Разное

Что такое математический склад ума: Что такое «математический склад ума»? Как определить его наличие или отсутствие?

Содержание

Привычки людей с математическим складом ума / Блог компании Wirex / Хабр

Привет, Geektimes! На днях разработчикам Wirex, финтех-стартапа, предоставляющего услуги платежей и денежных переводов без банковского посредничества, на глаза попался весьма интересный материал. Его автор проанализировал некоторые особенности, присущие людям с математическим складом ума, рассказал, какие навыки действительно могут пригодиться в жизни и обозначил преимущества математического подхода при оценке событий. Для того чтобы данная публикация не осталась лишь в поле зрения аудитории зарубежных медиа, мы решили сделать ее перевод, которым спешим поделиться со всеми пользователями Geektimes.

Далее мы приводим оригинальный перевод статьи с блог-платформы Medium, посвященной привычкам, которыми обладает каждый математик.

Один из самых популярных вопросов, которые студенты задают преподавателям математики, звучит так: «Где вообще мне это пригодится?». Немногим учителям удается сразу дать резонный ответ, выходящий за рамки общепринятой точки зрения. Обычно они дают стандартное объяснение на тему полезности развития «критического мышления» и на этом конкретика заканчивается. В то же время эти же учителя должны уметь с невозмутимым видом рассказать своим студентам о важности знания производной арккосинуса.

Предлагаю вам свой список. В него я включил реальные, четко сформулированные навыки, которые, будучи хорошенько освоены студентами, пригодятся им на практике и будут полезны в жизни за рамками их математической деятельности. Некоторые из них имеют прикладной характер: математики используют каждый день для рассуждения о сложных, разносторонних задачах. Другие полезны в социальном плане и позволяют вам натренировать свой эмоциональный интеллект, столь необходимый каждому, кто хочет преуспеть в сфере деятельности, где почти все свое время приходится проводить в попытках понять то, чего в действительности не существует. Все они изучаются в своем чистейшем виде в рамках математики.

А вот и сам список:

  1. Умение четко формулировать определения
  2. Обдумывание примеров и контрпримеров
  3. Умение часто ошибаться и признавать свои ошибки
  4. Оценка следствий утверждения
  5. Способность рассматривать предположения, лежащие в основе утверждения, отдельно друг от друга
  6. Метод «лестницы абстракции»

Умение четко формулировать определения


Главный навык, который вырабатывается у математиков в ходе их профессиональной деятельности — гибкость и эффективность в работе с понятийным аппаратом. И навык этот имеет гораздо большее значение, нежели это может показаться на первый взгляд. Этим я хочу сказать, что математики буквально помешаны на поиске лучших и наиболее полезных значениях каждого используемого ими слова. Они нуждаются в логической точности потому, что работают в мире понятий, которые можно однозначно подтвердить или опровергнуть. И если какое-либо понятие имеет «смысловую завершенность», то оно обязательно должно быть определено.

Позвольте начать с математического примера, имеющего некоторое отношение к реальному миру. Поговорим о «случайном». Концепция случайности мозолила глаза математикам на протяжении почти всей новейшей истории науки, поскольку дать точное определение тому, какое событие может называться случайным, довольно сложно. Ученые-статистики решают эту головоломку, считая случайными не вещи, а процессы и, соответственно, полагая, что вычислить вероятность события можно, опираясь на результаты процессов. Так можно вкратце охарактеризовать понятие, которое, несмотря на свою простоту, лежит в основе едва ли не всей статистики.

Тем не менее это не единственное определение случайности. Возьмем, например, ситуацию с подбрасывание монетки. Последовательность ОРООРОООРРРОРООРООРО покажется нам вполне случайной, тогда как двадцать одинаковых «орлов» подряд мы ни за что не захотим признать случайным стечением обстоятельств. Математики посмотрели на эту ситуацию и решили, что статистического определения случайности недостаточно и изобрели второе определение под названием «сложность по Колмогорову». Грубо говоря, событие называется «случайным по Колмогорову», если самая короткая воспроизводящая его компьютерная программа по сути состоит из этого события. Сразу замечу, что определение «компьютера» здесь используется чисто математическое, т. е. речь идет не о современных компьютерах, а о том понятии, с которым оперировал еще Алан Тьюринг. Говоря более простым языком, можно представить, что случайное по Колмогорову событие требует, чтобы вы описали его целиком в исходном коде воспроизводящей его компьютерной программы.

Из колмогоровской сложности выросла отдельная замечательная область математики и вычислительной теории, но на этом наша история не заканчивается. Изучая и развивая это направление, математики вскоре обнаружили, что для многих событий колмогоровская сложность расчету не поддается и поэтому использовать ее для решения практических задач бывает очень трудно. Требовалось определение, способное описать числа, которые выглядели бы случайно и были достаточно случайны для практического применения, даже несмотря на свою фактическую неслучайность в колмогоровском смысле. Результатом этих поисков было применяемое сегодня определение криптографически безопасной случайности.

