Все, кроме квадратов: от волшебных квадратов до Судоку

Март 2006

Что такое магический квадрат?

Существует древняя китайская легенда, которая звучит примерно так. Примерно три тысячи лет назад в Китае произошло большое наводнение. Чтобы успокоить раздраженного бога реки, люди сделали подношение реке Ло, но он не мог быть умиротворен. Каждый раз, когда они приносили жертву, из реки появлялась черепаха. Однажды мальчик заметил следы на спине черепахи, которые, казалось, представляли цифры от 1 до 9.Числа были расположены таким образом, что каждая строка складывалась до 15. Следовательно, люди понимали, что их предложение было неправильной суммой.

Нимфа реки Ло , рисунок тушью на ручном свитке, династия Мин, 16 век. Галерея искусств Freer

Маркировка на задней части черепахи была фактически волшебным квадратом. Магический квадрат — это квадратная сетка, заполненная числами таким образом, что каждая строка, каждый столбец и две диагонали складываются в одно число.Вот как бы выглядел волшебный квадрат из Ло Шу. Он имеет три строки и три столбца, и если вы сложите числа в любой строке, столбце или диагонали, вы всегда получите 15.

Магический квадрат Ло Шу

Математические свойства

Когда математики говорят о магических квадратах, они часто говорят о порядке квадратов. Это просто количество строк или столбцов, которые есть у магического квадрата. Например, магический квадрат 3 на 3 имеет три строки и три столбца, поэтому его порядок равен 3.

В типичном магическом квадрате вы начинаете с 1, а затем проходите все числа по одному. Например, магический квадрат порядка 3 содержит все числа от 1 до 9, а квадрат порядка 4 содержит числа от 1 до 16. Не удивительно, что магические квадраты, созданные таким образом, называются обычными магическими квадратами.

В магическом квадрате Ло Шу, который является нормальным магическим квадратом, все строки, все столбцы и две диагонали складываются в одно число 15. Мы называем это число магической константой , и есть простая формула Вы можете использовать для определения магической константы для любого нормального магического квадрата.Для магического квадрата порядка n магическая постоянная равна

M (n) = n (n ² +1) / 2.
Итак, для квадрата порядка 3 имеем
M (3) = 3 (3 ² +1) / 2 = 15
Легко получить эту формулу: магический квадрат порядка n имеет ровно n строк, и каждый ряд складывается из магической константы M (n) . Таким образом, нМ (н) — это значение, которое вы получаете, когда складываете все записи в квадрате. Но поскольку каждое число от 1 до n ² появляется ровно один раз в квадрате, вы знаете, что общее число также равно
1 + 2 + 3 +… + n ² .
И, как многие из вас могут знать, эта сумма равна n ² (n ² +1) / 2 . Собрав все это вместе, вы получите
нМ (n) = n ² (n ² +1) / 2,
поэтому
M (n) = n (n ² +1) / 2.

Оказывается, нормальные магические квадраты существуют для всех порядков, кроме порядка 2. Есть только один магический квадрат порядка 1, и это не особенно интересно: один квадрат с номером 1 внутри! Вы можете сами решить, почему квадрат порядка 2 не существует.Математики обычно считают два магических квадрата одинаковыми, если вы можете получить один из другого с помощью вращения или отражение. Таким образом, существует только один магический квадрат порядка 3, который является магическим квадратом Ло Шу, показанным выше. Существует 880 различных магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 порядка 5. Никто не знает, сколько существует магических квадратов порядка 6, но, по оценкам, их число превышает миллион миллионов!

Де Ла Лубере и сиамский метод

Теперь вы можете задаться вопросом, есть ли простой способ создать магический квадрат, не прибегая к догадкам.К счастью, есть. Де Ла Лобер был французским послом в Сиаме (ныне Таиланд) в конце семнадцатого века. По возвращении во Францию ​​он привел с собой метод построения магических квадратов с нечетным числом строк и столбцов, иначе называемых квадратами нечетного порядок.

Начните с поиска средней ячейки в верхнем ряду магического квадрата и запишите в нем число 1. Продолжайте писать числа 2, 3, 4 и т. Д., Каждая из которых находится в соседней по диагонали ячейке к северо-востоку от ранее заполненной ячейки.Когда вы дойдете до края квадрата, продолжайте движение с противоположного края, как если бы противоположные края были склеены. Если вы столкнулись с ячейкой, которая уже заполнена, перейдите к ячейка сразу под ячейкой, которую вы только что заполнили, и продолжайте как прежде.

