Разное

Магический квадрат 4 класс решение – Как решить магический квадрат: учимся решать одну из древнейших задач — Преподавание в начальных классах — Преподавание — Образование, воспитание и обучение

Магический квадрат

Цели работы:

Распознать сущность магических квадратов, их влияние на развитие познавательных интересов человека.

Задачи:

  1. Раскрыть исторические сведения о магических квадратах.
  2. Показать их связь с жизнью.
  3. Выяснить алгоритм построения магического квадрата.
  4. Познакомиться с другими магическими квадратами.

Древние люди куда больше зависели от природы, чем мы. Не имея метеорологических станций и спутников, центров для обработки наблюдений и прогнозирования, они предсказывали погоду по поведению птиц и животных, форме облаков, цвету восхода и заката Солнца. Найденные приметы передавались из поколения в поколение. Ими не пренебрегает и современная служба погоды.

Подобные приметы существовали не только для определения погоды, люди пытались найти связи для всех важных для них явлений с другими явлениями. Так родилась астрология, связывающая судьбы людей и народов с расположением небесных светил. А с появлением чисел им стали придавать и мистический смысл. До сих пор многие считают число 13 несчастливым, а уж если тринадцатое число месяца — пятница, то тут жди беды.

От беды нужно иметь защиту. Так появились разнообразные амулеты, предохраняющие человека от несчастий: драгоценные камни, когти и зубы животных, листья и травы. А в Китае и Индии с давних пор одним из видов амулета была бумажка с девятью цифрами, записанными в некотором порядке (рис.1). Цифры там были, конечно, не те, которыми мы пользуемся сейчас.

Рис. 1

Главное свойство такого расположения цифр в том, что их сумма в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из двух диагоналей одна и та же.

По древней китайской легенде, император Ню, живший 4000 лет назад, однажды нашел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок, состоящий из черных и белых кружков, соединенных черточками (рис.2). Этот рисунок назвали “ло-шу”.

Рис. 2

Подсчитав количество кружков в каждой из фигур, мы получим наш прежний магический квадрат. А существуют ли другие магические квадраты? Давайте подумаем.

Сначала выясним, чему может равняться сумма чисел в строке. Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45, то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15.

Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр. При этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное — четыре раза, поэтому 4*15=(45 —

х)+4х. Отсюда находим, что х = 5.

Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон — нечетные.

Теперь уже нетрудно убедиться, что все магические квадраты получаются из квадрата   “ло-шу” с помощью поворотов вокруг центра и симметрии относительно средних линий и диагоналей. Всего же их 8.

 

 По образу квадрата “ло-шу” в дальнейшем стали придумывать магические квадраты большего размера. На картине знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера “Меланхолия” мы видим магический квадрат размерами 4X4 (рис.3). Любопытно, что два числа в середине его нижней строки указывают год создания картины (1514 г.).

Рис. 3

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

Магическим квадратом стали называть квадрат nхn, в клетках которого записаны числа от 1 до п2 так, что в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух его диагоналей сумма чисел одна и та же. Найти эту сумму не составляет труда, так как 1+2+…+n2=n2(n2+1)/2. Поэтому сумма в каждой строке (столбце, диагонали) равна n(n2+1)/2.

Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый Бенджамин Франклин в молодости забавлялся составлением причудливых магических квадратов, скрашивая скучные часы на службе в Законодательном Собрании штата Пенсильвания. Его квадрат 8X8, изображенный на рисунке 4, обладает многими дополнительными свойствами.

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

63

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

Рис. 4

Сумма чисел в каждой строке здесь равна 8(64+1)/2=260. При этом сумма чисел в каждой половине строки и в каждой половине столбца равна 130. Четыре числа в углах вместе с четырьмя числами в центре вновь дают 260. И еще много подобных соотношений можно отыскать в этом квадрате.