Упрощенное определение случайности с точки зрения криптографии предполагает, что ни одна эффективная компьютерная программа, ставящая своей целью определить различие между псевдослучайными и истинно случайными событиями (в статистическом понимании), не будет иметь в этом деле значительного преимущества по сравнению с попыткой угадать результат с вероятностью 50 на 50. Такой подход гарантирует, что ваша последовательность чисел будет достаточно случайной, чтобы ваши враги оказались неспособны определить, какие числа вы будете использовать, потому что их попытки сделать точные вычисления будут сопоставимы по времени со сроком их жизни. Это и есть основа современной криптографии, взяв на вооружение которую, инженеры спроектировали системы, поддерживающие безопасность и конфиденциальность наших интернет-коммуникаций сегодня.

Итак, математики потратили немало времени, размышляя над определениями, что в конечном счете повлияло на то, как мы используем математику в реальном мире. Тем не менее я не считаю это аргументом в пользу необходимости обучать математике всех.

Как же размышление над определениями может помочь людям в реальном мире? Давайте рассмотрим конкретные примеры. Первым будет случай Кейта Девлина, математика и консультанта, помогавшего оборонным ведомствам США улучшить анализ данных после событий 11 сентября. Описание своей первой презентации он начинает с того, что оказался в помещении с большой группой представителей военных подрядчиков и начал свою беседу с попытки разобраться с определением слова «контекст». Далее я привожу вам основные выдержки из его рассказа.

Я готовил свой PowerPoint-проект… и был уверен, что присутствующие остановят меня на половине презентации, попросят перестать тратить их время и посадят на ближайший самолет до Сан-Франциско.

Дальше одного слайда дело не зашло. Но не потому, что меня выпроводили из кабинета. Просто оставшаяся часть сессии была проведена в обсуждении содержимого того самого слайда… Как мне сказали уже потом: «Всего лишь один этот слайд оправдал твое участие в проекте».

Так что же такого я сказал? На мой взгляд, ничего особенного. Моей задачей было найти способ проанализировать то, как контекст влияет на анализ данных и принятие решений в крайне сложных сферах деятельности, существующих на стыке военных ведомств, политики и социальных факторов. Я сделал ну очень очевидный (для меня) первый шаг. Мне нужно было записать настолько точное математическое определение понятия «контекст», насколько это возможно. На это у меня ушло несколько дней… Не могу сказать, что я был абсолютно доволен результатом… Тем не менее это было лучшим, что я мог сделать, и этот процесс, по крайней мере, дал мне твердое основание для того, чтобы начать развивать некоторые элементарные математические идеи.

Довольно большая группа умных людей, настоящих академиков, военных подрядчиков и старшего персонала Министерства обороны провела весь оставшийся час выделенного мне времени, обсуждая всего лишь одно это определение. Дискуссия выявила, что разные эксперты имели разное понимание того, что такое контекст, а это верный путь к катастрофе. Я же с самого начала задал им вопрос: «Что такое контекст?» Каждый из присутствующих в комнате, не считая меня, имел хорошее рабочее определение этого понятия, однако все определения отличались друг от друга. И никто из участников ранее не предлагал записать единое формальное определение. Они просто не привыкли делать это в рамках своей работы. Как только это было сделано, у них появилась общая отправная точка, позволявшая сравнивать и противопоставлять ей прежде всего собственные идеи. Благодаря этому нам удалось избежать катастрофы.


Как математик, Девлин не сделал ничего необычного. Фактически самый обычный вопрос, который возникает у математика, столкнувшегося с новым предметом обсуждения, звучит как: «Что именно вы имеете в виду под этим словом?»

И даже несмотря на то, что приведенный Девлином конкретный пример консультирования военной разведки очень специфичен, использованная им техника универсальна.

Именно она и лежит в основе столь популярного, но очень размытого термина «критическое мышление». Представим ситуацию, когда среднестатистический гражданин, отметающий математические идеи, слушает новости и слышит, как политик говорит: «У нас есть весомое доказательство наличия оружия массового поражения в Ираке». Будь у слушателя хорошее математическое образование, он задался бы вопросом: «Что именно вы понимаете под “весомым доказательством” и “оружием массового поражения”?». Ведь фактически точность этих понятий играет решающую роль в определении того, насколько предлагаемая ответная мера — объявление войны — правомерна. Без понимания определений вы не сможете принять взвешенное решение и высказаться за или против. Впрочем, если вы слушаете новости для развлечения или чтобы почувствовать себя частью политического стада, то истина — последнее, что вас в них интересует.

Каждому из нас приходится иметь дело с новыми определениями, неважно идет ли речь о новом определении брака или половой принадлежности, или о юридических определениях «намерения», «разумности», «неприкосновенности частной жизни».

Искушенный математик без промедления заметит, что правительство не может предоставить ни одного полезного определения такого понятия, как «религия». Способность мыслить критически, опираясь на определения — основа любого цивилизованного диалога.

Привычка задумываться об определениях вырабатывается у студентов-математиков еще на раннем этапе своего обучения в ВУЗе и укрепляется в магистратуре и последующих этапах их научной деятельности. Обычно математик сталкивается с новыми определениями ежедневно и происходит это в самых разных контекстах. Ну а само умение уверенно разбираться с понятиями и терминами окажется полезным для каждого, кто его освоит.

