Математические примеры: Примеры на сумму. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Примеры на сумму. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Слагаемые и сумма Сложность: лёгкое	2
2.	Значение суммы Сложность: лёгкое	2
3.	Числа вместо звёздочек Сложность: среднее	3
4.	Число в виде суммы двух слагаемых (первое известно) Сложность: среднее	2
5.	Пропущенное число Сложность: среднее	2
6.	Тройки чисел Сложность: среднее	3
7.	Неизвестная сумма, таблица Сложность: среднее	4
8.	Неизвестное слагаемое, таблица Сложность: среднее	4
9.	Слагаемые и значение суммы Сложность: среднее	3
10.	Первое слагаемое, второе слагаемое Сложность: среднее	3
11.	Суммы с равными значениями Сложность: сложное	4
12.	Лишняя сумма Сложность: сложное	3

Десятичная система счисления. Римская нумерация. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Запиши число арабскими цифрами Сложность: лёгкое	1
2.	Назови разряд Сложность: лёгкое	1
3.	Запиши наименьшее или наибольшее число Сложность: лёгкое	1
4.	Прочитай число Сложность: среднее	2
5.	Сравни числа Сложность: среднее	2
6.	Определи число, большее или меньшее данного на конкретное число Сложность: среднее	2
7.	Реши текстовую задачу Сложность: среднее	3
8.	Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых Сложность: сложное	3
9.	Составь верное равенство Сложность: сложное	3
10.	Запиши все трёхзначные числа, используя две цифры Сложность: сложное	3

Деление с остатком. Понятие обыкновенной дроби. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Остатки при делении на число Сложность: лёгкое	2
2.	Делимое Сложность: лёгкое	2
3.	Остаток Сложность: лёгкое	1
4.	Запись обыкновенной дроби Сложность: лёгкое	1
5.	Часть дороги Сложность: лёгкое	1
6.	Числитель и знаменатель дроби Сложность: лёгкое	2
7.	Написание дроби по рисунку Сложность: среднее	2
8.	Дробь на числовой оси (меньше единицы) Сложность: среднее	2
9.	Этаж дома Сложность: среднее	2
10.	Выражение делимого через неполное частное, делитель и остаток Сложность: среднее	2
11.	Одна доля меры длины Сложность: среднее	2
12.	Часть меры массы Сложность: среднее	2
13.	Часть миллиона Сложность: сложное	3
14.	Сахар для варенья Сложность: сложное	4
15.	Материя для пошива платьев и юбок Сложность: сложное	4

Примеры по математике для любого класса. Решение примеров онлайн. | Клуб любителей математики

Тренажер примеров по математике разного уровня сложности для любого класса поможет развить математичесике способности устного счета.

На своем жизненном пути каждому приходилось или придется встретиться с такой прекрасной и точной наукой как Математика. Она развивает логическое и абстрактное мышление, улучшает способность быстро соображать и принимать решения. На основе именно этой науки строится описание нашего мира.

С чего начинается математика?

Базовой составляющей математики является раздел Арифметика – операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Школьная программа начинается с Арифметики, которую и предстоит освоить каждому ребенку, переступившему порог школы.

Поняв принцип математических операций, необходимо научиться быстро и безошибочно решать любые примеры по математике. И тут все упирается в терпение и регулярную практику, в следствие которой подсчитывать ответ становится все легче и легче.

Виды примеров по математике:

С натуральными числами
С дробными числами
С отрицательными числами
С иррациональными числами
С тригонометрическими выражениями

Так же в математических примерах можно встретить комплексные числа. Роль каждых из чисел очень велика при решении и описании разных проблем с помощью математики. В дальнейшем в разделе Алгебра вместо чисел будут использоваться разнообразные выражения, но суть останется прежняя.

С чего начать тренировку в решении примеров по математике ?

Конечно, начинать надо с самого простого и банального, с того что является самой основой. Обычные примеры начальной школы с натуральными числами. На их изучение и практику в школе уделяют большое количество времени, и дети на протяжении нескольких месяцев или лет, занимаются решением примеров, списывая задание с доски, открывая учебник или рабочую тетрадь, где один за одним решают примеры.

Предлагаем вам упрощенный способ развития навыков решения.

Онлайн тренажер устного счета

192 разнообразных режима тренировок: Уравнения, сравнения, отрицательные числа

С помощью специального онлайн «Тренажера устного счета», где можно быстро и легко практиковаться в решении простых арифметических примеров.

Приложение позволяет быстро анализировать и исправлять допущенные ошибки, помогает с ответом при наличии сложного примера, а также ведет полную статистику выполненной работы. Родителям не придется тратить свое время на поиск математических примеров для тренировки ребенка, а потом долго и скрупулезно проверять их вручную.

В свою очередь дети сосредотачиваются на решении примера и не тратят время на поиск его среди массы похожих примеров на страницах учебников, не отвлекаются на переписывание его из учебника в тетрадь, проверяя по десять раз верность переписанного. Все это существенно ускоряет процесс обучения, уделяя внимание именно самому главному – решению самих примеров по математике!

Зачем нужен навык решения примеров по математике?

Несомненно, не всем в жизни нужно быть живым компьютером с развитым навыком устного счета. Однако очень часто происходят ситуации, когда этот навык выручает. Ведь в современном мире, где всё вокруг строится на основе математических законов, иметь такой приятный для себя бонус как хорошее умение быстро что-либо просчитывать очень круто! Никогда не знаешь на перед что и когда тебе понадобится, так почему бы не уделить немного времени этому сейчас, чтобы по жизни не попадать в неловкие ситуации, к тому же научиться этому делу довольно легко!

Очень многие ошибочно полагают, что стоит начинать учиться только тогда, когда они столкнуться с этими проблемами и это будет необходимым по жизни. Однако наш совет: освоить базовые навыки решения математических примеров и устного счета стоит как можно раньше, пока ум молод, свеж и гибок в плане обучения, а человек не занят взрослыми надоедливыми делами.

Научно доказано, если регулярно решать арифметические примеры, то:

Сохраняется ясность ума
Развивается логическое мышление
Улучшается мозговая активность
Повышается внимательность и концентрация
Проявляется терпение и трудолюбие
Развивается креативность

Как развить навык решения примеров по математике?

Надо понимать, что навык решения напрямую связан и количеством решаемых примеров. Чем больше примеров Вы прорешиваете, тем лучше начинает работать и справляться с ними мозг. Конечно же, это не означает, что надо убить все свое время только на решение примеров по математике. Очень важное значение тут имеет регулярность!

Каждый день практикуясь в небольшое выделенное для себя время, можно быстро развить свой навык устного счета до приличных возможностей. Необходимо также уделять внимание разнообразию примеров (их видам) – то есть постепенно решать все более сложные и интересные примеры, не останавливаясь на простых!

Также о навыках решения примеров по математике можно прочитать в статье «Как научиться считать в уме».

Как заставить себя решать примеры по математике?

Зачастую очень тяжело заставить себя заниматься делом, всё больше хочется отдохнуть, не утруждать себя надоедливым занятием, даже осознавая, что это нужно и необходимо. Немногие дети стремятся самостоятельно поучаствовать в своем развитии или хотя бы выполнить домашнее задание.

Поэтому в приложение «Тренажер устного счета» был добавлен игровой соревновательный момент. Возможно это изменит подход к скучному обучению, сделав этот процесс более интересным и завлекающим. Предлагаем самостоятельно опробовать данное приложение и оценить его.

Желаем успехов в решении!

Простые примеры по математике

Математика – наука, областью применения которой являются не только исследования в сфере сугубо количественных отношений, но также изучение порядка, структуры и пространственных форм объективно существующего мира, сложившихся в течение тысячелетий существования человечества на основе самых разнообразных операций по измерению, подсчёту и описанию тех или иных реальных объектов. Являясь мощнейшим средством успешного разрешения практически любых задач научно-прикладного характера, математика одновременно представляет собой универсальный язык науки, а значит, и важнейшую составляющую общемировой культуры. Вот почему одна из важнейших целей ее изучения заключается в повышении общего кругозора, культуры мышления, формировании естественнонаучного мировоззрения.

Округление чисел

Разложение на множители

Сравнение дробей

Сокращение и расширение

Сложение и вычитание

Умножение дробей

Деление дробей

Большие числа

Математика принадлежит к разряду точных наук и по праву занимает в нем лидирующие позиции. Она не терпит спекуляций и произвола в толковании различных закономерностей, их логическом обосновании. Она – само воплощение жесткой логики и упорядоченности, взаимозависимости происходящих в окружающем мире событий и явлений. Помогая людям в постижении мира, она позволяет им все больше узнавать о законах его развития, поскольку абсолютно все законы имеют математическое выражение, подчиняясь царящему в математике порядку.

Изучая математику, мы, как правило, не можем выбрать время для того, чтобы больше узнать о её роли в нашей повседневной жизни и тесной взаимосвязи с различными сферами человеческой жизнедеятельности. Между тем, именно математика является, по сути, началом начал если не всего, то очень многого. Задавшись целью изучать мир во всем его разнообразии, мы рано или поздно, но непременно обнаруживаем, что в повседневной жизни математика играет роль не менее значимую, чем в узких областях точных и прикладных наук. С ней приходится сталкиваться ежеминутно, а следовательно, определенный багаж математических знаний и навыков необходим каждому из нас. За примерами здесь далеко ходить не надо: давайте вспомним хотя бы о том, что на протяжении всей жизни, с младенчества и до глубокой старости мы постоянно осуществляем подсчет тех или иных величин, планируя, например, дату получения подарка от родителей, семейный бюджет или рассчитывая протяжённость пути в сопоставлении со временем и скоростью передвижения, площадь жилых объектов, объём полезного пространства – этот перечень при желании можно было бы продолжить до бесконечности.

Применение математики безмерно расширяет возможности познания. Ныне просто невозможно назвать область знаний, которая в той или иной мере не была бы основана на математических понятиях и методах. Трудно переоценить прикладную роль математики в исследованиях естественнонаучного, инженерно-технического и гуманитарного генезиса. А основной причиной, обуславливающей математизацию различных областей повседневной жизнедеятельности человека, является способность математики предлагать четкие модели для постижения окружающей нас действительности. Прогресс в различных сферах научного познания и практической деятельности был бы попросту невозможен без использования достижений современной математики, ее развитого вычислительного и логического аппарата.

Практически в каждой из профессий не обойтись без математических знаний и навыков. В первую очередь это, разумеется, относится к специальностям, непосредственно сопряженным с технико-экномической сферой. Математика – язык техники и естествознания, а потому овладение инженерными и естественно-прикладными специальностями немыслимо без профессиональных знаний, основанных на математике.

Генератор примеров по математике

В помощь родителям — генератор примеров по математике, и заданий по русскому языку Вы можете сгенерировать примеры любой сложности, а затем распечать их или решать в интерактивном режиме
Генератор примеров на сложение и вычитание. Можно настроить диапазон числел и ответов: до 10, до 20, до 100, примеры с трёхзначными, четёрыхзначными и пятизначными сичлами. Настраивается сложность примеров: с переходом через десяток или без перехода, сложение или вычитание, действия с «удобными» числами или примеры повышенной сложности…	Генератор примеров с пропусками значений: нужно найти не просто сумму или разность, а слагаемые или вычитаемые. Протитип задач с иксами. Можно настроить диапазон чисел и сложность примеров…
Генератор неравенств: сравнение результатов примеров. Кроме диапазона чисел настраивается сложность примеров: на сколько отличаются правая и левая части, а также операции могут быть с «удобными» или «неудобными» числами…	Генератор примеров на умножение и деление. Умножение на любые числа или на выбранное значение. Примеры на деление с остатком…
Уравнения с одним неизвестным — действия с умножением на скобку, с множителем у наизвестных. Уравнения для 4 класса — с целыми числами.	Задачи на: — расстояние, скорость и время — вычисление периметра и площади Задачи на то, как зная один параметр вычислить другой в различных вариациях.
Генератор заданий на словарные слова. Можно выбрать набор словарных слов (для 1 или 2 класса), добавить собственный набор словарных слов, и вывести их с прочерками вместо букв. Для каждого примера словарные слова перемешиваются.