Известны и небольшие квадраты с дополнительными свойствами. Так, квадрат 4X4, изображенный на рисунке 5, имеет сумму 34 не только по строкам, столбцам и диагоналям, но и по “разломанным диагоналям” (рис.6), а также в каждом квадрате 2X2. Если такими квадратами замостить плоскость, то каждый квадрат 4X4 в этой плоскости будет магическим.

1

12

6

15

8

13

3

10

11

2

16

5

14

7

9

4

Рис. 5

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге “Arithmetica integra”, вышедшей в 1544 году, приводит магический квадрат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров.

Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.

 Рис.6

При всем том, многое о магических квадратах неизвестно. Неизвестно, как зависит количество магических квадратов nхn от значения размера n. Известно лишь, что квадратов 4X4 существует 880, а квадратов 5X5 — около четверти миллиона. Прямой перебор всех возможностей даже для квадратов 5 X 5 на современных ЭВМ займет около 1000 лет!

Современных математиков магические квадраты интересуют из-за их связи с так называемыми “конечными геометриями”, в которых используется конечное число точек, а поэтому “прямые” и “плоскости” в таких геометриях также состоят из конечного числа точек.

Использованная литература:

  • Физико-математический журнал для школьников и студентов “Квант” №4 1995 г.
  • М.М. Постников “Магические квадраты”.

Презентация

urok.1sept.ru

Как решать магические квадраты?

Как решать магические квадраты?

Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?

Способы решения магических квадратов

Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?

Способ 1

Наипростейший вариант магического квадрата — когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.

Способ 2

Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек.

Итак, для четных квадратов подходит формула:

  • n + ( (n+1) * n * (n-1) / 2) , где n — количество ячеек в одной строке.

Для нечетных квадратов подходит формула:

  • n * ( n2 +1) / 2 , где n — также количество ячеек в одной строке.

Пример решения

Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:

  • 3 * ( 32 +1 ) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.

Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового квадрата. Переносим ее в наш квадрат и ставим в правом нижнем углу. Число 3 также ставим справа по диагонали вверх — и там опять нет ячейки, при помощи воображаемого квадрата узнаем, что его место в середине левого столбца. Число 4 ставим по такому же принципу, но эта ячейка занята единицей — в этом случае ставим ее прямо под цифрой 3. Число 5 по диагонали вверх и вправо от 4 оказывается в самом центре, а число 6 в верхнем правом углу. Число 7 при помощи воображения должно было оказаться в левом нижнем углу. Но там уже стоит 4, поэтому ставим ее прямо под числом 6. Число 8 оказывается при помощи воображаемого квадрата в левом верхнем углу, а число 9 в оставшейся ячейке в середине правого столбца. Общий алгоритм таков: ставим следующее число справа вверху по диагонали, если нет места — применяем воображаемый квадрат, а если ячейка занята, то ставим число прямо под предыдущим.

Читайте также Как работает магический квадрат.

elhow.ru

Как решить магический квадрат для 4 класса

Как решить магический квадрат для 4 класса

Как решать магические квадраты?
 17 ноября 2014
 23842

Смотрите видео
 
Как решать магические квадраты?
 
 
Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?
Способы решения магических квадратов
Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?
Способ 1
Наипростейший вариант магического квадрата — когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.
Способ 2
Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек.
Итак, для четных квадратов подходит формула:
n + ( (n+1) * n * (n-1) / 2), где n — количество ячеек в одной строке.
Для нечетных квадратов подходит формула:
n * ( n2 +1) / 2, где n — также количество ячеек в одной строке.
Пример решения
Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:
3 * ( 32 +1 ) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15
Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.
Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового 

Похожие задачи:

Является ли рациональным или иррациональным числом сумма а + b, где а — 1,323223222… (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111… (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?
смотреть решение >>

erricon.ru

Материал по алгебре по теме: Магический квадрат

 

Магический квадрат. часть 1

Цели: познакомить учащихся со свойствами и историей магических квадратов; развивать умение заполнять магические квадраты, интерес к математике, коммуникативную и информационно-познавательную компетентности.

Подготовка к уроку: разделить класс на четыре команды; приготовить для каждой команды сигнальные карточки: красный, зеленый, синий, желтый; приготовить карточки для проведения раундов и таблицу для записи результатов.