Когда все ячейки заполнены, две основные диагонали, а также все строки и столбцы должны складываться в одно и то же число, как по волшебству!

Вот частичная конструкция магического квадрата 5 на 5. Начиная с 1, я заполнил цифры до 10.К северо-востоку от 1 места нет, поэтому я поставил 2 в нижнем ряду, а затем 3. Снова, поскольку 3 находится на краю, 4 идет на противоположной стороне. 6 должно идти в ячейке, где 1, но, поскольку эта ячейка занята, я помещаю 6 сразу под 5 и продолжал до 10. Попробуйте заполнить квадрат, а затем попробуйте сделать некоторые свои.

Хотя этот метод, известный как сиамский метод , является, вероятно, наилучшим известным методом для создания магических квадратов, существуют и другие методы.Немецкий школьный учитель Иоганн Фолхабер опубликовал метод, аналогичный сиамскому, до того, как он был обнаружен де Ле Лобером. Другой способ — метод Лозенга Джона Хортон Конвей, плодовитый британский математик. Доказать, что эти методы работают, можно с помощью алгебры, но это не просто!

Магические квадраты четного порядка

Хотя сиамский метод можно использовать для создания магического квадрата для любого нечетного числа, не существует простого метода, который работал бы для всех магических квадратов четного порядка.К счастью, есть хороший метод, который мы можем использовать, если порядок квадрата равен четному числу, кратному 4. (Для тех, кто заинтересован, метод LUX был изобретен Дж. Х. Конвеем для работы с четными числами, которые не являются делится на 4).

Вместо того, чтобы говорить «числа, которые делятся на 4», математики обычно говорят «числа вида 4k ». Например, 12 имеет форму 4k , потому что вы можете заменить k на 3. Используя ту же идею, числа, которые дают остаток от 2, когда вы делите их на 4, могут называться числами вида 4k + 2

Итак, начните с выбора порядка квадрата, убедившись, что он имеет форму 4k , и пронумеруйте ячейки от 1 до (4k) ² , начиная с верхнего левого угла и работая вдоль рядов. Затем разделите квадрат на 4 на 4 квадрата и отметьте числа, которые лежат на главных диагоналях каждого квадрата. В примере это цветные цифры; порядок квадрата 4, поэтому единственный квадрат 4 на 4 — это сам квадрат.

Теперь поменяйте номер с наименьшей маркировкой на номер с наивысшей отметкой, второй номер с наименьшей отметкой на номер с наивысшей отметкой и т. Д.Другой способ сказать, что если магический квадрат имеет порядок n , поменяйте местами числа, которые складываются до n ² + 1 . В этом конкретном примере порядок равен 4, поэтому мы должны поменять местами числа, которые в сумме составляют 17: 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10.

Если вы перевернете этот магический квадрат, он будет идентичен тому, который нарисовал известный немецкий художник Альбрехт Дюрер. Вы можете видеть это в углу его гравюры Melencolia .

Альбрехт Дюрер, гравюра 1514 Меленколия .

Магический квадрат, появившийся в Melencolia , показанный крупным планом.

Вот пример магического квадрата 8 на 8, построенного тем же способом. Квадрат был разделен на четыре квадрата 4 на 4, и диагонали были раскрашены. Цветные числа, которые составляют до 65, были переключены: 1 был заменен на 64, 4 был заменен на 61, и так далее.

История рыцаря

Как знает любой шахматист, магический квадрат порядка 8 имеет столько же клеток, сколько и шахматная доска.Это сходство означает, что мы можем создать специальный тип магического квадрата на основе ходов шахматной фигуры.

Рыцарь — интересная фигура, потому что, в отличие от других фигур, он не движется вертикально, горизонтально или по диагонали вдоль прямой линии. Вместо этого конь движется в форме буквы L, как показано на схеме. Но может ли рыцарь, который движется таким образом, посетить каждую клетку на шахматной доске ровно один раз?

Рыцарь (K) может двигаться в форме буквы L к любому из квадратов, отмеченных X

Одним из первых математиков, исследовавших экскурсию рыцаря, когда проблема стала известна, был великий швейцарский математик Леонард Эйлер.Его работа вдохновила других принять вызов.

Используя концепцию рыцарского тура, Уильяму Беверли удалось создать магический квадрат, как показано ниже. Клетки нумеруются по порядку, так как их посещает рыцарь. Хотя количество строк и столбцов в сумме составляет 260, главных диагоналей нет, так что, строго говоря, это полумагнитный квадрат. На самом деле, магический квадрат, основанный на экскурсии рыцаря, часто называется волшебным туром, поэтому то, что Беверли продюсировала в 1848 году, — это полумагический тур!