Примеры онлайн

Назначение генератора примеров Назначение генератора — выдавать в автоматическом режиме примеры по математике и задания по русскому языку по заданным параметрам. Выводятся примеры в 3 видах: Готовый форматированный файл, готовый к печати из любого текстового редактора; Вывод примеров для переноса в другие приложения, или для печати из браузера — с настриваемыми параметрами форматирования; Интерактивные примеры для устного счёта с использованием, например, планшета, мобильного телефона, и т.п. Настройка сложности примеров Вы можете выбрать арифметические действия: только сложение, вычитание, или все действия. Вы можете выбрать, какие числа используются будут использоваться в примерах и в ответах. Например: только однозначные числа, или числа до 20, до 100. Так же можно регулировать «сложность» примеров — этот параметр отвечает за то, насколько «неудобными» в примерах будут числа. Печать и вывод примеров Готовые файлы для распечатки Вы можете скачать примеры в виде готовых к распечатке файлов. Для этого в блоке «Готовый файл для распечатки» установите количество страниц для вывода, нажмите «Изменить» и пройдите по ссылками «Файл заданий» или «Файл ответов». В файле заданий будут только задания с прочерками вместо ответов, а в файле ответов — примеры с ответами. На каждой странице — 3 колонки по 34 примеров в каждой. Для удобства, наверху у каждой колонки указан номер варианта (случайное число) — это номер совпадает в Файле заданий и Файле ответов. Просто сохраните два файла на компьютере, а затем распечатайте их. Печать из браузера или перенос в другое приложение Вы можете распечатать примеры прямо из браузера. Для этого в блоке «Свой формат печати» задайтие количество примеров, и нажмите «Изменить». На открывшейся странице вы можете выбрать шрифт для печати, задать количество столбцов и примеров для вывода. Воспользуйтесь меню «Файл > Предварительный просмотр» вашего браузера для контроля расположения примеров, а затем распечатайте примеры прямо из браузера. Вы можете выбрать вариант «для ученика» — только задания или «для учителя» с ответами. Интерактивная проверка устного счёта Вы можете считывать примеры прямо с экрана планшета, мобильного телефона, и сразу проверять правильность решения. Для этого в блоке «Интерактивные примеры» задайтие количество примеров, и нажмите «Изменить». На открывашейся странице вы можете задать параметры для комфортного отображения примеров, настроив шрифт, количество колонок и выводимых примеров. После того, как пример будет решён устно, правильность решения можно проверить щёлкнув на нём — откроется ответ. Мобильная версия Для мобильных телефонов есть специальная — мобильная версия генератора примеров, которая позволяет решать примеры в интерактивном режиме: после решения ребёнок может сразу проверить правльность решения. См. проект «Примеры онлайн»

примеры решения задач для родителей

На протяжении всего обучения школьникам приходится решать задачи — в начальной школе по математике, а затем по алгебре, геометрии, физике и химии. И хотя условия задач в разных науках отличаются, способы решения основаны на одних и тех же логических принципах. Понимание того, как устроена простая задача по математике, поможет ребёнку разработать алгоритмы для решения задач из других областей науки. Поэтому учить ребёнка решать задачи необходимо уже с первого класса.

Нередки случаи, когда точные науки вызывают у детей сопротивление. Видя это, учителя и родители записывают таких детей в «гуманитарии», из-за чего они только укрепляются во мнении, что точные науки — это не для них. Преподаватель математики Анна Эккерман уверена, что проблемы с математикой часто имеют исключительно психологический характер:

‍Детям вбивают в голову, что математика — это сложно. К длинным нудным параграфам в учебнике сложно подступиться. Учитель ставит на ребёнке клеймо «троечника» или «двоечника». Если не внушать детям, что они глупые и у них ничего не получится, у них получится ровно всё.

Чтобы ребёнку было интересно учить математику, он должен понимать, как эти знания пригодятся ему, даже если он не собирается становиться программистом или инженером.

Математика ежедневно помогает нам считать деньги, без умения вычислять периметр и площадь невозможно сделать ремонт, а навык составления пропорций незаменим в кулинарии — используйте это. Превращайте ежедневные бытовые вопросы в математические задачи для ребёнка: пусть польза математики станет для него очевидна.

Конечно, найти в быту применение иррациональным числам или квадратным уравнениям не так просто. И если польза этих знаний вызывает у подростка вопросы, объясните ему, что с их помощью мы тренируем память, развиваем логическое мышление и остроту ума — навыки, в равной степени необходимые как «технарям», так и «гуманитариям».

Как правильно научить ребёнка решать задачи

Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.

1. Внимательно читаем условия

Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.

Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:

«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.

2. Делаем описание задачи

В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе.

Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.

Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru
‍

3. Выбор способа решения

Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно.

Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых.

Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:

слагаемое = сумма − слагаемое
вычитаемое = уменьшаемое − разность
уменьшаемое = вычитаемое + разность
множитель = произведение ÷ множитель
делитель = делимое ÷ частное
делимое = делитель × частное

После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем.

4. Формулировка ответа

Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.

Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс
‍

Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.

5. Закрепление результата

Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.

Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов.

В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения.

Что поможет ребёнку решать задачи

В заключение расскажем о том, как сделать процесс решения задач проще и интереснее:

Для того чтобы решать задачи, необходимо уметь считать. Следует выучить с ребёнком таблицу умножения, освоить примеры с дробями и простые уравнения.
Чтобы решение задач не превратилось для ребёнка в рутину, проявите фантазию. Меняйте текст задания в соответствии с интересами ребёнка. Например, решать задачи на движение будет куда интереснее, если заменить банальные поезда трансформерами, летящими навстречу друг другу в эпической схватке.
Дети с развитой логикой учатся решать задачи быстрее. Советуем разбавлять чисто математические задания логическими. Задачи «с подвохом» избавят ребёнка от шаблонного мышления, а задания с большим количеством лишних данных научат выделять главное из большого количества условий.

<<Блок перелинковки>>

После того как ребёнок решит достаточно задач одного типа, предложите ему самому придумать задачу. Это позволит ему не только закрепить материал, но и проявить творческие способности.

Wolfram | Alpha Примеры: математика

Другие примеры

Элементарная математика

Выполняйте основную арифметику. Работайте с дробями, процентами и подобными основами. Решите проблемы с числовым значением и словами.

Выполните точную арифметику с дробями:

Другие примеры

Алгебра

Находите корни и расширяйте, факторизуйте или упрощайте математические выражения — от многочленов до полей и групп.

Другие примеры

Исчисление и анализ

Вычисляйте интегралы, производные и пределы, а также анализируйте суммы, произведения и ряды.

Решите обыкновенное дифференциальное уравнение:

Другие примеры

Геометрия

Вычисляет свойства геометрических объектов различных типов в 2, 3 или более высоких измерениях.Исследуйте и применяйте идеи из многих областей геометрии.

Вычислить свойства геометрической фигуры:

Постройте коническое сечение и определите его тип:

Вычислить свойства многогранника:

Другие примеры

Дифференциальные уравнения

Решайте дифференциальные уравнения любого порядка.Изучите решения и графики семейств решений. Задайте начальные условия, чтобы найти точные решения.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решите нелинейное уравнение:

Другие примеры

Построение и графика

Визуализируйте функции, уравнения и неравенства.Сделайте это в 1, 2 или 3 измерениях. Сделайте полярные и параметрические графики.

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры

Числа

Работа с разными числами.Проверьте членство в более крупных наборах, таких как рациональные числа или трансцендентные числа. Преобразование между базами.

Вычислить десятичное приближение к указанному количеству цифр:

Преобразуйте десятичное число в другое основание:

Другие примеры

Тригонометрия

Выполняйте тригонометрические вычисления и исследуйте свойства тригонометрических функций и тождеств.

Вычислить значения тригонометрических функций:

Решите тригонометрическое уравнение:

Другие примеры

Линейная алгебра

Исследуйте и вычисляйте свойства векторов, матриц и векторных пространств.

Вычислить свойства вектора:

Вычислить свойства матрицы:

Определите, является ли набор векторов линейно независимым:

Другие примеры

Теория чисел

Анализировать целые числа; подмножества целых чисел, включая простые числа; и связанные идеи.

Вычислить разложение на простые множители:

Решите диофантово уравнение:

Другие примеры

Дискретная математика

Исследуйте последовательности и повторения, решайте общие задачи комбинаторики и вычисляйте свойства графов и решеток.

Вычислите возможную формулу и продолжение для последовательности:

Проанализируйте граф, заданный правилами смежности:

Другие примеры

Комплексный анализ

Анализируйте функции и выражения, содержащие мнимые числа или комплексные переменные.

Вычислить свойства функции сложной переменной (используйте переменную z ):

Вычислить остаток функции в точке:

Другие примеры

Прикладная математика

Выполнять численный анализ и оптимизацию систем и объектов, включая упаковку и покрытие объектов и систем управления.

Свернуть или развернуть функцию:

Численно интегрируйте функции, которые не могут быть объединены символически:

Другие примеры

Логика и теория множеств

Оценивать выражения логической логики и выражения, включающие множества и операторы множеств.Решите булевы уравнения. Вычислить таблицы истинности. Сгенерируйте диаграммы Венна.

Другие примеры

Математические функции

Изучите свойства математических функций, такие как непрерывность, сюръективность и четность.Используйте известные специальные функции или теоретико-числовые функции.

Выполняйте вычисления со специальными функциями:

Выполните вычисления с теоретико-числовыми функциями:

Найдите представления для функции:

Другие примеры

Математические определения

Запрашивайте различные определения и описания в математике.

Найдите информацию о математической концепции:

Другие примеры

Известные математические задачи

Соберите информацию об известных проблемах, гипотезах, теоремах и парадоксах.Узнайте о них и их разработчиках.

Получите информацию о математической гипотезе:

Получите историческую информацию о теореме:

Другие примеры

Непрерывные дроби

Compute; узнать об алгоритмах, определениях и вовлеченных теоремах; или найдите свойства непрерывных дробей.

Найдите представление числа в виде непрерывной дроби:

Найдите определения терминологии непрерывной дроби:

Найдите статьи о непрерывных дробях по автору:

Другие примеры

Статистика

Вычислять свойства наборов данных, выполнять статистический вывод или моделировать данные.Работайте с распределениями вероятностей и случайными величинами.

Вычислить основную описательную статистику для набора данных:

Найдите размер выборки, необходимый для оценки биномиального параметра:

Другие примеры

Вероятность

Вычислить вероятности наступления определенных событий.Вычисляйте совместные, непересекающиеся или условные вероятности и применяйте их к реальным ситуациям.

Вычислите вероятность объединения событий:

Вычислите вероятности подбрасывания монеты:

Другие примеры

Общая математика ядра

Получите информацию об общих основных стандартах математики для детей от детского сада до восьмого класса.

Вычислить выражение (CCSS.Math.Content.6.EE.A.2c):

Выполните несколько операций с рациональными числами (CCSS.Math.Content.7.NS.A.2c):

Другие примеры

6 используемых примеров математики | Математические науки: отчет

Ниже приведен неисправленный машинно-читаемый текст этой главы, предназначенный для предоставления нашим собственным поисковым системам и внешним системам богатого, репрезентативного текста каждой книги с возможностью поиска по главам.Поскольку это НЕПРАВИЛЬНЫЙ материал, пожалуйста, рассматривайте следующий текст как полезный, но недостаточный прокси для авторитетных страниц книги.

6 Примеры использования математики Много лет назад Огюст Коуте утверждал, что наука — это наука. только постольку, поскольку это математически. Математизация физических наука ведется веками, наука о жизни и бытии хавиоральные науки за более короткое время. Инжиниринг, который является техникой. естествознания, основанного на физических науках, всегда использовала математику как необходимый инструмент.Математизация множества других технологий. Технологии в процессе. Соответственно, исчерпывающий обзор проникновение математики в различные области человеческой деятельности потребуются тома. В этой главе мы описываем несколько типичных бывших Достаточно: физика — наука, полностью математизированная почти с ее очень начало; инженерное проектирование полностью математизированной технологии нология; математика в новейших науках об окружающей среде в частности, численный прогноз погоды; экономика, в которой проникновению математики около ста лет; тех- нология управления и операций, в которой математизация это разработка времен Второй мировой войны.Ясно, что мы упустили много важных примеров. Смотрите, для некоторых конкретные примеры, эссе Коэна по математике в биологии, Ледербергом о некоторых применениях математики в химии и Харриса по математической лингвистике. Степень математизации, изощренность математики. используемые инструменты, и непреходящая интеллектуальная ценность, достигнутая до сих пор использование математики широко варьируется от области к области, поскольку мы будем комментарий в конце этой главы. 101

102 ~ Состояние математических наук МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА Физика — экспериментальная наука, связанная с материальным миром. вокруг нас.Цель, как ее определяют сегодня физики, состоит в том, чтобы описать и сопоставить множество экспериментальных явлений с точки зрения теоретические концепции, сформулированные на языке математики. Почему явления природы следует описывать на языке математика — предмет споров. (Например, Э. Вигнер en- назвал лекцию «Неоправданная эффективность математики в естественные науки ».) Тем не менее, это бесспорно, и в самом деле, как правило, само собой разумеющимся, что природные явления были описаны так с блестящим успехом.Поскольку физика занимается количественными измерениями, математика математика входит в физику естественным образом как вспомогательное средство для вычислений и как инструмент логических операций в теоретических разработках. В традиционные основные разделы математики алгебра, анализ и геометрия широко использовалась во многих областях исследований в физике таким образом. Как только компьютеры были разработаны, физи- Ящики немедленно начали использовать их с большим преимуществом, чтобы помочь в обработка данных, а также для решения численных задач.В то время как математика играет важную роль в физике в человеке — описанный выше, он играет, в то же время, гораздо более важную роль на более фундаментальном уровне. На самом деле математика дает много основных понятий, которые физики используют для описания природных явлений. ena. Например, абстрактное математическое понятие некомму- В основе квантовой механики лежит умножение. Неевклидова геометрия является отправной точкой общей теории относительности. это Есть физики, которые считают аналитическое продолжение математическая концепция, необходимая для описания физического принципа причинность.Если посмотреть на развитие физики на протяжении веков, начиная с ранних исследований астрономии и ньютоновского chanics, продолжая формулировку девятнадцатого века электромагнитных явлений и теории тепла и термо- динамику, а затем и современное развитие теории относительности, количественное механики и физики высоких энергий поражает все более абстрактная и сложная природа математических понятия, которые необходимо было ввести для описания природный феномен.Такое наблюдение, несомненно, стояло за замечание покойного британского физика Джинса о том, что Бог — это математика. тикан. Некоторые примеры сложных математических концепций