Ход проведения занятия:
О магическом квадрате
Существует такое предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, однажды увидел на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире.
Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

Если сложить числа первой строки, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки.
При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям: 4 + 5 + 6 = 15, 8 + 5 + 2 = 15.
Символ, изображенный на рисунке, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством,  с тех пор называют магическими квадратами.
Магический квадрат – это квадрат , в котором расставлены числа таким образом, что сумма чисел по любой из горизонтали, вертикали или диагонали равна одному и тому же числу.
Магические квадраты почитались не только в Древнем Китае. Во времена средневековья в Европе свойства магических квадратов тоже считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед. Знаменитый магические квадрат изображен на гравюре великого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия».    

Раунд I 
На доске открывается магический квадрат и задание:
Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим:

Задание на скорость. На доске заполняет квадрат та команда, которая первая подняла сигнальную карточку.
За правильный ответ: 3 балла.

Магический квадрат. часть 2

Раунд II 
Каждой команде раздается шаблон магического квадрата и время на решение задания 3 минуты. По истечении времени на доске рассматриваются все четыре задания. Если какая-то из групп не справилась, то квадрат заполняется всеми учениками класса.

Карточка 1
Числа:
1,2,3,4,5,6,7,7,9

 

 

 

Ответ

6

1

8

Карточка 2
Числа:
3,4,5,6,7,8,9,10,11

 

 

 

Ответ

10

3

8

Карточка 3
Числа
4,5,6,7,8,9,10,11,12

 

 

 

Ответ

11

6

7

Карточка 4
Числа
3,5,7,9,11,13,15,17,19

 

 

 

Ответ

17

7

9

За правильно выполненное задание команда получает 5 баллов, за подсказку другой команде – 1 балл.
Как составить магический квадрат?
Как же составить магический квадрат, например, такой, как на рисунке, затрачивая минимальное время, если в квадрат не вписано ни одного числа?

Можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет – вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате.
Гораздо интереснее и быстрее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений.
Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.
Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9.

9 + 5 + 1

8 + 6 + 1

7 + 6 + 2

6 + 5 + 4

9 + 4 + 2

8 + 5 + 2

7 + 5 + 3

 

Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они  должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2 + 5 + 8 = 15), а 4 и 6 – на другой. Продолжая рассуждения, можно построить магический квадрат, изображенный на рисунке.

Магический квадрат. часть 3

Раунд III 
Применяя предложенный способ, заполните квадрат числами: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3.
Данное задание на скорость, поэтому ответ показывает команда, выполнившая задание быстрее всех после поднятия сигнальной карточки. За правильный ответ – 4 балла.
Ответ:

Как составить магический квадрат?
Но ведь магические квадраты могут быть очень большие. Вот хотя бы квадрат со сторонами . Для заполнения такого квадрата даже рассуждения могут занять очень много времени. Предлагаются способы для заполнения квадрата  и со сторонами .
1) В квадрат  вписать числа:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80
таким образом, чтобы он стал магическим.
Впишем все эти числа в квадрат от наименьшего к наибольшему числу (шаг 1).
Теперь по диагональ вычеркнем все числа (шаг 2).
Наибольшее из вычеркнутых чисел вписывается в левый верхний угол и оставшиеся числа от него расставляются в порядке убывания (шаг 3).

5

10

15

20

 

 

10

15

 

 

80

10

15

65

25

30

35

40

 

25

 

 

40

 

25

55

50

40

45

50

55

60

 

45

 

 

60

 

45

35

30

60

65

70

75

80

 

 

70

75

 

 