Обдумывание примеров и контрпримеров


Ну, а сейчас предлагаю немного попрактиковать работу с определениями в неформальной обстановке. Под «контрпримером» я понимаю такой пример, который показывает, что что-то перестает работать или неверно. К примеру, число 5 представляет собой контрпример утверждения о том, что 10 — простое число, потому что 10 делится на 5 без остатка.

Математики проводят много времени, придумывая примеры и контрпримеры для самых разных утверждений. Этот пункт очень тесно связан с предыдущим об определениях поскольку:

  1. Часто, придумывая новое определение, человек держит в уме набор примеров и контрпримеров, которым оно должно соответствовать. Таким образом, примеры и контрпримеры помогают создавать хорошие определения.
  2. Первое, что делает каждый математик, сталкиваясь с новым для себя уже существующим определением, записывает примеры и контрпримеры, способные помочь лучше понять его.

Как бы то ни было, примеры и контрпримеры выходят за рамки одного только обсуждения определений. Они помогают нам оценивать утверждения и понимать их смысл. Всякий, кто изучал математику, хорошо знает этот подход, также известный под названием «догадка и доказательство».

А заключается он в следующем. Работая над задачей, вы изучаете некий математический объект и записываете ту информацию о нем, которую хотите доказать. То есть, вы делаете обоснованную (или необоснованную) догадку о некоторой закономерности, которая характеризует изучаемый объектом. За этим следует доказательство, когда вы пытаетесь подтвердить или опровергнуть утверждение.

В качестве плохой аналогии можно привести догадку о том, что Земля находится в центре вселенной. Вы подкрепляете эту догадку характеристиками объекта, которые удовлетворяют этому утверждению. В нашей Солнечной системе вы могли бы сделать игрушечную модель, показывающую пример того, как, на ваш взгляд, могла бы выглядеть модель вселенной с Землей в ее центре, если бы вселенная могла быть такой же простой, как игрушка. Или же вы, напротив, могли бы выполнить некоторые измерения, включающие в себя учет характеристик Солнца и Луны и получить доказательство того, что это утверждение ложно, и на самом деле Земля вращается вокруг Солнца. Так вот в мире математики это «доказательство» — контрпример и называть его таковым можно, только если его истинность подлежит однозначному подтверждению. «Доказательство» в математике часто выступает всего лишь в роли временного заполнителя, до тех пор, пока истина не будет выявлена. Несмотря на все это, впрочем, существуют некоторые широко известные задачи, над решением которых математики бьются уже сотни лет, так до сих пор и не предоставив для них ничего, кроме «доказательств».

Аналогия эта описывает то, что происходит в математике даже на самом микроскопическом уровне. Когда вы с головой погружаетесь в проект, вы делаете новые небольшие предположения каждые несколько минут, как правило, в итоге опровергая их, поскольку позже вы понимаете, что они были не чем иным, как совершенно необоснованными догадками. Это — очень интенсивный, «прокачанный» научный процесс, состоящий из анализа сотен ложных гипотез, приводящих в итоге к приятному результату. Контрпримеры, которые вы находите по пути, выступают в роли дорожных указателей. Впоследствии они помогают вашей интуиции, и стоит им только прочно укорениться у вас в голове, как процесс принятия или отрицания более сложных догадок становится относительно простым.

И вот мы снова подходим к тому, что способность придумывать интересные и полезные примеры и контрпримеры — один из столпов продуктивного рассуждения. Если вы когда-либо читали протоколы слушания Верхновного суда, например, случая с обсуждением легальности ношения заключенными бороды по религиозным соображениям, вы увидите, что большинство аргументов — проверочные примеры и контрпримеры, позволяющие проверить ранее установленные юридические определения «разумности», «религии» и «намерения» на прочность. Этот подход также нашел бесчисленное количество применений в физике, инженерном деле и вычислительной теории.

Есть и другой, гораздо менее очевидный, но не менее важный момент. В силу того, что на протяжении всей своей карьеры математикам приходится регулярно высказывать столь большое количество неверных, глупых и ложных догадок, они становятся иммунны к слепому принятию утверждений, основанных на силе чьего-либо голоса или культурных предубеждениях. Если мы признаем, что в условиях современного коллективного общества люди стали слишком склонны верить голосам других (политиков, «экспертов» СМИ, финансовых ораторов), тогда изучение математики — прекрасный способ культивировать в людях здравое чувство скептицизма. Этот навык будет одинаково полезен как для инженеров, так и для водопроводчиков, медсестер или сборщиков мусора.

Умение часто ошибаться и признавать ошибки


Два математика, Изабель и Гриффин, обсуждают математическое утверждение у доски. Изабель думает, что утверждение истинно и горячо отстаивает свою точку зрения в споре с Гриффином, который верит в обратное. Спустя 10 минут они меняют свои точки зрения на прямо противоположные и теперь уже Изабель считает это утверждение ложным, тогда как Гриффин верит, что они истинно.

Подобные ситуации я наблюдаю постоянно, но только в мире математики. Единственная причина, по которой такое может произойти заключается в том, что оба математика, независимо от того, кто из них на самом деле прав, готовы не только принять свою неправоту, но и охотно поменять сторону спора, как только почувствуют в своих аргументах хотя бы малейший изъян.