Примеры использования математики 103 которые были введены в физику в последние годы, находятся в эссе Дайсона и Вайтмана в ссылке 7. Мы цитируем из статья великого физика П.А.М. Дирака tProc. Рой. Соц., 133, 66 (1931 ~: Неуклонный прогресс физики требует для ее теоретической формулировки математика, которая становится все более продвинутой.Это естественно и быть ожидаемым. Чего, однако, не ожидали научные работники. прошлого века была особой формой, в которой линия продвижения математика потребовала бы, а именно, ожидалось, что математика будет становиться все более сложным, но останавливаться на постоянной основе аксиом и определений, в то время как на самом деле современные физические разработки требовали математики, которая постоянно меняет свои основы и становится более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые когда-то считались чисто выдумкой разума и игры для логических мыслителей оказались очень необходимыми для описание общих фактов физического мира.Кажется вероятным, что это процесс увеличения абстракции будет продолжаться и в будущем, и Успех в физике должен быть связан с постоянным изменением и генерацией обобщение аксиом на основе математики, а не с помощью логическое развитие любой математической схемы на твердом основании. Многие физики считают, что главная проблема, с которой они сталкиваются сегодня, а именно строение атомных ядер и их составных частей (также известная как физика высоких энергий), вполне может быть решена только при введение математических понятий, ранее не использовавшихся в физика и, возможно, еще неизвестная математикам.Будь это как возможно, неоднократно было продемонстрировано, что чувство формы и понимание элегантности, абстракции и обобщения, которые являются отличительными чертами хорошего математического развития, часто также характеристики новых достижений в физическом понимании. В Фактически, то, что называют физическими идеями, часто происходит из свойств абстрактных математических понятий, которые, как оказалось, широко распространены. распространение и глубоко укоренившаяся применимость в природных явлениях. В ре- рассматривая взаимодействие между математикой и одной из ветвей физика, М.Дж. Лайтхилл А. Рой. Аэронавт. Soc., 64, 375 (1960) ~ заметил, что важной задачей математики является создание новых физические идеи, то есть . . . идеи, которые возникли в результате математических исследований, но которые позже поддаются почти исключительно физическому описанию, и чьи свойства, хотя сначала были получены математически, стали известны и обычно описываются в чисто физических терминах. Ценность физического идеи в практической работе, безусловно, заключается в их эластичности. При условии, что они здоровые идеи, такие как те, которые выдвигаются как действительно подходящие физические

104 Состояние математических наук описание математического решения некоторого четко определенного класса проблем. лем, они обычно демонстрируют великолепную способность противостоять искажениям проблема, да и вообще к радикальным изменениям и усложнению ее условий, и по-прежнему давать правильные указания о том, что нужно делать.Следует отметить, что фактически это справедливо практически для всех приложений. катионы математики. Отношения между физикой и математикой никоим образом не улица с односторонним движением. В то время как физика использует математические концепции, математика matics черпает вдохновение и стимулы из потребностей физиков для новой математики. Изобретение исчисления, дифференциального геометрия, эргодической теории, все представляют собой математическое развитие. стимулы, вызванные физическими проблемами. Мы цитируем недавнюю отчет физиков (ссылка 11, стр. 162 ~: Через столетия интимного контакта теоретическая физика и математика активно взаимодействовали для их взаимной выгоды.Теоретическая физика использует концепции, разработанные в математике для формулирования описаний естественных явления. Математика, в свою очередь, стимулируется в своем направлении развития. Из-за проблем, поставленных физикой. В последние годы влияние теоретическая физика в развитии математики, кажется, имеет слабые Энед. Тем не менее, есть еще много ярких примеров математических развитие под влиянием физики: например, теория неограниченного операторов, теории представлений некомпактных групп и теории раздач.Было бы опрометчиво полагать, что природные явления могут не в будущем, как в прошлом, служить источником важности актуальные направления исследований в области математики. Тенденция основной математики в целом отходить от физика может быть неизбежной характеристикой математики этого век. ~ См., Например, М. Стоун, «Революция в математике», American Mathematical Monthly, 68, 715 (1961 ~). Это было бы пагубно для обеих дисциплин, если эта тенденция крайняя форма изоляции математиков и физиков от взаимные интеллектуальные контакты.Чтобы предотвратить такую возможность, необходимо очень важно, чтобы в бакалавриате, магистратуре и аспирантуре Студентам выпускных курсов будет предоставлена возможность познакомиться с захватывающие базовые разработки по каждой из двух дисциплин. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ В ИНЖЕНЕРИИ Использование математики в инженерии — одно из лучших признанным, а также одним из важнейших проявлений

Примеры использования математики 105 общая математизация нашей культуры.Смотрит ли кто-нибудь на отношения относительно старые отрасли, такие как гражданское и машиностроение, или относительно новые, такие как ядерные технологии или электроника, всегда увеличение количества и сложности используемой математики. Теория информации — хорошо известный пример. Это связано с очень глубоким математические задачи, но его резкое развитие было стимулировано связано с практическими потребностями в коммуникациях или электронике. требуются для измерения работы по передаче данного класса сообщения через данную среду.Современные разработки в аэро- динамика зависит от желания строить самолеты и летающие ракеты. на все более высоких скоростях. Как и ожидалось, обнаружено, что чем больше передовые технологии, более сложными являются основные cepts, и тем более они зависят от математики. Это часто невозможно понять концепции, используемые инженерами (даже такие базовые, такие как согласование импеданса, уменьшение сопротивления за счет помех, и субгармонический резонанс) без использования математики. Одна из форм, которую часто принимает усиленная математизация, — это развитие: создание более точных теорий, чтобы воспользоваться преимуществами параллельной рекламы. движется в других направлениях.Например, запас прочности 4: 1 имеет часто используется при проектировании конструкций. Такой запас прочности было бы совершенно непригодным для конструкции большинства ракет; то ракеты были бы слишком тяжелыми, чтобы оторваться от земли. Запас прочности иногда используются от 20 до 30 процентов. Жить с такими факторов нужно иметь гораздо более точное знание аэро- динамические силы, естественные режимы вибрации в теле и напряжение распределения, чем он в противном случае нуждался бы. Конечно, нужно также очень хорошо контролировать материалы и процессы, из которых состоят окончательная структура.Однако это просто иллюстрирует общий факт. чтобы максимально использовать преимущества улучшенных технологий, достижений с теоретической и физической стороны должны идти рука об руку harld. Новые математические методы, особенно в сочетании с компьютеры, часто используются в ситуациях, когда старомодные «ручные» методы были бы слишком медленными или слишком трудоемкими. Например, анализ математических моделей широко используется в современных гражданское строительство — анализ, ставший возможным благодаря существованию крупномасштабные вычислительные машины.Математическая формулировка часто приводит к линейному программированию. Прогнозирование спутниковых орбит, управляемый и контролируемый, — это еще одна деятельность, требующая тщательного математического анализа. Математическая формулировка и обширные численные расчеты. Когда вычислительная программа хорошо спроектирована, работа рутинная и

106 Состояние математических наук повторяющиеся, но исходная формулировка часто требует глубокого понимания, которое можно получить только с помощью математического анализа. Дизайн газовых турбин — еще один пример использования компьютеров.: Гидромеханика, одна из наиболее признанных областей прикладной математика, важна в нескольких инженерных областях. Шум от реактивных самолетов и ударных волн, связанных с супер- звуковой полет необходимо понять в деталях, прежде чем принимать меры и могут быть предложены и спроектированы доказательства; нестабильность горения приводит к критическим проблемам при разработке ракет; и сис- Тематический прогресс в минимизации разрушительного воздействия торнадо нельзя ожидать до понимания динамики атмосферы значительно улучшился.Область электроники и связи особенно богата в приложениях математики. Некоторые из них похожи на основные проблемы в других инженерных дисциплинах. Например, теория сосредоточенных цепей, как линейная, так и нелинейная, имеет много точек зрения сходства с аналогичными областями в механике. Для непрерывных носителей многие проблемы теории электромагнитного поля, по крайней мере, широко аналогично типичным задачам механики жидкости или упругости. Де- Знак радиоантенн, например, может быть основан на волновых интерференциях. Возьмите эффекты, аналогичные тем, которые используются в конструкции самолетов и кораблей.В более общем плане изучение распространения радиосигналов в включает в себя множество особых проблем, которые ставили перед такими «сосками» математических физиков, таких как Зоммерфельд и таких великих математиков, тики, как Герман Вейль. В последние годы все сложнее математические вопросы возникли при изучении плазмы, поля приобретает все большее значение во многих областях электротехники. Самые фундаментальные приложения математики к электронике а коммуникации, однако, находятся на концептуальном уровне.Обычно это происходит из ситуаций, когда математика предлагает лучший язык для выражения оригинальной инженерной проблема и конечный результат. Такие ситуации возникают из-за того, что электричество сам по себе нематериальный объект, который трудно описать, кроме как через математике, и потому что электрические системы часто настолько обширны, Ясно и сложно, что соображения математической закономерности и простота должна иметь первостепенное значение при их размещении. Пожалуй, самый элементарный пример доставляет математика. Математическое понятие импеданса.Это, хотя инженеры редко осознать это, это строго математическая уловка, нефизическое «воображение». nary «величина, с помощью которой реальные токи и напряжения в что в конечном итоге заинтересовало инженера, можно рассчитать за

Примеры использования математики 107 снисходительно. Его использование становится необходимостью, когда мы имеем дело, поскольку мы часто должен, со схемами, содержащими десятки или сотни элементов. В использование методов преобразования, установленных в инженере связи- Другим примером является работа на протяжении многих лет.Нет связи инженер мог бы иметь дело с множеством сигналов, которые он должен встретить на практике без помощи концепции частотного спектра. В последние годы концепции математической логики изменились. стать важной основой для коммутационных и компьютерных схем. Однако лучшим примером, вероятно, является информация теория. Идентификация коммуникационной техники и математики Математическая логика как две системы, каждая из которых в основном занимается манипулирование произвольными символами в соответствии с формальными правилами, сделанное Возможное с помощью теории информации, значительно расширило кругозор инженера связи и одним махом открыл ему обширные области математики как источник идей для конкретных шифров и схемы кодирования.Может случиться так, что одна и та же инженерная цель может быть лучше обслуживается сначала одной физической техникой, а затем другой, порождающей новые математические задачи по мере их развития. Пример мех- завершено геодезией, которая восходит к классическим временам и может быть рассматривается как генератор как геометрии, так и тригонометрии. В основные приемы в этом случае были, конечно, оптическими. С изобретением других инструментов, таких как телескоп, секстант и хронометр несколько веков назад, и больший интерес к точным навигация, еще более сложные задачи того же характера появился.В наше время основная техника — электронная. возмущены радиосетями, такими как LORAN, или навигационными спутниками. Здесь важные вопросы касаются анализа согласованности и другие статистические характеристики сигнала. Еще сложнее проблемы статистического анализа сигналов возникают в связи с «съемка» Солнечной системы с помощью отраженных радиолокационных сигналов с ближайших планет. Практически обратная ситуация возникает, когда несколько филиалов объединяются. инжиниринг может быть задействован в единой системе.Здесь то, что они все может быть обработано математически, может быть все, что имеет место в данной ситуации. ция вместе. Примером могут служить ракеты, которые обычно включают не только аэродинамику и строительную механику, но и химию. через двигательную установку и абляционное покрытие и электроэнергию. tronics через оборудование управления и наведения. Все они могут быть вовлеченным, если, например, ракета требуется для совершения нарушения давали маневр, и дело только в том, что все они относительно хорошо

108 Состояние математических наук понимается математически, что позволяет спроектировать система в целом.В целом современные инженерные системы слишком большие, сложные, и точно интегрированный, чтобы быть разработан эмпирическим тестом. Они должны быть тщательно проанализированы математически перед тестированием в чтобы получить разумную уверенность в успехе. Эти разнообразные приложения включают в себя множество объединяющих математических нити, которые заслуживают того, чтобы их считали областями прикладной математики. matics стоит изучать самостоятельно. Как только этот базовый уровень была достигнута, полученные знания применимы к другим отраслям технологии.Таким образом, проблемы переходной нагрузки в механической системе компании извлекают выгоду из методов, изначально разработанных для общения. специалистов, а инженеры-химики и авиационные инженеры работают над проблемами кровоток и способствуют развитию медицины. ПРИМЕР ИЗ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ НАУК: ЧИСЛЕННЫЙ ПРОГНОЗ ПОГОДЫ Науки об окружающей среде включают науки о Земле, океанографию, науки об атмосфере, телекоммуникации и аэрономия. Некоторые из самых сложных и сложных математических задач в науках об окружающей среде возникают в результате усилий по изучению ат- Мосфера и океаны с помощью математических моделей в форма детерминированных жидкостных систем.Это приводит к нелинейным частичным дифференциальные уравнения с достаточно общими граничными и начальными условия. Самые успешные попытки лечения этих проблем вовлекли использование высокоскоростных компьютеров. Особое повседневное значение имеют численные методы прогноз погоды теперь в регулярном использовании. Национальный метеорологический Центры обеспечивают круглосуточную оперативную поддержку материал для всех национальных прогнозных служб, а также для зарубежных услуг под эгидой Организации Объединенных Наций.Руководство материал состоит из крупномасштабных ветров и погодных условий над все северное полушарие. Основанием для этого является приблизительный численное решение на больших ЭВМ гидродинамических и термодинамические уравнения в частных производных, составляющие математическая модель поведения атмосферы. № Бюро погоды, Управление экологических исследований, США Министерство торговли. Центр был основан в 1954 году в Суитленде, штат Мэриленд. суша, специально для численного прогноза погоды.