20

70

75

5

Проверим, является ли получившийся квадрат магическим.
80 + 10 + 15 + 65 = 170;
80 + 55 + 30 + 5 = 170;
15 + 50 + 30 + 75 = 170.
Остальные суммы также проверяются классом или предлагается разделить по группам.
2) Для квадрата  тоже есть особый способ.
В заданный квадрат надо вписать числа от 1 до 25. Это сделать нам поможет шахматный конь и его ход буквой Г.
Число «1» можно поставить в любую ячейку квадрата (шаг 1).
Производится вертикальный ход шахматного коня (одна клетка вправо и две клетки вверх) и ставится следующая цифра – «2» (шаг 2).
Далее выполняются вертикальные ходы шахматного коня и расставляются числа в порядке возрастания, пока не заполнится весь квадрат. При этом:

если ход коня выводит за верхний край – надо вернуться снизу;

если ход выводит за правый край – надо вернуться слева;

если клетка уже занята – возвращаемся к только что вписанному числу и записывается следующее прямо под ним.

Рассмотреть на доске следующую схему и продолжить ее до тех пор, пока у учащихся не останется вопросов или пока не заполнится квадрат полностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Ответ:

 

Магический квадрат. часть 4

Раунд IV 
Предложенным способом восстановите магический квадрат, расставив числа от 1 до 16.
Задание на скорость. Поднявшие сигнальную карточку ученики показывают решение на доске. За правильный ответ – 4 балла, за найденные ошибки – 2 балла.
Ответ:

Раунд V
С помощью шахматного коня надо заполнить квадрат числами от 1 до 25, в которых число «1» уже отмечено. Карточки для заполнения у всех команд разные, время заполнения – 3 минуты. За правильно заполненный квадрат – 5 баллов.
Варианты карточек: единицы расставлены по диагонали.
Ответы:

 

Надо сказать, что вариантов расстановки чисел в квадрате четвертого порядка – 880, а в квадрате  более 13 миллионов.
Раунд VI 
От сложного вернемся к простому.
Расставьте в клетках квадрата третьего порядка четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 таким образом, чтобы квадрат стал магическим.
Ответ:

Задание выполняют все на скорость, на доске происходит проверка. За выполнение задания – 4 балла, за объяснение заполнения – 3 балла.

Подведение итогов

nsportal.ru

Урок математики в 4-м классе «Формирование вычислительных навыков»

Формирование вычислительного навыка требует выполнения большого количества однообразных упражнений. В то же время ученики младших классов в силу недостаточно развитого произвольного внимания не могут долго выполнять вычислительную работу. И здесь мы встречаемся с противоречием: чтобы правильно считать, нужно много считать – много считать нельзя, в связи с возрастными особенностями учащихся.

Опыт использования магических квадратов на уроках и во внеклассной работе показывает, что в первую очередь решение магических квадратов вызывает интерес у учащихся, дети с удовольствием принимаются их выполнять, что делает процесс формирования вычислительных навыков внутренне мотивированными. Кроме того, использование магических квадратов способствует не только формированию вычислительных навыков, но и развитию мышления, умения планировать и контролировать свою деятельность. Использование магических квадратов способствует так же математическому развитию.

Задачи:

  1. Формировать вычислительные навыки.
  2. Развивать логическое мышление, умение планировать и контролировать свою деятельность.
  3. Создание благоприятного психологического климата для возможности раскрытия потенциала каждого ребенка; формировать качества взаимовыручки, ответственности, любознательности; развивать познавательную активность учащихся; воспитывать усидчивость, уверенность в своих возможностях.

Ход урока

1. Организационный момент.

– Ребята! Готовы вы к уроку? (Да!)

– На вас надеюсь я, друзья.

– Мы хороший, дружный класс.

– Все получится у нас!

Я очень хочу, что бы урок получился интересным, познавательным, что бы мы вместе повторили и закрепили то, что мы уже знаем и постарались открыть новые секреты чисел и вычислений.

2. Актуализация знаний.

Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовались для этого, но самым важным из них были первыми – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа в природе нет, и то, и другое – плод деятельности человеческого разума. Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся из Индии. Кто-то придумал знак нуля в Древнем Вавилоне. Кто-то из индейцев Майя – в Америке. Кто-то в Китае.

Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, многие не любят числа 13, число 666 называют звериным числом, приносящим несчастье.