Иногда в группе из 4–5 человек, обсуждающих некое утверждение, я оказываюсь единственным несогласным с мнением большинства. Если предложенный мной аргумент будет достаточно хорош, каждый из присутствующих немедленно примет тот факт, что он был неправ, сделав это без каких-либо сожалений или негативных эмоций. Чаще, впрочем, я оказываюсь на стороне большинства и вынужден возвращаться назад в своих рассуждениях или пересматривать и совершенствовать свои взгляды.

Привычка поощрять сомнение, быть неправым, признавать это и начинать все сначала как можно чаще — все это отличает математическую дискуссию даже от хваленой научной дискуссии. Здесь вы не увидите никаких попыток добиться нужного показателя p-значения или скрытого лоббирования. Нет в математике места и для стремления прославиться, ведь почти все, что вы говорите, как правило, не покидает пределов небольшой группы участников дискуссии. Математик в деле полностью поглощен процессом поиска истины, а его профессиональные привычки позволяют ему отбросить личную славу или страх позора ради главной цели — проникновения в суть проблемы.

Оценка следствий утверждения


Скот Ааронсон написал в своем блоге пост про убийство Джона Кеннеди и посвященные этому теории заговора. В нем он рассматривает утверждение «убийство Джона Кеннеди было заговором, масштаб которого сопоставим с размером ЦРУ» и дает ему оценку, основанную на простых и понятных аргументах, очень похожих по своей сути на подход математиков и информатиков. Рассмотрим пример из его поста:
10. Почти все конспирологические теории о Джоне Фицджеральде Кеннеди, по всей видимости, ложны просто потому, что все они противоречат друг другу. Как только вы поймете это и начнете рассматривать их исходя из того, что хотя бы одна из них могла бы быть верна, на вас сразу же снизойдет озарение: вы поймете, что ничто не мешает вам просто отмести их все.

Другой пример:
12. Если организаторы заговора были столь могущественны, то почему они ограничились одним только убийством президента, не добившись никаких более впечатляющих результатов? И почему заговорщики не начали еще раньше, с подтасовки выборов, дабы помешать Кеннеди стать президентом? В математике вы часто обнаруживаете недочеты в своем аргументе благодаря пониманию того, что он сам по себе дает вам гораздо больше, нежели вы изначально полагали. И тем не менее все аргументы в пользу конспирации, с которыми я ознакомился, по всей видимости, обладают одним и тем же недостатком. К примеру, что случилось с заговорщиками после успешного выполнения задуманного? Их организация просто расформировалась? Или они продолжили вынашивать планы других убийств и организовывать их? Если этого не произошло, то что им помешало? Разве работа тайных мировых кукловодов не является бессрочной деятельностью? И где вообще, если, конечно, это возможно, заканчивается власть этой организации?

На самом деле исследование пределов того или иного утверждения — хлеб насущный для любого математика. Это один из простейших доступных каждому инструментов высокого уровня, позволяющих оценить справедливость утверждения перед тем, как начать подробное рассмотрение аргументов. И этот метод можно использовать как лакмусовую бумажку для определения того, какие аргументы следует рассматривать подробнее.

Иногда доведение того или иного аргумента до пределов позволяет получить улучшенную и более элегантную теорему, включающую в себя начальное утверждение. Но гораздо чаще вы просто понимаете, что были неправы. Поэтому эта привычка — менее формальная вариация на тему частых ошибок и придумывания контрпримеров.

Способность рассматривать предположения, лежащие в основе утверждения, отдельно друг от друга


Есть у математики и одна, пожалуй, досадная черта: она полна двусмысленностей. Мы любим относиться к ней, как к некоему олицетворению непоколебимости. И я даже готов поспорить в пользу этой идеи. Как бы то ни было, процесс занятия математикой — изучения существующих идей или придумывания новых — имеет гораздо больше общего с коммуникацией между двумя людьми, нежели суровой и холодной как лед непоколебимостью.

Так, когда математик делает какое-либо утверждение, он, как правило, старается сформулировать базовую идею максимально просто, с целью донести ее до других людей. Обычно это означает, что смысл используемых в формулировке выражений может оказаться неясным для других людей, особенно если разговор происходит между двумя математиками, знакомыми с общим контекстом разговора, а вы в этой ситуации — посторонний человек, пытающийся их понять.

Когда вы оказываетесь в подобной ситуации в математике, вы тратите много времени на то, чтобы вернуться к основам. Вы задаете вопросы вроде: «Что означают эти слова в данном контексте?» и «Какие очевидные попытки уже были предприняты и отклонены и почему?». Стараясь глубже проникнуть в суть вопроса, вы спросите: «Почему именно эти вопросы так важны?» и «Куда вообще ведет эта линия исследования?»

Это и есть методы, которые математик использует, чтобы собрать сведения о предмете обсуждения. Единый лейтмотив такого подхода заключается в изоляции каждой йоты смущающей вас информации, каждого предположения, лежащего в основе того или иного убеждения или утверждения. Этот подход решительно отличается от любых других видов дискуссий, наблюдаемых сегодня в мире.