Примеры использования математики 109 Общая идея математического предсказания погоды восходит к первые несколько лет двадцатого века. Подробное новаторство предложения и эксперименты по прогнозированию погоды через приложение приблизительное решение соответствующих гидродинамических и термодинамических уравнения восходят к британскому ученому Л. Ф. Ричардсони2 в начало 1920-х гг. Прогнозы Ричардсона не оправдались, большинство фундаментальной причиной этого является нарушение им тогда неизвестного критерий устойчивости численных процессов при решении частичных дифференциальные уравнения (открытые в 1928 году Курантом, Фридрихсом, и Леви).Еще одна причина несостоятельности прогнозов Ричардсона заключалась в том, что достаточные данные. Только в 1930-х и начале 1940-х гг. Пирические наблюдения стали приближаться к частоте и деталям необходимо для успешных попыток прогнозирования погоды на математических Математическая основа. В частности, новая сеть аэрологических наблюдений разработанные в 1930-х гг., прояснили динамику так называемого реактивный поток, огромная извилистая река воздуха, высотой от пяти до восьми миль и шириной в сотни миль, которая полностью огибает северное полушарие в средних широтах.Реактивный поток вместе с важными идеями сохранения завихренности в математической моделирование, оказалось ключом к крупномасштабным погодным пред- дикция в северном полушарии. Третья трудность, которая почти наверняка победила бы Рич- оригинальные предложения Ардсона 1922 года по числовому прогнозу погоды отсутствие смертельных случаев из-за высокоскоростных вычислений на сложных и нужны большие масштабы. Он визуализировал гигантский «погодный фасад». тори », в которой, по оценкам, работает 64 000 компьютеров, занятых людьми. при получении приближенных решений для соответствующих частичных дифференциальные уравнения гидродинамики и термодинамики.Смотреть- назад, эксперты сегодня считают, что вряд ли было бы возможно организовать такую операцию для получения своевременных прогнозов погоды. Однако это та задача, для решения которой современные высокоскоростные электронный компьютер идеально адаптирован. Появились первые такие компьютеры. возник в конце 1940-х гг. {фон Нейман сыграл жизненно важную роль как в логической конструкции этих компьютеров, так и в их первом успехе. Успешное использование в расчетах погоды в 1948 г. В последующие годы компьютеры неуклонно становились более мощный, по скорости, универсальности и вместимости.Таким образом, погода расчеты, на которые в 1948 г. потребовалось 24 часа, выполнялись в пять минут к 1951 году. Эти и последующие достижения в области компьютерных технологий разработки были параллельны успехам в исследованиях численных

110 Состояние математических наук прогноз погоды. Относительно простые уравнения, определяющие первую модели атмосферы были значительно доработаны и детально проработаны. оценен. Ранние модели не содержали деталей вертикальной структуры атмосферы, а скорее устно среднего вертикального движения.К в середине 1962 года система, допускающая три вертикальных уровня, имела стать основной операционной моделью на Национальном метеорологическом логический центр. Это, в свою очередь, было заменено в середине 1966 года шестьюуровневым модель. Кроме того, за последние 20 лет достигнут значительный прогресс. было достигнуто методами численного анализа, используемыми в погодных условиях. прогноз. Многие аспекты численных методов все еще остаются в силе. неудовлетворительно, однако, налагая серьезные ограничения на виды моделирование, которое можно попробовать.Часто бывает трудно даже отказаться различать искажения, вносимые численными методами и те, которые возникают из-за недостатков математической модели. Таким образом, будущее будет по-прежнему представлять собой сложные и тернистые проблемы в этой области. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ В ЭКОНОМИКЕ Явное проникновение неэлементарной математики в эко- номинация началась около века назад с введения ставок изменение предельных коэффициентов и эластичности. На протяжении многих десятилетий экономисты выполнили вывод с помощью слов или графических шаблонов а не формулами.Эти выводы, конечно же, включали цепочки символических рассуждений и, таким образом, были по своей сути математическими характерным, хотя и не всегда признается таковым. Двадцатый век видел быстро растущее использование формул и математических результаты и теоремы (см. эссе Клейна в ссылке 7 ~. довольно стабильно было правдой, что около половины статей, появляющихся в основные экономические журналы были бы отклонены через десять лет раньше как «слишком математически». Раннее использование математики в экономика сосредоточилась на использовании исчисления как средства описание взаимоотношений.Акцент медленно сменился на проблему. лемы максимизации или минимизации, изначально плавно изменяющиеся. функции без ограничений или с небольшим количеством ограничений. Проблемы, связанные с правильным поведением, которые ра- рядовые участники «должны» или клиенты должны быть проинформированы о том, чтобы выставлять — с самого начала были связаны с проблемами, касающимися эффекты идеальных механизмов, таких как свободная конкуренция, в распределении использование товаров и услуг. Оба класса проблем включают оптимизацию

Примеры использования математики распределение ресурсов.Сегодня математика оптимизированного распределения управление, контроль и решение, обсуждаемые в главе 5, имеют множество применений. экономисты, экономисты и математики способствовать этому. Наряду с математической экономикой очень активная область эконометрика, в которой статистические инструменты, многие из которых были разработаны для цель важны. И здесь и экономисты, и статистики специалисты вносят свой вклад в разработку новых методов и к свежему пониманию старых. Как и во многих других областях, большая часть экономики полностью наиболее революционизирован доступностью современных вычислительных систем для хранения и усвоения большого количества данных и решения сложных проблем либо прямо, либо путем предварительного приближения.Сегодня большие области экономики сильно математизированы. Для бывшего достаточно, есть математические теоремы о существовании конкурентное экономическое равновесие. Изучение бизнес-циклов приводит системам дифференциальных уравнений, аналогичных тем, которые встречаются в dy- динамика физических систем. Действительно, многие из наиболее уважаемых экономистов омисты математически ориентированы. Ключевые экономисты знают столько деталей современной теории управления и того, что известно о устойчивость нелинейных систем, если взять два примера, как и все, кроме самые специализированные математики.Поэтому неудивительно, что большинство членов Совета экономических советников президента и его профессиональные сотрудники прошли подготовку на экономистов-математиков. Напомним также, что l. М. Кейнс, отец современной экономики, получил образование математика. Экономическое образование сейчас сильно ориентировано на математику. На большинстве основных факультетов США все кандидаты экономических наук требуются для изучения математического анализа, избранных тем в углубленном исчислении, элементы линейной алгебры и вероятности, статистический вывод, и эконометрика.Это впечатляющий фундамент для всех. массив, особенно в отличие от ситуации один, два или три декад- лет назад. Во многих ведущих выпускных центрах дополнительная математика курсы заменяют требование второго языка для докторантуры кандидаты. МАТЕМАТИКА В ФИНАНСАХ И СТРАХОВАНИИ Подавляющее большинство человечества использует элементарную математику в первую очередь. Мэрили в обращении с деньгами. По сути, пробуждение математика в Европе эпохи Возрождения примерно совпадает

112 Состояние математических наук с переходом от бартерной экономики к денежной.Повсеместное распространение элементарной математической грамотности было сопутствующий развитию этой экономики. На более сложном уровне математика используется в страховании, в частности, в страховании жизни, которое восходит к концу шестнадцатый век. Статистические методы были разработаны частично как в результате потребностей страховых компаний. Таблицы смертности были среди первых опубликованных статистических таблиц. Актуарная профессия является типичным примером полностью математизированной технологии.В расцвет математической статистики в Скандинавии в последние годы десятилетия, безусловно, были засеяны скандинавской озабоченностью математика страхования. Одно из наиболее интересных приложений математики в ак- Теоретическая работа — это извлечение набора показателей смертности из наблюдаемых обслуживаемые данные и замена плавно прогрессирующих ставок на неправильный набор извлечен. Это классическая проблема постепенного ции, которая подвергалась различным атакам на протяжении многих лет, большинство недавно в рамках байесовского подхода.Среди первых методов градуировки, используемых актуариями, были: различные приспособления для подгонки кривой. Позже ряд линейных ком- формулы фунта были разработаны для получения плавно прогрессирующих ставок, судить по уменьшению погрешности в третьих разностях. В былые времена, наиболее широко использовалась формула градации, основанная на разностное уравнение, которое представляет собой компромисс между гладкими полнота и близость посадки. В течение последнего года была введена новая методика градуировки. оды были разработаны как проблема в простой статистической оценка большого набора показателей смертности одновременно, продолжайте- однако, исходя из предшествующего распределения «истинных» ставок, основанных на о личной вероятности и использовании теоремы Байеса.Другой тип проблемы иллюстрируется различными разработками теория риска, которая была разработана как частный случай теория случайных процессов. Так называемая «теория коллективного риска» акцентирует внимание на распределении общей суммы страховых возмещений. компании в конце указанного периода времени, так что разумный может быть вынесено суждение о соответствующих пределах хранения или границы допустимых неблагоприятных колебаний. Это существенный недостаток ·. · — S1C. ДРУГИЕ В ОТНОШЕНИИ.Коллективная теория риска была разработана рядом Сканеров. динавские актуарии (в частности, Ф. Лундберг, Х. Крамер и К. О. Зегердаля) за расследование деятельности страховой компании из вероятностная точка зрения или, что более реалистично, появление профессиональных это в рискованном предприятии. Базовая модель рассматривает распределение

Примеры использования математики ~ 3 общие требования рискового предприятия, состоящие из двух элементов — частота и степень тяжести; итоговое распределение общих требований можно рассматривать как стационарный случайный процесс с независимыми с приращениями и как составной пуассоновский процесс.В последние годы основные положения теории и, следовательно, диапазон ее применения. plication, были значительно расширены за счет использования более общих вероятностные модели, учитывающие определенные типы колебаний основные вероятности. Точное распределение общих требований ин- страховая компания была изучена аналитически для множества предположения. Были разработаны оригинальные численные аппроксимации. опубликовано, и более поздние более широкие аналитико-численные исследования общей претензии были распространены, в значительной степени полагаясь на компьютер ·.slmu atlon. МАТЕМАТИКА В УПРАВЛЕНИИ И ОПЕРАЦИЯХ Во время Второй мировой войны использование простых математических моделей и математическое мышление для изучения ведения военных действий стало признанным искусством, поскольку сначала ученые, а затем математики, юристы и люди с другим опытом продемонстрировали его эффективность. живость. После войны попытки применить те же взгляды и подходы к бизнесу и производственным операциям и управлению были продвинуты вперед довольно успешно. В сочетании с техниками и мышление, заимствованное из классической экономики или предложенное ею, линия развития теперь привела к активному полю, о котором Имена EIoward Raiffa из Гарвардского университета заметил: Некоторые имена, которые используются более или менее взаимозаменяемо: Управление- Наука о мерах, Анализ операций, Исследование операций, Анализ решений, Системный анализ, анализ затрат и выгод, математическое программирование (в уверенность и неопределенность), Решение и контроль, Оптимизация Теория, теория управления, прикладная математика II (римская цифра I — зарезервировано для математической физики и астрономии).Конечно, исследователи и каждый из практикующих в этих областях мог убедительно доказать, что их титул является наиболее подходящим, и то, что они делают, несколько шире, чем то, что другие делают. Каким бы ни было название, суть того, что делается, одинакова, ком- ограничение использования числовых данных об опыте эксплуатации, чтобы характеристика ранних военных приложений с математической модели, обеспечивающие руководство для управленческих действий и суждений. Это поле было создано учеными, привыкшими к использованию математики.

114 Состояние математических наук матика; и его дух, и его методы всегда были тщательными. довольно математический характер.Этот математический подход стабильно проникает в практику управления и эксплуатации. Ряд ведущих школ бизнес-администрирования имеют пришел к выводу, что математика важна и как инструмент, и как язык. обучение менеджменту, и это обучение профессиональному классу. менеджеров должны включать значительную долю этой области многих имена. Следовательно, исчисление, линейная алгебра и компьютерные программы — мин должен быть предварительным условием для входа или должен быть принят рано в аспирантуре.В ведущей бизнес-школе (Har- vard), который не является «математически ориентированным» и где нет такого требования предъявляются, около 75 процентов поступающих студентов иметь по крайней мере два года обучения математике в колледже, несколько курсов по выбору требующие такой степени математической сложности, и существует значительная группа преподавателей, имеющих докторские степени в математика или прикладная математика. Эта область широко математизирована и компьютеризирована, но она далеко не строго математическая наука.Образец его проблемы часто описывают как формулировку проблемы, построение математической модели, получение решения из модели, тестирование модели и решения, установление контроля над решение и реализация решения. Только один из шести шагов полностью математический; другие связаны с актуальной проблемой в существенный способ. На этих других этапах, конечно же, есть много подходящих Приложения, некоторые из которых имеют решающее значение, статистики и информатики. Математический шаг, особенно при работе с менеджментом вместо операционных проблем, часто опирается на концепции и повторно sults Mom — это область оптимизированного распределения, контроля и принятия решений.Хороший практикующий врач сочетает в себе характеристики большинства профессионалов. профессиональные консультации и наиболее эффективное применение математики: здравый смысл, готовность давать полуответы в получаса, признание его ключевой роли как формулировщика проблем и вносит вклад в долгосрочную прибыль (а не как решает проблемы или Исследователь). Но для всего этого и в чужой среде он должен сохранить свои навыки математика. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Мы коснулись лишь некоторых применений математических методов. по дисциплинам, выходящим за рамки собственно математических наук.В