В Древнем Китае четные числа называют женственными, а нечетные мужественные. Это какие?

Игра “Ай, да я!”. Дети цепочкой называют числа, хлопают в ладоши, если число четное, то вместо числа говорят: “Ай, да я!”.

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Эту задачу решали тысячи лет назад китайские математики.

В средние века магические квадраты были очень популярны, они приносили счастье.

3. Постановка проблемы.

А вы хотите научиться решать магические квадраты? Эта задача – одна из самых древних задач в математике.

Какой квадрат можно назвать магическим?

Магический квадрат – это квадрат разделенный на клетки (количество клеток по вертикали и горизонтали одинаково), где в каждую клетку вписан последовательный ряд чисел. Числа записаны так, что их сумма по любым направлениям (диагоналям, горизонталям, вертикалям) постоянна. Каждое число магического квадрата участвует в нескольких разных суммах, и все эти суммы равны между собой! Этот любопытный, с точки зрения математики, факт вызывает большой интерес. Магия чисел завораживает.

Рис. 1

4. Физминутка для глаз:

  • Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторять 4–5 раз.
  • Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза, посмотреть вдаль (считать до 5). Повторять 4–5 раз.
  • Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, замедленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторять 4–5 раз.
  • Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1–4, потом перенести взгляд на счет 1–6, повторять 4–5 раз.
  • В среднем темпе проделать 3–4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1–6. повторять 1–2 раза.
  • “Метелки”. Выполнить частое моргание без напряжения глаз до 10– 15 раз. Упражнение можно сопровождать проговариванием текста: Вы метелки, усталость сметите,
  • Глазки нам хорошо освежите.

Упражнение повторять 4–5 раз.

Хотите узнать историю создания магических квадратов и способы их решения?

Пусть квадрат разделен на девять клеток (малых квадратов). Требуется разложить в них числа от 1 до 9 так, что бы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой диагонали составляла 15.

Удобно запомнить следующее решение (рис. 2).

  1. 1. Сначала напишем во всех 9 клетках по 5.
    Понятно, что в этом случае сумма трех чисел в каждой строке составляет 15.
  2. Оставим в трех клетках по 5 (в средней клетке стоит 5).
  3. В двух рядом стоящих клетках добавим к пятеркам 1 и 2.

Дальше не трудно закончить составление таблицы. Проверь: получается ли по всем направлениям постоянная сумма 15?

Другой способ составления такого квадрата – использование симметрии (рис. 3).

  1. Начерти квадрат из 5 х 5 = 25 клеток.
  2. Внутри этого квадрата лесенкой напиши подряд числа от 1 до 9 (рис. 3).

Рис. 2

  1. “Перебрось” цифры 1 и 9 через цифру 5 и напиши их рядом с цифрой 5. То же самое проделай с цифрами 3 и 7.

Остальные клетки заполнить не трудно.

5. Расслабляющая гимнастика (на фоне релаксирующей музыки):

Пусть дети присядут на край стула как им хочется, в свободной позе. Не громко не торопливо произнесите:

Все умеют танцевать, бегать, прыгать, рисовать,
Но не все пока умеют расслабляться. Отдыхать.
Есть у нас игра такая – очень легкая, простая:
Замедляются движенья. Исчезает напряжение,
И становится понятно: расслабление приятно.

6. “Открытие” детьми нового знания.

А вы сами хотите создать магические квадраты?

В учебниках математики часто встречаются магические квадраты из девяти клеток (3 столбца и 3 строки). Их легко составить по простому правилу: запиши такой ряд из 9 чисел, в котором каждое следующее число на одно и то же число больше предыдущего.

Например: 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.

Возьми вторую тройку из этих чисел и запиши их по диагонали квадрата. Рядом с самым большим числом из этой тройки запиши самое маленькое число из ряда. Продолжи составление этого квадрата.

Рис. 3

7. Первичное закрепление.

Проверь, что новые магические квадраты можно получить из данного, увеличивая или уменьшая каждое из записанных в нем чисел на одно и то же число (например, на 6) или в одно и то же число раз (например, в 2 раза).