Пытался ли, например, кто-нибудь основательно понять мировоззрение Дональда Трампа в ходе его подготовки к весьма спорным президентским выборам этого года? Большинство либералов слышат только: «Я построю стену и заставлю Мексику платить за это», смеясь над Трампом и объявляя его сумасшедшим. Применяя математический подход к этому утверждению, для начала необходимо понять, где оно берет свое начало. К какой целевой аудитории Трамп апеллирует? Какие альтернативные способы решения иммиграционной проблемы он рассмотрел и исключил и почему? Почему иммиграция — столь важная для его сторонников тема, и какие предположения в его логике приводят к подобным решениям? Что такого особенного понимает и знает Трамп, что делает его предвыборные предложения столь популярными?

Нет, я не пытаюсь занять ту или иную политическую позицию. Я всего лишь хочу обратить ваше внимание на то, что если математик окажется в крайне неоднозначной ситуации, раздельный анализ предположений, лежащих в основе того или иного утверждения, будет частью общей схемы его действий. Феномен «либеральные СМИ недооценивают Трампа» обязан своим существованием во многом именно нежеланию задать вопросы, подобные приведенным выше, и получить на них ответы. Вместо этого, противники Трампа всего лишь делают твиты с цитатами его заблуждающихся и оторванных от реальности сторонников. Однако, если верить результатам опросов, такой подход не приносит ощутимых результатов…

«Лестница абстракции»


Последняя в моем списке привычка — концепция «лестницы абстракции», которую я позаимствовал у Брета Виктора. Ее суть заключается в том, что во время рассуждения над решением проблемы вы можете абстрагироваться, посмотреть на нее и обдумать ее с высоты разных уровней, по аналогии с движением вверх и вниз по лестнице, где более высокая ступенька означает более высокий уровень абстракции. Виктор приводит интерактивный пример разработки алгоритма вождения автомобиля. В нем вы можете рассмотреть его работу в мельчайших деталях, сопоставляя конкретную вариацию алгоритма и результаты наблюдения за его поведением.

На более высоком уровне (более высокой ступеньке) вы можете контролировать разные параметры алгоритма (и время) с помощью слайдера, превращая один вариант алгоритма в целое семейство производных алгоритмов, каждый из которых также может быть отлажен. Вы можете и далее обобщать то, какие параметры и варианты поведения могут поддаваться отладке, чтобы расширить пространство возможных вариантов алгоритмов. Так, в ходе работы вы ищете обобщенные схемы действия, которые могут помочь вам добиться конечной цели — разработки качественного алгоритма вождения автомобиля с точки зрения самого низкого уровня, с которого и началась ваша работа.

Математики регулярно применяют этот прием, особенно на более позднем этапе обучения в магистратуре, когда вам нужно научиться обрабатывать огромное количество исследований. Там у вас нет времени на глубокое изучение каждой части и каждого утверждения в той или иной работе, за исключением разве что самых важных из них. Вместо этого вы создаете «лестницу абстракции», нижняя ступень которой содержит отдельные определения, теоремы и примеры из работы, следующий уровень — ее обобщенное содержание, а более высокий уровень рассматривает то, как данная работа соотносится с другими исследованиями и вписывается в более широкий математический контекст. Еще выше идут системообразующие для этой области знаний тенденции, то, что считается для нее важным, модным и так далее.

Вы можете начать с самой нижней ступеньки лестницы, разобрав и поняв несколько примеров определений и получив тем самым надежный ориентир, после чего перепрыгнуть к основной теореме работы и понять, какие именно улучшения она предлагает по сравнению с предыдущей работой в этой области. В ходе чтения вы можете натолкнуться на какую-нибудь технику из незнакомой вам области, придуманную в 50-х. Просто воспользуйтесь ей как готовым решением, сосредоточившись на более полезном для вас доказательстве основной теоремы, и спустившись, таким образом, на одну ступень ниже. После этого вы можете перейти к главам, посвященным нерешенным задачам, чтобы посмотреть, что еще осталось сделать в этой области, и если они покажутся вам достаточно заманчивыми, вы можете подготовить себя к работе над ними путем внимательного прочтения остальной части работы.

На самом деле математикам приходится упражнять свои «абстрагирующие мышцы» всякий раз, когда они рассказывают о собственной работе. Публика на лекциях бывает разная, и каждый слушатель может оценить содержание математической идеи на разном уровне детализации. Некоторые теоремы лучше всего поддаются объяснению на примере соревновательных игр и их контекста, задачи по оптимизации — на других примерах, а в некоторых случаях бывает уместно даже приводить аналогии из металлургии.

Пожалуй, можно сказать, что объединение информации со всех ступенек лестницы в единую гармоничную модель, которую вы сможете рассматривать самостоятельно и в нужном вам масштабе — одна из распространенных и непростых задач в мире математики. Виктор старается упростить это упражнение для ума путем разработки функционального пользовательского интерфейса. Другие же математики практикуют его с помощью самых разных техник, которые попадают к ним в руки. Так или иначе, каким бы ни был подход, конечный результат всегда представляет большую ценность.

Заключение


Ни в коем случае я не намекаю на то, что развитие продвинутых математических привычек — занятие совершенно однозначно полезное. В реальном мире многие из этих привычек представляют собой палку о двух концах. Каждый, кто получил вузовское математическое образование, знает человека (или сам был им), который постоянно делает замечания о том, что выражение А не всегда оказывается истинно в особом случае Б, который никто с самого начала рассматривать не собирался. Чтобы понять, когда подобный подход продуктивен, а когда просто бесит окружающих, требуется немало социальной зрелости, которая, в свою очередь, достигается за рамками чисто математических бесед.