На первый взгляд кажется, что следующий магический квадрат Фейштамеля отвечает всем требованиям.Строки, столбцы и диагонали в сумме равны 260. К сожалению, это только частичный рыцарский тур, поскольку есть скачок с 32 до 33.

Так когда же можно превратить рыцарский тур в волшебный квадрат? В 2003 году Stertenbrink и Meyrignac наконец решили эту проблему, вычислив каждую возможную комбинацию. Они нашли 140 полумагических туров, но никаких волшебных туров. Мат!

латинских квадратов

Латинские квадраты — настоящие предки Судоку. Вы можете найти примеры латинских квадратов в арабской литературе старше 700 лет.Они были обнаружены Эйлером несколько веков спустя, который рассматривал их как магический квадрат нового типа, и именно благодаря ему мы называем их латинскими квадратами.

Латинские квадраты — это сетки, заполненные цифрами, буквами или символами таким образом, что ни одно число не появляется дважды в одной строке или столбце. Разница между магическим квадратом и латинским квадратом заключается в количестве используемых символов. Например, в магическом квадрате 4 на 4 есть 16 разных чисел, но вам нужно только 4 разных числа или буквы, чтобы получить латинский квадрат 4 на 4.

Вот пример латинского квадрата с номерами от 1 до 4 в каждой строке и столбце. Если вы посмотрите на первую строку и первый столбец, вы заметите, что числа встречаются в последовательности: 1, 2, 3, 4. Когда это происходит, мы говорим, что латинский квадрат находится в стандартной форме, или нормализованы. Любой латинский квадрат можно превратить в стандартную форму, поменяв местами пары строк и пары колонны.

Существует только один нормализованный латинский квадрат порядка 3, и есть только 4 различных квадрата порядка 4, но ошеломляющие 377 597 570 964 258 816 порядка 9.В 1979 году Дж. Р. Нечватал разработал сложную формулу, дающую число различных нормированных латинских квадратов любого порядка. До сегодняшнего дня никто из этой или любой другой формулы не мог определить, насколько быстро растет это число по мере того, как площади становится большим.

Латинские квадраты и квадраты Эйлера находят широкое применение в математике и за ее пределами, в том числе для проведения экспериментов и организации турниров с круговым циклом. Например, предположим, что ученый Альберт хочет испытать четыре разных препарата (называемых A, B, C и D) на четырех добровольцах. Чтобы сделать это честным тестом, он решает, что каждый волонтер должен пройти тестирование с принимать лекарства каждую неделю, но двум добровольцам не разрешается принимать одно и то же лекарство одновременно. Сказав, что каждая строка представляет отдельного добровольца, а каждый столбец представляет отдельную неделю, Альберт может спланировать весь эксперимент, используя латинский квадрат.

Задача тридцать шесть офицеров

Эйлер проделал значительную работу над латинскими квадратами и даже придумал некоторые методы их построения. Эйлер легко нашел методы построения греко-латинских квадратов и квадратов нечетного порядка, для которых порядок кратен 4, но он не смог получить греко-латинский квадрат порядка 6.

Он даже поставил известную проблему, которую можно решить, только сделав греко-латинский квадрат порядка 6. Задача из 36 офицеров выглядит следующим образом: возможно ли организовать шесть полков, каждый из которых состоит из шести офицеров разных рангов, таким образом, чтобы ни в одной строке или столбце не было двух или более офицеров из одного и того же полка или с одинаковым званием?

Эйлер никогда не решал эту проблему.На самом деле он считал, что невозможно создать греко-латинский квадрат, если порядок имеет вид 4k + 2.

Чуть более ста лет назад предсказание Эйлера частично подтвердилось. Французский математик по имени Гастон Тарри проверил каждую возможную комбинацию для квадрата Эйлера 6 на 6 и показал, что ее не существует.

Наконец, в 1960 году Бозе, Шриханде и Паркеру удалось доказать, что квадраты Эйлера существуют для всех заказов, кроме 2 и 6. Но, учитывая, что в их распоряжении были компьютеры, жаль Тарри, которому пришлось делать все вручную!

Леонард Эйлер

Судоку

Если вы сядете на поезд в Лондоне, вы увидите множество пассажиров с ручкой в ​​руках, газетой на коленях и одной вещью на уме — судоку.