Работа в парах.

Используя данный способ составьте свои магические квадраты и решите их.

Сумма чисел каждого ряда, столбца и каждой диагонали квадрата одинакова.

Рис. 4

Произведение каждого ряда, столбца и диагонали квадрата одинаково.

Рис. 5

Оцените свою работу в группе пословицей, поговоркой или изречением. Обведите пословицу или поговорку:

  • Терпение дает умение.
  • Это успех.
  • Не будь тороплив, а будь терпелив.
  • Нерадивый дважды дело делает.
  • Перо пишет, а ум водит.
  • Захотел – сделал.

8. Физкультминутка.

Летел по небу шарик,
По небу шар летел.
Но знаем, что до неба
Наш шар не долетел.

При очередном прочтении закрывается по одному слову, заменяя его жестом (2 раза).

9. Самостоятельная работа с самопроверкой в классе.

Групповая работа (5 групп).

Задание для первой группы (средний уровень):

Докажите, что данный квадрат не является магическим:

Рис. 6

Достаточно указать, что значение сумм чисел по диагоналям не равны: 12 + 15 + 18 ≠ 9 + 15 + 24.

Оцените свою работу в группе пословицей.

Задание для второй группы (высокий уровень):

В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям раны одному и тому же числу. Найдите это число. Укажите рациональный способ вычислений.

Рис. 7

(Достаточно указать, найти значение одной, причем любой, из указанных в определении сумм. Более того ученик осознает необходимость в проведении рационального вычисления, т.к. простота вычислений в каждом случае будет разная. Например, найти сумму чисел 8 + 18 + 16).

Оцените свою работу в группе пословицей.

Задание для третьей группы (высокий уровень):

Дан магический квадрат. Какое число должно стоять в пустой клеточке?

Рис. 8

(Можно рассуждать так: 1) найду постоянную сумму квадрата, для этого найду сумму левого столбика: 18 + 10 + 2 = 30; 2) найду сумму известных чисел в том столбике, где находится пустая клетка: 4 + 12 = 16; 3) найду число, которое должно стоять в пустой клетке: 30 – 16 = 14; 4) проверю, будет ли квадрат магическим, для этого найду сумму чисел в средней строке и сравню ее с постоянной с постоянной суммой квадрата: 14 + 6 + 10 = 30, 30 = 30, данный квадрат магический).

Оцените свою работу в группе пословицей.

Задание для четвертой группы (высокий уровень):

Дан магический квадрат. Докажите, что в клеточке со звездочкой (*) не может стоять число 32.

Рис. 9

(Первый способ: можно с помощью вычислений установить, что в данной клеточке должно стоять число 14, поэтому не может стоять 32. Второй способ: найдем постоянную сумму: 8 + 6 + 16 = 30. Так как сумма должна быть не меньше каждого слагаемого, то все числа в клетках должны быть не больше 30. Но 32 > 30, значит 32 не может стоять вместо *).

Оцените свою работу в группе пословицей

Задание для пятой группы (низкий уровень):

В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям, по любым диагоналям равны одному и тому же числу. Проверьте будет ли данный квадрат магическим:

Рис. 10

(Ученик должен сам составить в соответствии с условием все необходимые суммы, найти их значение и сделать вывод. Три суммы дают столбики, три суммы дают строчки, две суммы дают диагонали).

Оцените свою работу в группе пословицей.

10. Итог урока.

– Что ново

urok.1sept.ru

МетаШкола — Магический квадрат

Магический квадрат

Магические (волшебные) квадраты издавна использовались как защитные амулеты, для различной магии и для шифрования.

Магический квадрат — это квадрат, заполненный числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Проверьте:

Ниже идет слово, зашифрованное с помощью магического квадрата:

ОИВ ЕОС РКЩ

Как расшифровать?

Вписываем буквы в магический квадрат рядом с числами:

2, О 7, И 6, В
9, Е 5, О 1, С
4, Р 3, К 8, Щ

Теперь читаем буквы по порядку чисел, начиная с 1: СОКРОВИЩЕ.