Примеры использования N7Tathen ~ atics 115 количество таких экземпляров неуклонно растет, а граница линии между математическими науками и науками, использующими математику Матикс часто бывает сложно нарисовать. Все более широкое использование математических методов в биологических наук было указано ранее в разделе, посвященном математике. о культуре (см. стр. 3 ~; и эссе Хирша Коэна в в ссылке 7 более подробно обсуждаются различные биомедицинские приложения. вопросы математики.Компиляция 1967 года Тралла и др. ~ 4 pro- обеспечивает дальнейшую обширную иллюстрацию приложений математической модели в биологии. Важным упущением в нашем обсуждении является растущая область математической психологии. Проведенное всестороннее обследование может можно найти в справочнике 13. Еще один важный пример пенетрафа. преобразование математических методов в нематематизированные до сих пор области в молодой науке математической лингвистики, которая использует математические методы и математический образ мышления к изучению живых языков.(См., Например, эссе автора Харрис в ссылке 7.) Все великие блага порождают маленькое зло. Каждый новый и мощный инструмент используется неправильно, а также используется с умом. Это не касается печати и меня- когда эти инструменты были новыми. Сегодня в любом владении попытаться там, где математика, статистика или вычисления являются новыми, там будут те, кто использует эти инструменты неразумно, как средство убеждения действия, когда доказательства неполны или даже неверны, или как средство о «благословенных» выводах, не заслуживающих поддержки.Все поля сейчас хорошо математизированы, хорошо статистизированы или компьютеризированы. пережили эти трудности. Те, кто сейчас в процессе, или будут в процесс в ближайшее время тоже придется пострадать. Такие трудности часто замедляют внедрение математики или статистики или вычисления в основе новой области применения. Эти задержки являются, мы {ухо, неизбежными. Единственное доказавшее свою эффективность противоядие — повышенное количество математической, статистической или компьютерной грамотности для большинства тех, кто работает в поле.Это увеличение состоит из двух частей: отделимы, но обычно соединяются: с одной стороны, достаточно грамотных математика, необходимая для понимания смысла, возможно, даже детали необходимых манипуляций; с другой, часто даже что еще важнее, художественное понимание того, как математика или статистика или вычисления подходят для решения актуальных проблем в аналогичных областях. Этот последний включает в себя оценку одного из навыков эффективного пользователя: умение обычно озвучивать то, что необходимо учитывать в

116 Состояние математических наук формальные или числовые манипуляции, которыми, вероятно, можно пренебречь, и что, конечно, ничтожно мало.Этим вещам нелегко научить бывших мягко; они обычно усваиваются практическим опытом и, таким образом, зависеть от хоть какого-то объекта с манипуляциями обеспокоенный.

22 примера математики в повседневной жизни — StudiousGuy

По мнению некоторых, математика — это просто использование сложных формул и вычислений, которые никогда не будут применяться в реальной жизни. Но математика — это универсальный язык, который применяется практически во всех сферах жизни.Да! Вы правильно прочитали; все время соблюдаются основные математические концепции. Вы были бы удивлены, если бы увидели, как математика выходит из неожиданных ситуаций.

Давайте продолжим, чтобы узнать реальные жизненные ситуации, в которых применяется математика.

1. Составление текущих бюджетов

Сколько я должен потратить сегодня? Когда я смогу купить новую машину? Стоит ли экономить больше? Как я смогу оплачивать свои EMI? Такие мысли обычно приходят нам в голову.Самый простой ответ на такие вопросы — математика. Мы составляем бюджеты на основе простых расчетов с помощью простых математических понятий. Так что нельзя сказать, что я никогда не буду изучать математику! Все, что нас окружает, так или иначе связано только с математикой.

Заявка:

Основные математические операции (сложение, вычитание, умножение и деление)

Расчет процентов

2.Конструктивное назначение

Знаете что, математика — это основа любого строительства. Многие расчеты, составление бюджетов, постановка целей, оценка стоимости и т. Д. Выполняются на основе математических расчетов. Если вы не верите, спросите любого подрядчика или строителя, и они объяснят, насколько важна математика для выполнения всех строительных работ.

Заявка:

Оценка стоимости и прибыли

3.Физические упражнения и тренировки

Мне нужно уменьшить количество жира в организме! Смогу ли я когда-нибудь обрести тело своей мечты? Как? Когда? Смогу ли я нарастить мышцы? Здесь используется простая концепция — математика. Да! основываясь на простых математических представлениях, мы можем ответить на вышеупомянутые вопросы. Мы устанавливаем распорядок дня в соответствии с расписанием тренировок, подсчитываем количество повторений во время упражнений и т. Д., Просто основываясь на математике.

Заявка:

Основные математические операции (сложение, вычитание, умножение и деление)

Логические и аналогичные рассуждения

4.Дизайн интерьера

Дизайн интерьера кажется увлекательной и интересной карьерой, но знаете ли вы точную реальность? Чтобы преуспеть в этой области, необходимо следовать множеству математических концепций, расчетов, бюджетов, оценок, целей и т. Д. Дизайнеры интерьера планируют интерьер на основе расчетов площади и объема, чтобы рассчитать и оценить правильную планировку любого помещения или здания. Такие концепции составляют важную часть математики.

Заявка:

5.Моделирование

Так же, как дизайн интерьера, математика также является важным понятием дизайна одежды. От измерения, оценки количества и качества одежды, выбора цветовой гаммы, оценки стоимости и прибыли до производства ткани в соответствии с потребностями и вкусами клиентов, математика используется на каждом этапе.

Заявка:

Основные математические операции

6.Покупки в продуктовых магазинах и супермаркетах

Наиболее очевидное место, где вы могли бы увидеть применение основных математических понятий, — это ваш соседний продуктовый магазин и супермаркет. Такие схемы, как «Фиксированная скидка 50%», «Купи один, получи один бесплатно» и т. Д. Можно встретить в большинстве магазинов. Покупатели посещают магазины, видят такие схемы, оценивают количество, которое нужно купить, вес, цену за единицу, расчет скидок и, наконец, общую цену продукта, и покупают его.Расчеты производятся на основе основных математических понятий. Таким образом, и здесь математика составляет важную часть нашей повседневной жизни.

Заявка:

7. Готовка и выпечка

На вашей кухне также выполняется математика. Для приготовления или выпечки чего-либо выполняется ряд шагов, в которых сообщается, какое количество продукта следует использовать для приготовления, пропорции различных ингредиентов, способы приготовления, используемую посуду и многое другое.Они основаны на разных математических концепциях. Развлекайте детей на кухне, пока они готовят что-нибудь, — это увлекательный способ объяснить математику, а также основные методы приготовления.

Заявка:

8. Спорт

Математика улучшает когнитивные навыки человека и навыки принятия решений. Такие навыки очень важны для спортсмена, потому что с их помощью он может принимать правильные решения для своей команды. Если у человека нет таких способностей, он не сможет правильно оценить.Таким образом, математика также является важной частью спортивной сферы.

Заявка:

Математические операции и алгоритм

9. Управление временем

Сейчас управление временем — одна из самых сложных задач, с которой сталкивается множество людей. Человек хочет выполнить несколько заданий за ограниченное время. Не только руководство, некоторые люди даже не могут считывать время на аналоговых часах.Такие задачи можно решить только путем понимания основных понятий математики. Математика не только помогает нам понять, как управлять временем, но и ценить его.

Заявка:

Основные математические операции

10. Вождение автомобиля

«Скорость, время и расстояние» Все эти три вещи изучаются на математических предметах, которые являются основами вождения независимо от вида транспорта. Математика помогает нам ответить на следующий вопрос;

Какой должна быть скорость, чтобы преодолеть определенное расстояние?

Сколько времени это займет?

Повернуть налево или направо?

Когда увеличивать или уменьшать скорость?

Заявка:

11.Автомобильная промышленность

Различные компании-производители автомобилей производят автомобили в соответствии с требованиями клиентов. У каждой компании есть своя категория автомобилей, от микрокаров до роскошных внедорожников. В таких компаниях применяются базовые математические операции для получения информации о различных запросах клиентов.

Заявка:

12. Компьютерные приложения

Вы когда-нибудь задумывались, как работает компьютер? Насколько легко он выполняет каждую задачу в правильной последовательности действий? Простая причина этого — применение математики.Области математики и вычислений пересекаются как в компьютерных науках. Изучение компьютерных приложений практически невозможно без математики. Такие концепции, как вычисления, алгоритмы и многие другие, составляют основу для различных компьютерных приложений, таких как PowerPoint, Word, Excel и т. Д., Которые невозможно запустить без математики.

Заявки:

13. Планирование поездки

Нам всем наскучила однообразная жизнь, и мы хотим уехать в долгий отпуск.Для этого мы должны соответствующим образом все спланировать. Нам нужно подготовить бюджет поездки, количество дней, направления, отели, соответствующим образом скорректировать остальную работу и многое другое. А вот и роль математики. Чтобы спланировать успешное путешествие, необходимо следовать основным математическим понятиям и операциям.

Заявка:

14. Больницы

Каждая больница должна составить график работы врачей, систематические методы проведения любой серьезной операции, ведение записей о пациентах, записи об успешности операций, количество необходимых машин скорой помощи, обучение использованию лекарств. медсестрам, рецептам, расписанию всех задач и т. д.Все это делается на основе математических концепций.

Заявка:

15. Видеоигры

Видеоигры — одно из самых любимых развлечений во всем мире, независимо от того, ребенок вы или взрослый. Студенты обычно пропускают уроки математики, чтобы играть в видеоигры. Но знаете ли вы, что здесь также изучают математику? Здесь они узнают о различных шагах и методах, которым необходимо следовать, чтобы выиграть любую игру.Не только во время игры, но и инженеры, которые представляют разные игры для людей, также следуют различным математическим концепциям.

Заявки:

16. Прогноз погоды

Прогноз погоды полностью основан на математической теории вероятностей. Благодаря этому мы узнаем о погодных условиях, например о том, будет ли сегодня солнечный день или пойдет дождь. Итак, в следующий раз, когда вы планируете поездку, не забудьте посмотреть прогноз погоды.

Заявка:

17. База прочих субъектов

Хотя математика сама по себе является уникальным предметом. Но вы были бы удивлены, узнав, что он составляет основу для каждого предмета. Такие предметы, как физика, химия, экономика, история, бухгалтерский учет, статистика, фактически, каждый предмет основан на математике. Итак, в следующий раз, когда вы скажете: «Я никогда не буду изучать этот предмет по математике!» помните, эта тема не оставит вас никогда.

Заявка:

18. Музыка и танцы

Музыка и танцы — одно из самых распространенных детских увлечений. Здесь они также изучают математику во время пения и разучивают различные танцевальные движения. Координация в любом танце может быть достигнута с помощью простых математических шагов.

Заявка:

19. Обрабатывающая промышленность

Часть математики под названием «Операционные исследования» — важная концепция, которой следуют на каждом производственном предприятии.Эта математическая концепция дает производителю простое представление о выполнении ряда задач в рамках производственной единицы, например,

Какое количество производить?

Какие методы нужно использовать?

Как увеличить производство?

Как снизить себестоимость продукции?

Удаление ненужных задач.

Следующие методы, такие как целевая себестоимость, калькуляция затрат ABC, составление бюджета по рентабельности и многие другие.

Заявка:

20. Планировка городов

Городское планирование включает в себя концепции составления бюджета, планирования, постановки целей и многое другое, что составляет часть математики. Никакая деятельность невозможна без математики.

Заявка:

21. Навыки решения проблем

Навыки решения проблем — один из важнейших навыков, которым должен обладать каждый человек, чтобы добиться успеха в жизни.Такие навыки помогают человеку принимать правильные решения в жизни, будь то профессиональные или личные. Все это делается, когда человек имеет правильные знания основных математических понятий.

Заявка:

Основные математические операции

22. Маркетинг

Маркетинговые агентства составляют надлежащие планы относительно того, как продвигать любой продукт или услугу. Такие задачи, как продвижение продукта в Интернете, использование платформ социальных сетей, использование различных методов прямого и косвенного маркетинга, продажа от двери до двери, отправка электронных писем, совершение звонков, предоставление ряда схем, таких как «Купи один, получи один бесплатно», «Фиксированная скидка 50%», предлагая скидки в особых случаях и т. Д.все сделано на основе простых математических концепций. Таким образом, математика присутствует везде.

Заявка:

Математические операции

Математика в реальном мире: 6 повседневных примеров

Факт:

Мы все используем математику в повседневных приложениях, осознаем мы это или нет. Если вы посмотрите достаточно внимательно, вы увидите, что математика возникает в самых неожиданных местах.

Математика — универсальный язык нашей окружающей среды, помогающий человечеству объяснять и творить.

От игр до музыки — математика жизненно важна для помощи студентам в совершенствовании своих творческих способностей и воплощении своих мечтаний в реальность.

Когда я когда-нибудь буду использовать математику?

Варианты этого вопроса эхом разносились по залам математических классов повсюду. Студенты часто задаются вопросом, будут ли они, когда и как когда-либо использовать математику в «реальных» жизненных ситуациях.

На самом деле мы постоянно пользуемся математикой!

Конечно, если вы не инженер или актуарий, вы не можете использовать некоторые из более абстрактных математических концепций.

Однако базовые навыки, развиваемые в математических классах, находят отклик на протяжении всей жизни учащегося и часто всплывают, чтобы помочь решить различные реальные или связанные с работой проблемы — иногда спустя годы.

1. Математика помогает строить вещи

Спросите любого подрядчика или строителя — они скажут вам, насколько важна математика при строительстве чего-либо.

Чтобы создать что-то непреходящее из сырья, необходимы творческий подход, правильный набор инструментов и широкий спектр математических знаний.

Расчет общего количества бетона, необходимого для плиты; точное измерение длины, ширины и углов; и оценка стоимости проекта — это лишь некоторые из многих случаев, когда математика необходима для реальных проектов по благоустройству дома.

Независимо от того, будут ли студенты работать на стройке в будущем или будут владеть домом, возможность делать небольшие улучшения в доме сэкономит много денег и обеспечит чувство выполненного долга и уверенности в своих силах.

