базель, Швейцария.

    Научное проникновение в самые глубокие уровни природного мира — это объяснения, основанные на симметрии, которую художник Карл Герстнер символизирует круглой «иконой» светского века науки и техники.Самая симметричная геометрическая форма — сфера (все точки, равноудаленные от точки в трехмерном пространстве). В конце двадцатого века ученые пришли к выводу, что Вселенная возникла в идеальной симметрии как точка, которая превратилась в сферу плазмы. По мере расширения младенческой вселенной первичная сфера остывала, и материя конденсировалась из плазмы, образуя первые частицы, затем атомы, газовые облака и звезды. В какой-то момент изначальная симметрия Вселенной была нарушена; возникающая асимметрия, по-видимому, является результатом случайных сдвигов, аналогичных мутациям в процессе эволюции.Сегодня физики воссоздают образцы этой изначальной сферической плазмы, чтобы определить, в какой степени Вселенная сохраняет следы своей первоначальной симметрии.

    Саймон Томас (Великобритания, 1960 г.р.), Planeliner, 2005. Нержавеющая сталь, подвергнутая пескоструйной очистке, диаметр 23 5/8 дюйма (60 см). × 2 1/4 дюйма (5,55 см) в высоту. Предоставлено художником.

    Саймон Томас — молодой британский художник, чья работа, такая как эта скульптура, представляет собой визуализацию математической формулы. Он изучал изобразительное искусство в Королевском колледже искусств в Лондоне в 1980-х годах и продолжал создавать скульптуры с поразительными геометрическими узорами, работая постоянным художником в Бристольском университете на обоих факультетах физики (1993–95).