Конкурсное задание, декабрь 2014

Отличник Вася решил нарисовать на своей футболке магический квадрат, с помощью которого он зашифровал фразу:

Я ОТЛИЧНИК

У него получилось (без пробела)

Ч Н О Я И К И Т Л

К сожалению, младшая сестра Васи закрасила все числа от 1 до 9 фломастерами.

     
     
?    

Какое число должно стоять в левом нижнем углу квадрата?

Впиши число цифрами в поле для ввода:

Подсказка: при решении нужно учесть, что буква И в шифровке встречается два раза.

Конкурсное задание, февраль 2014

Вот сколько лет было Гарри Поттеру, когда он поступил в школу волшебников Хогвардс:

ОЦЬТЛЕДДАИЪАЪТНН

Возраст зашифрован с помощью магического квадрата. К сожалению, верхний левый угол записки сжевал троль.

Сколько лет было Гарри?

Конкурсное задание, май 2013

Задание зашифровано с помощью магического квадрата. К сожалению, часть квадрата стерта.

Восстановите квадрат и выполните задание. Ответ запишите в поле цифрами.

Конкурсное задание, ноябрь 2012

Перехвачен обрывок папируса, на котором с помощью магического квадрата зашифровано количество боевых колесниц.

Ь С Е В Ь Т Д С Я Д Е Е Т Т Я Ш

Восстановите магический квадрат и расшифруйте сообщение.

Ответ запишите в поле цифрами.

Пример конкурсного задания

Зашифрованное задание

ТСДЯ ВПЬЮ ЬАЛЦ ПАТД

нужно расшифровать с помощью магического квадрата:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

 

К сожалению, несколько чисел в квадрате оказались утраченными (пергамент с донесением пробила стрела).

Восстановите магический квадрат. Расшифруйте задание. Найдите ответ. Запишите ответ цифрами в поле для ввода:

metaschool.ru

Учебный проект по математике «Магический квадрат» (4 класс)

История появления магических квадратов.

В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную.

Китайский император Ню, живший 4 тысячи лет назад, однажды гулял по берегу реки. И вдруг увидел черепаху. На её панцире был изображён рисунок из белых и чёрных кружков.

« Да, она священна!», — воскликнул он.

Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица.

9

2

3

5

7

8

1

6

(Сумма чисел строк равна сумме чисел столбцов, равна сумме чисел диагоналей и равна 15.)

Сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Определение магического квадрата.

Магический квадрат — квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом. Первое специальное упоминание о таком квадрате найдено около 1 века до н.э. Вплоть до 10 века н.э. магические квадраты были воплощены в амулетах, заклинаниях. Они  использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 900 (рис. 4в) или на 1800 (рис 4г).

2

7

6

9

5

1

4

3

8

8

1

6

3

5

7

4

9

2

2

9

4

7

5

3

6

1

8

6

1

8

7

5

3

2

9

4

а б в г

В IX веке интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45*45, содержащий числа от 1 до 2025, Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера.

В XIII веке математик Ян Хэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, а затем и в другие страны.

Редкостью является использование магического квадрата в изобразительном искусстве, а не в научном или литературном произведении. Впервые это сделал немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 – 1528), выпустивший в гравюру «Меланхолия», на которой есть изображение магического квадрата четвёртого порядка. Причем два числа в середине нижней строки указывают на год создания гравюры – 1514.Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определённым заданным расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А.Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503-1566).

Применение магических квадратов .

Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 — число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.

В наши дни магические квадраты можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры. Известная головоломка – пазл с числами — судоку, появившаяся примерно 30 лет назад и популярная во многих странах мира, тоже содержит магические квадраты.

За последнее столетие  значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами. В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений.

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

190, 200, 210, 240, 260, 270.

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:

28, 40, 48, 52, 56, 60

(Чтобы найти магическое число, нужно сложить все девять чисел и полученную сумму разделить на 3).

infourok.ru