Совет учителя: Рассмотрите возможность включения небольшого строительного проекта в классную комнату — например, простой дом из картонных коробок или небольшую деревянную лодку из набора — для повторного обучения математическим навыкам, таким как измерение, оценка, углы и следуя инструкциям.

2. Математика в продуктовом магазине

Одно из наиболее очевидных мест, где можно найти людей, использующих математику в повседневной жизни, — это ближайший продуктовый магазин.

Покупка продуктов требует широкого спектра математических знаний, от умножения до расчетов и процентов.

Каждый раз, когда вы рассчитываете цену за единицу, взвешиваете продукцию, определяете процентные скидки и оцениваете окончательную цену, вы используете математику в процессе совершения покупок.

Совет учителя № 1: Поощряйте учащихся решать задачи по математике в продуктовом магазине со своей семьей. Например, они могут оценить общую стоимость всех продуктов до оформления заказа. Для более сложной задачи предложите учащимся использовать купоны, распродажи и скорректированные цены для оптовых товаров.
Ваши маленькие покупатели со скидкой поблагодарят вас позже, когда они будут экономить деньги на собственных бакалейных товарах.
Совет учителя № 2: Вы также можете организовать экскурсию в продуктовый магазин — с помощью нескольких родителей, работающих с небольшими группами учащихся — составив списки и указав цены на товары заранее, чтобы ваш класс мог затем использовать для приготовления пищи (см. ниже)!

3. Математика делает выпечку весело

На кухне можно найти больше математики, чем где-либо еще в доме.Кулинария и выпечка — это самостоятельные науки, и они могут быть одним из самых полезных (и вкусных) способов приобщить детей к математике.

Ведь:

Рецепты — это просто математические алгоритмы или автономные пошаговые наборы операций, которые необходимо выполнить. Доказательство в пудинге!

Работа на кухне требует обширных математических знаний, включая, помимо прочего:

отмерять ингредиенты по рецепту
умножение / деление дробей для учета более или менее одной партии
преобразование рецепта из Цельсия в Фаренгейт
преобразование рецепта из метрических (мл) в стандартные единицы США (чайная ложка, столовая ложка, чашки)
вычисление времени приготовления для каждого элемента и соответствующая корректировка
расчет необходимого времени приготовления в фунтах в час
понимание соотношений и пропорций, особенно в выпечке (напр.рецепт предусматривает 1 яйцо и 2 стакана муки, тогда соотношение яиц к муке 1: 2).

Иногда бывает сложно следовать рецепту, особенно если необходимы преобразования. Преобразование — важная часть следования рецептам, когда они используют градусы Цельсия или метрическую систему, и учащиеся могут найти выполнение математических расчетов забавной частью кулинарного опыта.

Вот лишь несколько полезных преобразований размеров для кухни:

Цельсия в Фаренгейта Преобразование

Пр.Рецепт требует, чтобы духовка была установлена на 220 ° C, но у вас есть маркировка по Фаренгейту. Чтобы преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта в этом рецепте, воспользуйтесь следующей формулой:

Формула: ° C x 9/5 + 32 = ° F

220 x 9/5 + 32 = ° F

396 + 32 = 428 ° F

Преобразование метрических единиц в стандартные единицы США

1 юридическая чашка США = 240 мл

1 столовая ложка США = 14,79 мл

1 чайная ложка США = 4,92 мл

1 жидкая унция США = 29.57 мл

Совет учителя: Готовьте в классе! Простые проекты, такие как печенье без выпечки или смеси для закусок, которые требуют измерения и смешивания, но без потенциально опасных действий, таких как печь или ножи, могут быть забавными, укрепляя математические концепции. Кроме того, вы можете вместе съесть вкусную еду! Дети (и взрослые!) Любят такую математику!

4. Математика берет на себя риск

Математика пригодится в путешествиях.

Подумайте об этом:

Когда вы путешествуете, математика приходит на помощь — от оценки количества топлива, которое вам понадобится, до планирования поездки на основе миль в час и пройденного расстояния.

Расчет расхода топлива имеет решающее значение при поездках на большие расстояния. Без него вы можете оказаться без газа или в дороге гораздо дольше, чем предполагалось. Вы также можете использовать математику на протяжении всей поездки, оплачивая дорожные сборы, подсчитывая количество выездов, проверяя давление в шинах и т. Д.

Задолго до появления GPS и Google Maps люди использовали атласы, бумажные дорожные карты, дорожные знаки или устные указания для навигации по автомагистралям и проездам страны.

Чтение карты — это почти потерянное искусство, требующее совсем немного времени, ориентации и некоторых базовых математических основ.

Если вы учитель, вы можете показать студентам, как использовать свои математические навыки для чтения карт.

Почему?

Это сделает их более безопасными путешественниками и менее зависимыми от технологий. Кроме того, очень весело использовать карты старой школы, прокладывать пути, по которым нужно идти, и оценивать, сколько времени потребуется, чтобы добраться куда-то или сколько миль будет пройдено.

Совет учителя № 1: Планируйте воображаемые поездки всем классом или группами. Во-первых, научите своих учеников ориентироваться на карте, чтобы начать планирование поездки с определения своего текущего местоположения на карте.Попросите их обозначить это как точку А. Самый простой способ сделать это — найти город, в котором вы находитесь. Затем попросите их указать близлежащие перекрестки, перекрестки или легко узнаваемые точки, такие как мост, здание или въезд на шоссе. Определив отправную точку, укажите, куда вы хотите отправиться (точка B). Теперь вы можете определить лучший маршрут в зависимости от местности, ограничения скорости и т. Д.
Покупка недорогих бумажных карт — интересный способ включить это задание в свой класс.Или займитесь высокими технологиями и воспользуйтесь картографическими приложениями, найденными в Интернете.
Совет учителя № 2: Научите своих учеников ориентироваться в навигации, используя солнце днем и звезды ночью.

Дневная навигация:

В Северном полушарии солнце встает на востоке и заходит на западе. В зависимости от времени суток вы можете ориентироваться по положению солнца на небе. В полдень это становится немного сложнее, так как в полдень солнце появляется прямо над головой.Вращение Земли вокруг Солнца и положение Солнца над головой также являются основой солнечных часов, первых часов человека.

Ночная навигация:

Ясной ночью в Северном полушарии вы можете найти Полярную звезду (Полярную звезду), используя одно из самых узнаваемых небесных тел, Большую Медведицу (Большая Медведица). Две звезды на внешнем крае его «ковша» указывают на яркую звезду, вокруг которой вращаются все остальные звезды, поскольку она указывает на Северный полюс.

5. Математика помогает сэкономить деньги

Большинство экспертов сходятся во мнении, что без сильных математических навыков люди склонны вкладывать, откладывать или тратить деньги в зависимости от своих эмоций.

Вот кикер:

В дополнение к этой дилемме люди с плохими основами математики обычно совершают более серьезные финансовые ошибки, например, недооценивают скорость накопления процентов.

Студент, который досконально усваивает концепции экспоненциального роста и сложных процентов, будет более склонен лучше управлять долгом.

Финансовые знания со временем ослабевают, поэтому важно вовлекать молодых людей.

Постоянно показывая, как конкретные уроки математики применимы к реальной финансовой ситуации и составлению бюджета, дети могут научиться правильно тратить и экономить свои деньги без страха и разочарования.

Совет учителя: Практикуйтесь в инвестировании! Выделяйте учащимся определенную сумму условных денег индивидуально или группами. Научив их сберегать, инвестировать и получать проценты, предложите им принять финансовые решения, используя свои наличные деньги.Следите за фондовым рынком и еженедельно проверяйте их сбережения, чтобы они могли видеть, как их общая сумма растет или падает.

6. Математика позволяет управлять временем

Время — наш самый ценный актив.

Научите своих студентов ценить время, обучая не только тому, как определять время на аналоговых и цифровых часах, но и о мировых часах, часовых поясах, календарях и ценности того, как они тратят свое драгоценное время.

В нашем быстро меняющемся современном мире мы можем легко отвлечься и обнаружить, что время пролетело незаметно, но мы не достигли цели.

Совет учителя: Пусть ваши ученики поставят цели и определят, сколько времени они должны уделять ежедневно или еженедельно для достижения этих целей. Пусть ваши ученики планируют свое время, создают свои собственные списки дел и присваивают своим задачам номер, чтобы ранжировать их приоритеты. Вы не только учитесь математике, но и помогаете ребенку научиться организовывать свою жизнь и реализовывать свои мечты!

Итог:

Математика повсюду, она действует в реальной жизни повсюду вокруг нас.

Итак, в следующий раз, когда вы или один из ваших учеников скажете: «Я больше никогда не буду использовать эту математику!» запомните приведенные выше примеры, чтобы помочь им продолжить изучение математики!

Функция

| Определение, типы, примеры и факты

Функция , в математике выражение, правило или закон, определяющий связь между одной переменной (независимой переменной) и другой переменной (зависимой переменной). Функции повсеместно используются в математике и необходимы для формулирования физических соотношений в естественных науках.Современное определение функции было впервые дано в 1837 году немецким математиком Петером Дирихле:

Британская викторина

Определить: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Если переменная y так связана с переменной x , что всякий раз, когда числовое значение присваивается x , существует правило, согласно которому определяется уникальное значение y , тогда y считается функцией независимой переменной x .

Это соотношение обычно обозначается как y = f ( x ). Помимо f ( x ), для представления функций независимой переменной x часто используются другие сокращенные символы, такие как g ( x ) и P ( x ), особенно когда природа функции неизвестна или не указана.

Общие функции

Многие широко используемые математические формулы являются выражениями известных функций.Например, формула для площади круга A = π r ² дает зависимую переменную A (площадь) как функцию независимой переменной r (радиус). Функции, включающие более двух переменных, также распространены в математике, что можно увидеть в формуле для площади треугольника: A = b h /2, что определяет A как функцию от обоих b (основание) и h (высота).В этих примерах физические ограничения вынуждают независимые переменные быть положительными числами. Когда независимым переменным также разрешено принимать отрицательные значения — таким образом, любое действительное число — функции известны как функции с действительными значениями.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишись сейчас

Формула площади круга является примером полиномиальной функции. Общий вид таких функций: P ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n х ⁿ, где даны коэффициенты ( a ₀, a ₁, a ₂,…, a _n), x может быть любым действительным числом, и все степени x — это счетные числа (1, 2, 3,…).(Когда степень x может быть любым действительным числом, результат известен как алгебраическая функция.) Полиномиальные функции изучались с давних времен из-за их универсальности — практически любые отношения, включающие действительные числа, можно точно аппроксимировать с помощью полиномиальная функция. Полиномиальные функции характеризуются наивысшей степенью независимой переменной. Для степеней от одного до пяти обычно используются специальные названия: линейная, квадратичная, кубическая, квартичная и квинтическая.

Полиномиальным функциям можно дать геометрическое представление с помощью аналитической геометрии. Независимая переменная x нанесена на ось x (горизонтальная линия), а зависимая переменная y нанесена вдоль оси y (вертикальная линия). График функции состоит из точек с координатами ( x , y ), где y = f ( x ). Например, на рисунке показан график кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2.

График кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2. Точки на графике показывают изменения кривизны.
Британская энциклопедия, Inc.
Другой распространенный тип функций, который изучается с древних времен, — это тригонометрические функции, такие как sin x и cos x , где x — это мера угла ( см. Рисунок ). Из-за своей периодической природы тригонометрические функции часто используются для моделирования повторяющегося поведения или «циклов».«Негебраические функции, такие как экспоненциальные и тригонометрические функции, также известны как трансцендентные функции.
графики некоторых тригонометрических функций
Обратите внимание, что каждая из этих функций периодическая. Таким образом, функции синуса и косинуса повторяются каждые 2π, а функции тангенса и котангенса повторяются через каждые π.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Комплексные функции
Практическое применение функций, переменные которых являются комплексными числами, не так легко проиллюстрировать, но, тем не менее, они очень обширны.Они встречаются, например, в электротехнике и аэродинамике. Если комплексная переменная представлена в виде z = x + i y , где i — мнимая единица (квадратный корень из -1), а x и y — действительные переменных ( см. рисунок ), можно разделить сложную функцию на действительную и мнимую части: f ( z ) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ).
точка на комплексной плоскости
Точка на комплексной плоскости. В отличие от действительных чисел, которые могут быть расположены одним знаком (положительным или отрицательным) числом вдоль числовой прямой, для комплексных чисел требуется плоскость с двумя осями, одна ось для компонента действительного числа и одна ось для мнимого компонента. Хотя комплексная плоскость выглядит как обычная двумерная плоскость, где каждая точка определяется упорядоченной парой действительных чисел ( x , y ), точка x + i y является единственной номер.
Британская энциклопедия, Inc.
Меняя ролями независимых и зависимых переменных в заданной функции, можно получить обратную функцию. Обратные функции делают то, что подразумевает их название: они отменяют действие функции, чтобы вернуть переменную в исходное состояние. Таким образом, если для данной функции f ( x ) существует функция g ( y ) такая, что g ( f ( x )) = x и f ( g ( y )) = y , тогда g называется обратной функцией от f и обозначается как f ^-1, где по соглашению переменные меняются местами.Например, функция f ( x ) = 2 x имеет обратную функцию: f ⁻¹ ( x ) = x /2.
Прочие функциональные выражения
Функция может быть определена с помощью степенного ряда. Например, бесконечный ряд можно использовать для определения этих функций для всех комплексных значений x . При необходимости можно использовать другие типы серий, а также бесконечное количество продуктов. Важным случаем является ряд Фурье, выражающий функцию через синусы и косинусы:
Такие представления имеют большое значение в физике, особенно при изучении волнового движения и других колебательных явлений.
Иногда функции удобнее всего определять с помощью дифференциальных уравнений. Например, y = sin x является решением дифференциального уравнения d ² y / d x ² + y = 0 с y = 0, d y / d x = 1, когда x = 0; y = cos x является решением того же уравнения, имеющего y = 1, d y / d x = 0, когда x = 0.
Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и обновлена Адамом Августином, управляющим редактором, справочное содержание.
Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
Математических моделей
Математика может использоваться для «моделирования» или представления того, как устроен реальный мир.
Пример: сколько места внутри этой картонной коробки?
Нам известны три измерения:
л (длина),
w (ширина) и
h (высота),
, а формула объема кубоида:
Объем = д × ш × в
Итак, у нас есть (очень простая) математическая модель пространства в этом ящике.
Точно?
Модель не такая как настоящая.
В нашем примере мы не думали о толщине картона и многих других вещах из «реального мира».
Но, надеюсь, достаточно хорош, чтобы быть полезным .
Если мы взимаем плату за объем отправляемой коробки, мы можем сделать несколько измерений и узнать, сколько нужно заплатить.
Это также может быть полезно при принятии решения, какую коробку купить, когда нам нужно упаковать вещи.
Так что модель пригодилась!
Но, возможно, нам нужно больше точности, возможно, нам придется отправлять сотни коробок каждый день, а толщина картона имеет значение. Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы улучшить модель :
Толщина картона «t», все размеры указаны вне коробки … сколько места внутри?
Необходимо уменьшить внутренние размеры на толщину каждой стороны:
Внутренняя длина l-2t
Внутренняя ширина w-2t ,
Внутренняя высота h-2t
и теперь формула:
Внутренний объем = (l-2t) × (w-2t) × (h-2t)
Теперь у нас есть модель лучше .Все еще не идеально (мы учли потраченное впустую пространство, потому что не могли аккуратно упаковать вещи и т. Д.), Но лучше.
Итак, модель не реальна, но должна быть достаточно хорошей, чтобы быть полезной.
Играя с моделью
Теперь у нас есть модель, мы можем использовать ее по-разному:
Пример. Ваша компания использует коробки размером 200x300x400 мм, а картон имеет толщину 5 мм.
Кто-то предлагает использовать картон толщиной 4 мм … насколько это лучше?
Сравним два тома:
Текущий объем = (200-2 × 5) × (300-2 × 5) × (400-2 × 5) = 21,489,000 мм ³
Новый объем = (200-2 × 4) × (300-2 × 4) × (400-2 × 4) = 21,977,088 мм ³
Это изменение:
(21,977,088-21,489,000) / 21,489,000 ≈ 2% больше объема
Так что модель полезная .Это дает нам понять, что внутри коробки будет на 2% больше места (при тех же внешних размерах).
Но есть еще вещи «реального мира», о которых стоит подумать, например, «будет ли он достаточно сильным?»
Ясное мышление
Чтобы создать математическую модель, нам также нужно ясно думать о фактах!
Пример: на нашей улице собак вдвое больше, чем кошек. Как это записать в виде уравнения?
Пусть D = количество собак
Пусть C = количество кошек
Сейчас… вот что: 2D = C
или должно быть: D = 2C
Подумайте внимательно!
Правильный ответ: D = 2C
( 2D = C — распространенная ошибка, так как в вопросе написано «дважды … собаки … кошки»)
Вот еще один:
Пример: вы являетесь руководителем 8-часовой смены. Недавно они сократили время перерыва на 10 минут, но общий объем производства не улучшился.
На первый взгляд моделировать нечего, потому что в производстве не было изменений.
Но подождите … они работают на 10 минут больше, но производят столько же, так что продукции в час должно быть упало!
Допустим, они работали 7 часов (420 минут):
Изменение производства в час = 410/420 = 0,976 …
Это сокращение на более чем на 2%
Но что еще хуже: на первые несколько часов смены более короткое время перерыва не влияет, поэтому позже в смену оно может быть сокращено на 4 или 5%.
Вы можете порекомендовать:
с учетом производительности за каждый час смены
пробует разное время перерывов, чтобы увидеть, как они влияют на производство
Пример побольше: самый экономичный размер
Хорошо, давайте попробуем построить и использовать математическую модель для решения реального вопроса.
Ваша компания будет делать коробки своими руками!
Было решено, что ящик должен содержать 0.02m ³ (0,02 кубических метра, что соответствует 20 литрам) гаек и болтов.
Коробка должна иметь квадратное основание и двойную толщину сверху и снизу.
Картон
стоит 0,30 долларов за квадратный метр.
Выбирайте наиболее экономичный размер.
Шаг первый: Нарисуйте эскиз!
Это помогает обрисовать то, что мы пытаемся решить!
Основание квадратное, поэтому мы будем использовать «w» для обеих длин
Коробка имеет 4 стороны, а также двойные верх и низ.
Форму коробки можно вырезать вот так (но, вероятно, сложнее):
Шаг второй: составляйте формулы.
Без учета толщины для этой модели:
Объем = ш × ш × в = ш ² в
И нам говорят, что объем должен быть 0,02 м. ³:
w ² h = 0,02
Площади:
Площадь 4-х сторон = 4 × w × h = 4wh
Площадь двойных вершин и оснований = 4 × w × w = 4w ²
Всего картона необходимо:
Площадь картона = 4wh + 4w ²
Шаг третий: составьте единую формулу стоимости
Нам нужна единая формула стоимости:
Стоимость = 0 $.30 × Участок картона
= 0,30 доллара США × (4wh + 4w ²)
И это стоимость, когда мы знаем ширину и высоту .
Может быть сложно работать с … функцией с двумя переменными.
Но мы можем сделать это проще! Поскольку ширина и высота уже связаны объемом:
Объем = w ² h = 0,02
… который может быть преобразован в …
h = 0,02 / w ²
… и это можно положить в формулу стоимости …
Стоимость = 0,30 доллара США × (4w × 0,02 / w ² + 4w ²)
А сейчас стоимость напрямую связана с шириной только .
С небольшим упрощением получаем:
Стоимость = 0,30 доллара США × (0,08 / w + 4w ²)
Шаг четвертый: Постройте график и найдите минимальную стоимость
Что строить? Что ж, формула имеет смысл только для ширины больше нуля, и я также обнаружил, что для ширины больше 0.5 стоимость становится все больше и больше.
Вот график этой формулы стоимости для шириной от 0,0 м до 0,55 м :