Более того, чтобы свыкнуться с необходимостью «всегда быть неправым», часто требуется несколько первых лет полноценной работы. Из-за этого многие студенты, не имеющие поддержки товарищей на том же этапе обучения или хорошего примера для подражания бросают занятия. Карьера математика действительно представляет собой эмоциональные американские горки.

Иными словами, религиозная преданность описанным выше принципам в каждой отдельно взятой жизненной ситуации приведет лишь к тому, что люди будут отрицательно к вам относиться или вы сами будете чувствовать себя бесполезным шутом. Все дело в понимании того, когда именно следует вооружиться навыками математического мышления, способными, словно нож шеф-повара, безопасно и эффективно порезать идеи и аргументы на мелкие кусочки и отделить их от всего лишнего.

Продолжайте следить за обновлениями блога банковского блокчейн-сервиса Wirex и будьте среди первых, прочитавших наиболее обсуждаемые материалы из зарубежных источников, переведенные специально для пользователей Geektimes.

У вас «математический склад ума»? — Хабр Q&A

У меня в школе по математике было 3, по той причине, что мне никогда не было интересно на уроке.
Если вы посмотрите на школьную программу, то увидите что все 11 классов это повторение одного и того же. Это я преувеличил, но коэффициент новое/к старому близок к единице.

И было это 3 потому что не было никакого желания решать ни домашки, ни задачки в классе, так как они были всегда одинаковыми. Потому и математичку я бесил, так как она не могла меня заинтересовать и это её бесило, а стоило меня вызвать к доске, я сразу решал любую задачу 🙁
Так вот в итоге из-за ЕГЭ ей пришлось мне поставить 5, так как практика была ставить не меньше чем получилось по ЕГЭ.

А на счёт склада ума. Я бы так сказал:
Математический склад ума — это умение мыслить четко и ясно, аргументировано. Я бы не стал относить к математическому складу ума тех, кто умеет хорошо считать. Я вот очень часто ошибаюсь в обычном счёте. Да и зачем мучить голову если есть калькулятор. Однако есть всё же смысл и в устном счёте, но не так уж много.

Хочу привести пример известный. Есть мастера спорта по шахматам. Шахматы считаются логической задачей. Но есть такая интересная штука. Чему учат шахматы?
Оказывается, шахматы учат только игре в шахматы. Если мастер спорта в шахматы никогда не играл в какую-нибудь другую логическую игру, например в Го, то и не будет показывать высокий результат.

А гуманитарный склад ума — это умение делать выводы своими догадками и гаданиями.
Кроме того, я бы ещё отнёс к гуманитарному складу ума — способность запоминать очень много всяких вещей, и отношений. Как иначе историки могут столько запоминать дат, событий, кто у кого муж / жена, кто чего хотел, почему та или иная страна напала на другую, и наконец. .. Вечно бесили на уроках истории «назовите причины» чего-то. Я до сих пор не понимаю как можно называть причины не зная обстоятельств достоверно. Или делать выводы из скудных описаний изложенных в учебнике.

Не знаю конкретных примеров размышлений, но посмотрите например видео от TrashSmash «Это же очевидно!?» Там есть несколько хороших примеров догадок, которые гуманитарии бы с легкостью бы приняли за чистую монету.
Рекомендую ещё почитать чего-нибудь про когнитивные искажения, думаю не будет лишним.

Как помочь школьнику «включить» математический склад ума

Некоторые родители думают, что только их ребенок ленится учить математику. Опросы показывают, что половина из них не знают полностью таблицу умножения. А это говорит о том, что из почти 2 млн школьников, пришедших в первый класс в 2019 году, примерно 1 млн «выпадут» из математики и вряд ли станут талантливыми учеными, изобретателями и предпринимателями. Может быть знание математики в полном объеме и не нужно, но для финансовой грамотности знание базовых принципов необходимо каждому.  

Расскажу, как побороть «математическую тревожность» и полюбить этот важный предмет.  

Как помочь школьнику «включить» математический склад ума

Анна Меликян

Кому нужна математика 

Что объединяет Николу Тесла, Билла Гейтса, Марка Цукерберга и Павла Дурова? Увлечение математикой с самого раннего детства. Любой человек, внесший весомый вклад в развитие человечества, окажется любителем математики. А если вы откроете перечень именитых выпускников какого-нибудь математического факультета, то удивитесь тому, сколько там известных каждому успешных бизнесменов. Увлечение математикой дает возможность приносить пользу обществу. 

Почему не знать математику – вредно

Понять математику дано не всем – так я считал, пока не увлекся работой нашей памяти и внимания. Мои наблюдения показали, что каждый человек способен развить любой навык, если он ему интересен.  

Но почему элементарная математика оказывается по силам не всем детям? Для большинства это может показаться открытием, но всего несколько трудных тем в математике, с которыми ребенок сталкивается в начальной школе, решающие в формировании математического склада ума у ребенка. К примеру, если ребенку трудно запомнить таблицу умножения, он задумывается над тем, а для чего ему собственно нужна математика? Если ребенок не понял «состав числа», то у него не будет базы, чтобы понять арифметические действия.