Судоку или Су Доку — это особый тип латинских квадратов. Обычно это сетки 9 на 9, разбитые на 9 меньших по 3 на 3 коробки. Цель игры — заполнить каждую ячейку одним из чисел от 1 до 9, чтобы каждое число появлялось ровно один раз в каждой строке, столбце и поле 3 на 3. Чтобы помочь вам завершить головоломку, несколько чисел уже приведены в качестве подсказок.

Человек, которому приписывают изобретение судоку, — Говард Гарнс. Первая головоломка появилась в журнале Dell Dell в 1979 году и называлась Number Place .Загадка приобрела популярность в Японии в 1980-х годах и была подхвачена в 2004 году британской газетой The Times . Судоку — это японский номер с одним номером , и теперь его имя зарегистрированная торговая марка японской компании-издателя пазлов.

Трудно сказать, сколько существует различных завершенных сеток Судоку, но математики Бертрам Фельгенхауэр и Фрэзер Джарвис использовали исчерпывающий компьютерный поиск, чтобы найти число 6 670 903 752 021 072 936 960, что позже было подтверждено Эдом Расселом.

Решение судоку требует логического мышления и системного подхода. Как правило, достаточно много чисел даны в качестве подсказок в исходной сетке — той, с которой вы начинаете головоломку — чтобы гарантировать, что существует только одно решение. Чем больше чисел заполнено изначально, тем легче становится головоломка. Так что настоящие наркоманы судоку, вероятно, предпочитают небольшое количество начальных подсказок. Но что это минимальное количество подсказок, которые нужно дать, чтобы убедиться, что существует ровно одно — и не более — решение? Это хороший вопрос, на который математики до сих пор не смогли ответить, хотя есть веские основания полагать, что число составляет 17.

А что если мы перевернем этот вопрос? Учитывая, что отдельный завершил сетку , сколько существует минимальных начальных сеток, которые имеют эту сетку в качестве решения? Здесь мы имеем в виду те начальные сетки, из которых больше не может быть удалено число, не делая возможным несколько решений. Опять же, математики не знают ответа на этот вопрос.

Но давайте посмотрим, как решить головоломку судоку. Вот тот, который я создал, чтобы проиллюстрировать один из основных методов, известный как сканирование.

Глядя на средние три ящика, у нас есть 3 в левом ящике и один в среднем, но нам все еще нужно поставить 3 в правом ящике. Так, куда это должно пойти? Ну, это не может идти в верхнем ряду, потому что в этом ряду уже есть 3. По той же причине он не может войти в нижний ряд, который выходит из среднего ряда. В среднем ряду есть только одна свободная ячейка, поэтому 3 Это.

Средние три ящика

Теперь, если мы посмотрим на три нижних поля, одна из строк уже имеет 6 чисел.Я назвал пустые ячейки A, B и C (по порядку слева направо), а пропущенными числами являются 3, 7 и 8. Если вы посмотрите на ячейку C, единственное число, которое может войти в нее, это 7. Это потому, что столбец, в котором находится C, уже содержит 3 и 8.

Найти A и B теперь довольно просто. В той же колонке, что и B, уже есть 3, поэтому B должно быть 8. Это означает, что A должно быть 3. Решение остальной части головоломки немного сложнее, но оно того стоит.

Нижние два ряда

Повальное увлечение судоку охватило весь земной шар, и в нем нет никаких признаков замедления.Из основной темы было разработано несколько вариаций, таких как версии 16 на 16 и комбинации из нескольких сеток (вы можете попробовать дуплексную разницу судоку в головоломке Plus ). Но, как и в случае с магическими и латинскими квадратами, популярность судоку будет зависеть о том, могут ли они продолжать предлагать новые проблемы.

---

Об авторе

Хардип Эйден — выпускник математического факультета Имперского колледжа в Лондоне. Помимо математики, он интересуется языками и лингвистикой и в настоящее время изучает японский, французский и британский язык жестов.,

10 волшебных математических головоломок ученики полюбят

Отложите листы утренней математики и опробуйте некоторые из этих волшебных математических головоломок, которые показывают студентам, как математика может быть очаровательной!

1. Calendar Magic 9
Удивите своих друзей с помощью этого магического трюка умножения из Murderous Maths! Дети говорят другу, чтобы он поставил квадрат в 9 цифр в календаре (коробка 3 х 3). Затем они говорят, что могут быстро найти сумму из 9 чисел в квадрате! Абракадабра и алаказам! Все, что они делают, это умножают число в центре квадрата на 9 и до! У них волшебным образом есть ответ!