График y = 0,3 (0,08 / x + 4x ²)
x — ширина, а y — стоимость
На глаз я вижу, что стоимость достигает минимума около (0,22, 0,17) . Другими словами:
при ширине около 0,22 м (значение x),
минимальная стоимость около 0 $.17 в коробке (значение y).
Фактически, если посмотреть на график, ширина может быть где-то между 0,20 и 0,24, не сильно влияя на минимальную стоимость.
Шаг пятый: рекомендации
Используя эту математическую модель, теперь вы можете порекомендовать:
Ширина = 0,22 м
Высота = 0,02 / ширина ² = 0,02 / 0,22 ² = 0,413 м
Стоимость = 0,30 USD × (0,08 / w + 4w ²) = 0 USD.30 × (0,08 / 0,22 + 4 × 0,22 ²) = 0,167 доллара
Или около 16,7 цента за коробку
Но любая ширина от 0,20 м до 0,24 м подойдет.
Вы также можете предложить улучшения для этой модели:
Включите стоимость клея / скоб и сборки
Учитывать потери при вырезании коробки из картона.
Подходит ли эта коробка для упаковки, обращения и хранения?
Любые другие идеи, которые могут у вас возникнуть!
Предсказание будущего
Математические модели также могут использоваться для прогнозирования будущего поведения.
Пример. Компания по производству мороженого отслеживает, сколько мороженого продается в разные дни.
Сравнивая это с погодой на каждый день, они могут построить математическую модель продаж по сравнению с погодой .
Затем они могут предсказать будущие продажи на основе прогноза погоды и решить, сколько мороженого им нужно приготовить … заранее!
Компьютерное моделирование
Математические модели могут быть очень сложными, поэтому математические правила часто записываются в компьютерные программы, чтобы создать компьютерную модель.
Поиграйте с простой компьютерной моделью отражения внутри эллипса
или с анимацией двойного маятника.
Более сложные примеры включают:
Прогноз погоды
Экономические модели (прогнозирование процентных ставок, безработицы и т. Д.)
Модели поведения больших конструкций при нагрузке (мосты, небоскребы и т. Д.)
Многие другие …
Если вы станете экспертом в каком-либо из этих направлений, у вас будет работа на всю жизнь!
Research Sampler 5: Примеры изучения математики
Энни и Джон Селден
Успешные специалисты по математике создают свои собственные примеры
Когда спрашивают о примерах, это может сбивать с толку
Создание контрпримеров, которые являются пояснительными
«Если я не знаю, что там говорится, как мне найти пример?»
Coda
Изучение примеров и не примеров может помочь учащимся понять определения.Хотя квадрат можно определить как четырехугольник с четырьмя равными сторонами и одним прямым углом, просмотр конкретных примеров квадратов различных размеров, а также рассмотрение прямоугольных непримеров могут помочь детям прояснить понятие квадрата. Когда мы преподаем линейную алгебру и вводим понятие подпространства, мы часто приводим примеры, а не примеры для студентов. Мы можем указать, что многочлены степени меньше или равной двум образуют подпространство пространства всех многочленов, тогда как многочлены степени два — нет.Всегда ли желательно предоставление таких примеров? Может быть, лучше попросить студентов бакалавриата привести свои собственные примеры, а не примеры? Смогут ли они? Смогут ли учащиеся привести контрпримеры при ложном предположении? Несколько исследований пролили свет на эти вопросы.
Успешные специалисты по математике создают собственные примеры
На таких курсах, как абстрактная алгебра и реальный анализ, студенты часто сталкиваются с множеством формальных определений, многие из которых являются для них новыми.После представления нескольких примеров и непримеров, а также нескольких доказательств теорем, мы надеемся, что они будут использовать эти определения для решения проблем, проверки гипотез и построения собственных доказательств. Это лучший способ продолжить? Как такие студенты справляются с новыми определениями?
Чтобы ответить на этот вопрос, Рэндалл П. Дальберг и Дэвид Л. Хаусман из Allegheny College провели углубленное исследование одиннадцати студентов бакалавриата — десяти старших и одного младшего. Все, кроме одного, кто занимался информатикой, были математиками.Студенты успешно прошли вводный курс реального анализа и алгебры, а также курсы линейной алгебры и основ и семинар по теории множеств и основам анализа. В индивидуально проводимых аудиозаписи интервью авторы представили студентам письменное определение «прекрасной функции», которое они придумали, чтобы увидеть, как студенты будут относиться к формально определенной концепции. Функция называлась штраф , если у нее был корень (ноль) для каждого целого числа.Во время интервью студентов сначала просили изучить это определение в течение пяти-десяти минут, говоря или записывая как можно больше того, о чем они думают, после чего их просили привести примеры и не примеры «прекрасных функций». Впоследствии им были предоставлены функции, такие как
и попросил определить, были ли это примеры, и если да, то почему. Затем их попросили определить истинность четырех гипотез, таких как «Отсутствие многочлена — прекрасная функция». Наконец, их спросили об их восприятии интервью.
Студенты использовали четыре основные стратегии обучения, когда им представили это новое определение: создание примеров, переформулирование, декомпозиция и синтез, а также запоминание. Сгенерированные примеры включали функцию постоянного нуля и синусоидальный график с целыми интервалами x . Переработки включены
Декомпозиция и синтез включали подчеркивание частей определения и вопросы о значении слова «корень». Два студента просто читают определение — они не могут привести примеры без помощи интервьюера и чаще всего неверно интерпретируют определение.Они обнаружили, что интервью сильно отличалось от их обычных уроков математики, где были приведены примеры и объяснения.
Из этих четырех стратегий генерация примеров (вместе с рефлексией) вызвала наиболее сильные «обучающие события», то есть случаи, когда, по мнению авторов, студенты добились реального прогресса в понимании недавно представленной концепции. Студенты, которые изначально использовали генерацию примеров в качестве своей стратегии обучения, придумали множество прерывистых, периодических непрерывных и непериодических непрерывных примеров и смогли использовать их в своих объяснениях.Те, кто использовал запоминание или декомпозицию и синтез в качестве своих стратегий обучения, часто неверно истолковывали определение, например, интерпретируя фразу «корень в каждом целом числе» как означающую, что точная функция должна исчезать для каждого целого числа в своей области, но это не обязательно должно включать все целые числа. Студенты, которые использовали переформулировку в качестве своей стратегии обучения, разработали алгоритмы, чтобы решить, подходят ли данные им функции, но с трудом могли привести контрпримеры к ложным предположениям. [Ср. «Содействие учебным мероприятиям посредством создания примеров», Educ.Исследования по математике. 33, 283-299, 1997.]
Наконец, Дальберг и Хаусман отмечают относительную неэффективность своих попыток вмешательства. Одна студентка согласилась после периода вопросов и ответов с интервьюером, что нулевая функция действительно прекрасная функция, но сразу переключила свое внимание на другие идеи, вернувшись к ней только намного позже, когда через самопознание она действительно осознала нулевой уровень. функция была прекрасной функцией. Дальберг и Хаусман предполагают, что было бы полезно познакомить учащихся с новыми концепциями, попросив их создать свои собственные примеры или попросив их решить, являются ли предоставленные учителем кандидаты примерами или не примерами, прежде чем предоставлять ученикам примеры и объяснения.Однако некоторые из их учеников не хотели участвовать ни в генерации, ни в использовании примеров — нередкое явление в таких обстоятельствах.
Если вас просят привести примеры, это может сбить с толку
Придумывание примеров требует иных когнитивных навыков, нежели выполнение алгоритмов — нужно смотреть на математические объекты с точки зрения их свойств. Если вас попросят привести пример, будь то «прекрасная функция» или что-то еще, это может сбить с толку. У студентов нет заранее усвоенных алгоритмов, показывающих «правильный путь».»Это то, что обнаружили Орит Хаззан и Рина Зазкис из Техниона — Израильского технологического института, когда они попросили три группы учителей начальных классов предоставить примеры: (2) функция, значение которой при x = 3 равно -2, и (3) пространство выборки и событие с вероятностью 2/7 в этом пространстве. Кроме того, они попросили учащихся объяснить, как они сгенерировали свои примеры и предоставить пять дополнительных примеров.
Студенты использовали различные подходы для создания примеров, начиная с проб и ошибок, например.g., некоторые просто выбирали число наугад и проверяли, делится ли оно на 9. Другие выбирали число N , и после деления на 17 и получения остатка 2 использовали N -2 для следующего испытания. . Студенты часто сталкивались с трудностями при построении примеров и принятии необходимых решений, например, они спрашивали интервьюеров, должны ли элементы пространства выборки быть числами, буквами или другими объектами. Некоторые студенты разработали свои собственные алгоритмы для генерации функций, например.g., один сфокусировался на y = ax + b , подключил (3, -2), чтобы получить -2 = a * 3 + b , выбрал a = 2 и решил для b = -8, наконец объявляя ее функцией y = 2 x — 8.
Интересно, что очень немногие студенты привели «тривиальные примеры», такие как 170 000 для 6-значного числа, кратного 17, или y = -2 в качестве своей функции. Хаззан и Зазкис предполагают, что эти примеры нельзя рассматривать как прототипы — ожидается, что функция будет включать x , а шестизначное число рассматривается как имеющее более широкий набор цифр.Также существовала сильная тенденция (напрямую) проверять правильность примеров, например, некоторые студенты, которые создали число, делимое на 17, выбрав множитель и выполнив умножение, подтвердили правильность своего примера путем деления. Довольно много студентов столкнулись с трудностями при работе со «степенями свободы», например, чтобы найти число, делящееся на 9, один студент, который знал, что сумма цифр должна делиться на 9, сначала выбрал 18, заметил, что 8 и 2 составляют 10, затем разбили 8 на сумму 4, 3 и 1 и объявили, что 82431 должно делиться на 9.Когда ее спросили о другой стратегии, она предложила нечто очень похожее — начальную сумму 27 вместо 18.
Построение примеров оказалось для этих студентов более трудным делом, чем проверка делимости числа, вычисление значения функции или определение вероятности события. Они часто не знали, как поступить, и их особенно беспокоило то, что им приходилось делать выбор в математике. Авторы предлагают, чтобы учителя всех уровней ставили больше задач «на примере».[Ср. «Конструирование знаний путем построения примеров математических понятий», Труды 21-й конференции Международной группы психологии математического образования , том. 4, 299-306, 1997]
Кроме того, когда учащимся разрешается обсуждать математические идеи и выдвигать предположения в классе, учителя должны уметь оценивать примеры, созданные учащимися, а также уметь предлагать контрпримеры для рассмотрения учащимися. Студенты довольно часто не видят ни одного контрпримера как опровергающего предположение.Это может произойти, когда контрпример воспринимается как «единственный» существующий, а не рассматривается как общий, например, иногда квадратный корень из 2 считается единственным иррациональным или | x | воспринимается как единственная непрерывная, недифференцируемая функция.
Создание пояснительных контрпримеров
Возможно, неудивительно, что опытные учителя средней математики лучше умеют генерировать пояснительные контрпримеры, чем учителя, работающие на начальном этапе обучения.Ирит Пелед из Хайфского университета и Орит Заславский из Техниона попросили некоторых из них привести хотя бы один контрпример для каждого из двух следующих незнакомых, ложных геометрических утверждений, предположительно данных студентом средней школы. (1) Два прямоугольника с равными диагоналями равны. (2) Два параллелограмма с одной конгруэнтной стороной и одной конгруэнтной диагональю равны. Их также попросили объяснить, как они пришли к своим контрпримерам. Ни один из них не генерировал более одного контрпримера для каждой задачи.
В исследовании приняли участие две группы — 38 учителей, большинство из которых имели опыт преподавания более пяти лет и степень бакалавра наук. по математике и 45 студентов-преподавателей третьего курса, окончивших несколько углубленных курсов математики на бакалавриате. Для первой гипотезы (задача 1) 97% действующих учителей дали адекватные контрпримеры, то есть те, которые опровергли это утверждение, но только 53% студентов-преподавателей сделали это. Для второй гипотезы (Задание 2) 76% учителей и 42% студентов-учителей дали адекватные контрпримеры.
Контрпримеры были проанализированы на предмет их объяснительной способности как частные, полуобщие и общие. Конкретный контрпример противоречит формуле изобретения, но не дает указаний на то, как можно построить аналогичные или родственные контрпримеры. Например, для задания 1 один испытуемый аккуратно нарисовал два прямоугольника разных размеров, но с совпадающими диагоналями. Контрпример назывался полуобщий , если он давал некоторое представление о том, как можно генерировать похожие или связанные контрпримеры, но не рассказывал «всю историю» или не охватывал «все пространство» контрпримеров.Например, в Задании 1 один испытуемый нарисовал два прямоугольника с совпадающими диагоналями, но угол между двумя диагоналями второго прямоугольника был указан вдвое больше, чем у первого прямоугольника. (Здесь следует отметить, что, хотя некоторые гипотезы могут не подойти для создания многочисленных контрпримеров, т. Е. Могут быть правильными, за исключением небольшого числа особых «патологических» случаев, эти две гипотезы были выбраны как далекие от « почти правильно. «) Общий контрпример дает представление о том, почему гипотеза ложна, и предлагает способ сгенерировать все пространство контрпримеров.В ответ на Задачу 1 один испытуемый указал, что угол между диагоналями может быть произвольным, а не просто вдвое больше, чем у первого прямоугольника.
Как учителя, так и ученики-преподаватели создали контрпримеры всех вышеперечисленных типов, но первые дали более полуобщие и общие контрпримеры (92% против 38% в Задаче 1 и 61% против 33% в Задаче 2). Оба эти типа были обозначены авторами как объяснительные . Сложность предложения только конкретного контрпримера заключается в том, что он может ввести учеников в заблуждение, тогда как педагогическая ценность пояснительных контрпримеров заключается в их способности понять, почему гипотеза не работает.Авторы предполагают, что как будущие, так и работающие учителя математики могут извлечь пользу из анализа и обсуждения педагогических аспектов контрпримеров. [Ср. «Контрпримеры, которые (только) доказывают, и контрпримеры, которые (также) объясняют», Сосредоточение внимания на учебных задачах по математике 19 (3), 49-61, 1997.]
«Если я не знаю, что там написано, как мне найти пример?»
Эта гипотетическая цитата иллюстрирует затруднительное положение курицы и яйца, с которым обычно сталкиваются некоторые студенты, сталкиваясь с формальным определением, будь то «прекрасная функция» или факторгруппа.Определение утверждает существование чего-либо, обладающего определенными свойствами. Однако ученик часто никогда не видел и не задумывался о таком. Чтобы привести пример или не пример, ему / ей потребуется хотя бы некоторое понимание концепции. Но как он может получить такое понимание? Хорошим и, возможно, лучшим способом является рассмотрение примеров. Таким образом, ученик сталкивается с эпистемологической дилеммой: математические определения сами по себе несут мало (психологических) значений.Значения происходят от свойств. Свойства, в свою очередь, зависят от определений. [Это перефразирование пленарного выступления Ричарда Носса на конференции по исследованиям в области университетского математического образования в сентябре 1996 г., как сообщается в Focus 17 (1), 1 и 3, февраль 1997 г.] Для математиков это не кажется дилеммой. . Мы подозреваем, что они рассматривают определения иначе, чем студенты — это позволяет им искать примеры, чтобы понять формальные определения.
Такая цикличность играет роль не только в том, что учащиеся не могут построить примеры, но и в их ограниченном знании концепций, включенных в формальное определение.Когда Заславский и Пелед попросили 67 предварительных и 36 действующих учителей средних школ привести примеры бинарных операций, которые были коммутативными и неассоциативными, у их испытуемых возникли большие трудности. Только 33% опытных преподавателей и 4% студентов третьего курса представили полные, правильные и обоснованные примеры. Только 56% опытных учителей и 31% студентов-учителей смогли предоставить любых примеров (правильных или неправильных). Изучив, почему это могло быть так, авторы обнаружили, что математические знания, лежащие в основе их испытуемых, были недостаточными.Например, один субъект определил a * b = | a + b | и утверждал, что это неассоциативный, потому что | a + b | + | c | не равно | a | + | b + c |. Другой предложил операцию вычитания, утверждая, что она коммутативна, потому что -2-3 = -3-2, а не 3 — (-2). Еще один предложил унарную операцию
и попытался проверить коммутативность с помощью
Авторы предполагают, что их предметы имели тенденцию смешивать коммутативность и ассоциативность из-за того, как в школах трактуется «вопрос порядка».Например, когда ребенка просят вычислить 6 + 7 + 4, ему обычно предлагают сделать это более эффективно, как (6 + 4) + 7, и говорят, что «порядок не имеет значения». [Ср. «Факторы, препятствующие созданию примеров учителями математики и учениками: случай двоичных операций», JRME 27 (1), 67-78, 1996.]
Дальберг и Хаусман также отметили, что у их студентов были проблемы с основными понятиями, например, функция и корень, что затрудняло создание примеров и не примеров «прекрасных функций».«Один студент отождествлял« корень »с« непрерывностью », трое других изначально думали, что график нулевой функции является точкой, а один не верил, что нулевая функция является периодической. Кроме того, большинство студентов первоначально думали в терминах функций, которые были непостоянными полиномами или непрерывными.
Coda
Поскольку успех в математике, особенно на продвинутом уровне бакалавриата и магистратуры, кажется, связан со способностью генерировать примеры и контрпримеры, как лучше всего развить эту способность? Одно из предложений, приведенное выше, — попросить студентов всех уровней «привести мне пример.. . «. Принимая во внимание присущие эпистемологические трудности поиска примеров для себя, делаем ли мы благие намерения, чтобы помочь учащимся понять вновь определенные концепции, в конечном итоге ограничивая их, предоставляя им собственные предварительно усвоенные примеры? Не отказываем ли мы непреднамеренно учащимся в возможность научиться создавать примеры для себя? Трудности с поразительно простой идеей «прекрасного функционирования» предполагают, что некоторые учащиеся могут чрезмерно зависеть от явных инструкций.
No related posts.

03.12.202005.03.2021

Примеры на сумму. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.

Десятичная система счисления. Римская нумерация. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Деление с остатком. Понятие обыкновенной дроби. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Примеры по математике для любого класса. Решение примеров онлайн. | Клуб любителей математики

С чего начинается математика?

С чего начать тренировку в решении примеров по математике ?

Онлайн тренажер устного счета

Зачем нужен навык решения примеров по математике?

Как развить навык решения примеров по математике?

Как заставить себя решать примеры по математике?

Простые примеры по математике

Генератор примеров по математике

примеры решения задач для родителей

Как правильно научить ребёнка решать задачи

1. Внимательно читаем условия

2. Делаем описание задачи

3. Выбор способа решения

4. Формулировка ответа

5. Закрепление результата

Что поможет ребёнку решать задачи

Wolfram | Alpha Примеры: математика

6 используемых примеров математики | Математические науки: отчет

22 примера математики в повседневной жизни — StudiousGuy

Математика в реальном мире: 6 повседневных примеров

1. Математика помогает строить вещи

2. Математика в продуктовом магазине

3. Математика делает выпечку весело

4. Математика берет на себя риск

5. Математика помогает сэкономить деньги

6. Математика позволяет управлять временем

| Определение, типы, примеры и факты

Общие функции

Комплексные функции

Прочие функциональные выражения

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Математических моделей

Пример: сколько места внутри этой картонной коробки?

Точно?

Толщина картона «t», все размеры указаны вне коробки … сколько места внутри?

Играя с моделью

Пример. Ваша компания использует коробки размером 200x300x400 мм, а картон имеет толщину 5 мм.

Кто-то предлагает использовать картон толщиной 4 мм … насколько это лучше?

Ясное мышление

Пример: на нашей улице собак вдвое больше, чем кошек. Как это записать в виде уравнения?

Пример: вы являетесь руководителем 8-часовой смены. Недавно они сократили время перерыва на 10 минут, но общий объем производства не улучшился.

Пример побольше: самый экономичный размер

Шаг первый: Нарисуйте эскиз!

Шаг второй: составляйте формулы.

Шаг третий: составьте единую формулу стоимости

Шаг четвертый: Постройте график и найдите минимальную стоимость

Шаг пятый: рекомендации

Предсказание будущего

Пример. Компания по производству мороженого отслеживает, сколько мороженого продается в разные дни.

Компьютерное моделирование

Research Sampler 5: Примеры изучения математики

Энни и Джон Селден

Успешные специалисты по математике создают собственные примеры

Если вас просят привести примеры, это может сбить с толку

Создание пояснительных контрпримеров

«Если я не знаю, что там написано, как мне найти пример?»

Coda

Добавить комментарий Отменить ответ