В старших классах у него сформируется такое же отношение и к другим связанным с математикой предметам – физике, химии, алгебре, геометрии, информатике. А это половина школьных предметов.  

Учителя будут прилагать максимальные усилия, чтобы дети полюбили их предметы, но это может помочь не всем школьникам. Родители в свою очередь ведут их к репетиторам. Но и эта помощь чаще оказывается временной мерой: как правило до экзаменов или каникул, затем школьники все забывают.  

Полагаю, что все дети способны понять и полюбить математику. Но у учителя в начальной школе физически не хватает времени и внимания на всех детей в классе. Поэтому, если вы заметили, что вашему ребенку не дается математика, то скорее всего он не понял какой-то ее «пазл» и от этого пропал весь интерес. 

Математическая тревожность – что это такое 

«Математическая тревожность» у детей выражается в страхе оценки, страхе перед решением задач, учителем математики. И что характерно, она не проходит после окончания школы. Взрослые часто не могут подсчитать сдачу в магазине, совершают необдуманные покупки и берут непосильные кредиты. 

Как вызвать интерес к математике

Родители должны сами контролировать этот процесс. Очень важно, чтобы ребенок понимал, для чего ему нужно знать математику: не важно, чтобы ходить в магазин или для будущей профессии.

  • Пробудить интерес можно через вопросы, которые помогут ребенку «самому догадаться», что математика очень важна и крайне необходима.  
  • Попробуйте настольные игры. Они компенсируют слабость абстрактного мышления, которое необходимо детям для изучения математики. У ребенка мышление образное, а математика абстрактна, и игры позволяют «материализовать» математику. 
  • На мой взгляд, первый самый большой камень, который возникает у детей на дороге изучения математики – это механическое запоминание таблицы умножения, то есть зубрежка. Если использовать для запоминания, например, той же таблицы умножения методики осмысленного, а не механического запоминания, то значительно повышается вероятность сохранить интерес к математике. 

Итак, чтобы сформировать математический склад ума у ребенка, надо приложить усилия еще в начальной школе. Если не уверены в своих возможностях, пригласите репетитора, который сможет вызвать у ребенка интерес к математике. А интерес к математике пробуждает интерес к самостоятельному изучению и других сопредельных с математикой предметов – физики, информатики.

Фото на обложке: Shutterstock / Rido

Тесты на склад ума — математик или гуманитарий?

Каждому, наверное, известно о делении людей по типу склада ума на гуманитариев и математиков. У заботливых мам с первых лет жизни ребенка возникает интерес, как проявляется каждый из них в различном возрасте и чем лучше занять малыша в зависимости от типа его мышления.

Чем различаются математики и гуманитарии?

Если у вашего ребенка математический склад ума, значит ему легко будут даваться точные науки. При этом, скорее всего, у него с ранних лет хорошая память, развито логическое мышление, а решение сложных загадок и головоломок для него в радость.

Если же у малыша гуманитарный склад ума, то решение задач на логику ему в тягость. Считается, что гуманитарии — люди возвышенные, творческие, с хорошо развитой фантазией и интуицией, лишенные стандартов и «рамок», с неограниченным мышлением. Они часто прекрасно рисуют, обладают музыкальным слухом, у них развито чувство прекрасного.

Тест на определение наклонностей ребенка в раннем возрасте

Если ваш ребенок:

  1. Обожает раскрашивать.
  2. Не умеет решать простейшие головоломки для малышей его возраста.
  3. Требует доказательства правдивости сказки.
  4. Имеет отличное обоняние, тонко реагирует на запахи.
  5. Предпочитает игры типа «memory», лото, шашки.
  6. Любит сюжетно-ролевые игры (в «дочки-матери», «войнушку»).
  7. Очень трезво и четко мыслит, поражая родителей и их знакомых.
  8. Любит реалистичные истории про детей или животных больше сказочных рассказов.
  9. Боится темноты.
  10. Много говорит, часто придумывает интересные сказки, истории.

Ответы «да» на вопросы 1, 2, 4, 6 и 10 свидетельствуют о том, что ваш малыш, скорее, гуманитарий. Ответы «да» на вопросы 3, 5, 7, 8 и 9 говорят о том, что у него, наверное, математический склад ума.

Психолог должны провести целый ряд исследований, чтобы создать «карту индивидуальных наклонностей» ребенка

Чем лучше занять малыша, чтобы развивать его способности с детства?

Определить, кем будет ваш ребенок в будущем, когда он еще маленький, достаточно трудно. Основной задачей родителей является не научить его как можно раньше читать или писать, а научить его самостоятельно рассуждать и логически мыслить, ведь именно эти качества во взрослой жизни помогут ему в любой выбранной им профессии анализировать ситуации.

Это не так сложно. Начните с чтения сказок, но после прочтения задайте ребенку несколько вопросов о том, что он услышал. Пусть малыш попробует придумать для истории собственную концовку. Покупайте ему книжки-раскраски, альбомы для рисования, вместе с ним принимайте участие в занятиях. Хорошо, если у вас дома будут какие-либо музыкальные инструменты. И можете быть уверены, что всесторонне развитый с детства малыш не станет только лишь «математиком» или «гуманитарием». Если вы научите его мыслить масштабно, у него не будет проблем в обучении ни в одном из школьных предметов.