2.Shoe Math Magic
Умножьте размер обуви на 5 (должно быть целое число, округлите, если нужно)
Добавьте 50
Умножьте на 20
Добавьте 1015 (измените каждый год / следующий год 1016)
Вычтите год вашего рождения
Первая цифра = размер обуви
Последние 2 цифры = возраст

3. Волшебный квадрат
Волшебный квадрат — это отличная тактильная игра для детей, в которой они переставляют три цифры (горизонтальную, вертикальную и диагональную), так что все они равны одной сумме, магическому числу! Я был вдохновлен Love 2 Learn 2 Day, магический квадрат с молочной крышкой, поэтому я сделал свой собственный! Детям нравится использовать молочные крышки, потому что они могут скользить и скользить по плоской столешнице.Магические квадраты также являются хорошим способом для детей улучшить свои навыки сложения, используя группу слагаемых, три целых числа в уравнении.

4. Магические треугольники по периметру
Магические треугольники по периметру помогают детям улучшить свои навыки сложения, используя три дополнения! Все, что вам нужно, это 6 пробок с надписью 1-6. Дети надевают молочные крышки, образуя треугольник. Их цель состоит в том, чтобы все три стороны складывались в равную сумму.

5.Зубочистка Math Puzzles
Геометрические пазлы с зубочистками, помогающие развить навыки решения проблем и критического мышления.
Список головоломок, которые нужно попробовать:
Puzzle Playground
Planet Seed
Зубочистка Треугольники

6. Искусство в цифрах
Потренируйся в таблицах умножения, создавая бумажные узоры из Sharynideas! Дети определяют шаблоны в своих таблицах умножения. Когда они идентифицируют повторяющийся узор, они создают искусство! Проверьте активность здесь! Кроме того, посетите NRich Math для немного другого способа создания дизайнов из ваших временных таблиц!

7.Пройдите сквозь бумагу
Можете ли вы пройти сквозь отверстие в листе бумаги размером 8,5 × 11 ″? Раздайте всем вашим студентам лист бумаги и посмотрите, смогут ли они выяснить, как вырезать отверстие, достаточно большое, чтобы они могли пройти через него. Тогда покажи им этот волшебный трюк! Посетите Pleacher или The Math Lab для получения инструкций (и бесплатной печати с линиями, чтобы вырезать «идеальное» отверстие)! Затем вытяните свою бумагу и попытайтесь найти область и периметр вашей бумаги! Как это изменилось? Для младших школьников этот проект может быть привязан к базовой единице измерения.Вы даже можете пройти через учетную карточку! Нажмите здесь для подробностей!

8. Головоломки Domino Math
У NRich Math есть множество забавных математических головоломок, которые помогут развить у детей навыки решения проблем. Все, что им нужно, это набор домино! Нажмите здесь для полного списка! Проверьте магические квадраты и прямоугольники домино здесь! Если у вас нет домино, вы можете найти печатные версии онлайн.
Показанное выше:
Умножение Domino
Волшебный квадрат Domino (строки, столбцы и диагонали имеют одинаковую сумму)
Волшебное окно Domino (все стороны равны одной сумме)

9.Квадраты вычитания
Дети выбирают 4 числа (все, что им нравится), чтобы написать в вершинах большего квадрата. Затем они просто вычитают (от угла к углу). Они пишут различия в углах следующего по величине квадрата (где он встречается между линиями) и так далее…

Большой сюрприз — их последний квадрат! Как и в магии, все углы одинаковы! Вывод : Посмотрите, смогут ли дети предсказать, какое будет их загадочное число, прежде чем решать все свои квадраты!

10.X =
Magic Math Trick (x = 2)
1. Подумайте о целом числе от 1 до 10
2. Удвойте его!
3. Добавить 4
4. Разделить на 2
5. Вычесть исходное число
Является ли цифра 2 ?!
Посетите Математическую Лабораторию, чтобы найти алгебру этой математической магии!

Magic Math Trick (x = 18)
1. Выберите число, любое число!
2. Умножьте число на 100.
3. Вычтите исходное число из ответа.
4.Добавьте цифры в своем ответе.
Ваш номер 18 ?!

Пример:
5
5 x 100 = 500
500 — 5 = 495
4 + 9 + 5 = 18

Теперь давайте попробуем большее число!
1,467
1,467 x 100 = 146,700
146,700 — 1,467 = 145,233
1 + 4 + 5 + 2 + 3 + 3 = 18
Это волшебство!

Эрин Биттман — модельер, ставшая учителем. Проверьте ее блог E для изучения!

,

No related posts.

14.04.202005.07.2020