Ученые утверждают, что детей, у которых ярко выраженные склонности только к одной области наук, не более 1-2 %, и они сами легко дают понять, что им интересно изучать. Только 12 % очень способных детей имеют четко выраженные наклонности к изучению точных или гуманитарных наук, и все равно их нельзя назвать «чистыми» технарями или гуманитариями. Примерно 5-8 % одаренных детей демонстрируют высокие способности к изучению как точных, так и гуманитарных наук.

В совсем юном возрасте очень сложно определить склад ума ребенка

Как детей разделяют по складу ума

В принципе, каждый человек рождается с задатками к любому виду деятельности, ведь мудрая природа щедро наделяет нас возможностями. Но не у каждого человека эти задатки развиваются в способности.

Пока ваш ребенок не перейдет в среднюю школу, будет очень трудно точно определить, к чему он больше склонен, да и нужно ли? В младших классах начальной школы обучение направлено на развитие способностей, которые необходимы для овладения любой областью знаний, а в будущем и любой профессией — другими словами, ребенка учат учиться. И это правильно, ведь психические процессы, которые влияют на формирование специальных способностей ребенка, развиваются до старших классов, и только к 13-14 летнему возрасту заканчивается формирование разных видов мышления. Вот теперь-то и становится заметно, какие школьные предметы вашему ребенку даются легко и с удовольствием, а какие не вызывают особого интереса.

Конечно, надо учитывать, что не всегда интерес к школьным предметам и оценки дают реальное представление о способностях ребенка. Ньютона в школе считали умственно отсталым. Умный, талантливый, одаренный ребенок в школе может быть как отличником, так и двоечником. Оценки часто зависят не только от интеллекта, но и от психологических особенностей ученика, и характера его отношений с учителями.

На самом деле разделение на математиков и гуманитариев не опирается на какие-либо серьезные исследования в области мозга. Чаще всего такими штампами награждают учеников школьные учителя. Если ребенок не смог быстро дать ответ на уроке, моментально решить в уме пример, растерялся у доски, сразу готов диагноз — гуманитарий, не дано ему решать задачи. Но на самом деле причиной такого поведения ребенка на уроке может быть простое стеснение или особенности его нервной системы.

Какие тесты определяют наклонности к изучению наук у ребенка?

Профессиональные психологи разработали массу специальных тестов для определения наклонностей детей разного возраста. Если вы хотите выяснить заранее склад ума своего ребенка, обратитесь к профессиональному психологу. Специалист предложит ему продолжить логические цепочки, найти лишнее и даст другие задания, чтобы определить уровень развития у него абстрактного мышления, пространственного воображения.

Если способности вашего ребенка еще не выражены столь однозначно, дайте ему попробовать себя в как можно больших видах деятельности. Пусть он делает то, что ему нравится: посещает творческие кружки, собирает модели, рисует, поет, танцует. Главное – занятие должно приносить искреннюю радость.

Обязательно ли иметь математический склад ума, чтобы пойти на IT-специальность и правда ли, что навыки программирования скоро станут базовыми?

Многие задают нам вопрос: могу ли я пойти на IT-специальность, если не так уж хорошо знаю математику, но мне очень интересно? Короткий ответ: да, можешь. А более подробно будем разбираться вместе с Владимиром Баскаковым, преподавателем Института информационных технологий и разработчиком Mail.ru и Yandex.

В ЧЁМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ УНИКАЛЬНОСТЬ IT-ПРОФЕССИИ?

В настоящее время человечество переходит из постиндустриальной эпохи высокопроизводительных машин в информационное общество знаний. Программисты, дизайнеры, специалисты по искусственному интеллекту, Data Science, Big Data — это те уникальные люди, которые строят общество будущего. IT-специалисты приносят максимальную пользу обществу, создавая такие сервисы, как Google, Instagram, Netflix, Amazon, Yandex, Uber, Telegram, Facebook, делающие нашу жизнь комфортнее здесь и сейчас.

КАКИЕ ПРЕДМЕТЫ ВЫ ВЕДЁТЕ И ЧТО ОНИ ДАЮТ СТУДЕНТАМ?

Я преподаю программирование на языке Python. Окончив мой курс, вы сможете создавать программы и системы, решающие любые задачи: автоматизировать рутинную ежедневную деятельность скриптами, создавать сайты-визитки, интернет-магазины, огромные сервисы (такие как DropBox и YouTube), настольные приложение и всё, что может встретиться в жизни. Программирование развивает логическое мышление, способность фокусировать мозг на одной задаче, выбирать важное. А ещё программирование прекрасно тем, что результат работы можно увидеть мгновенно: ещё 10 минут назад ничего не работало, а теперь работает!

КАКОЙ СКЛАД УМА НУЖНО ИМЕТЬ, ЧТОБЫ ПОЙТИ НА IT-СПЕЦИАЛЬНОСТЬ? ОБЯЗАТЕЛЬНО ХОРОШО ЗНАТЬ МАТЕМАТИКУ?

Я глубоко убеждён в том, что, чтобы добиться хороших результатов, нужно быть искренне заинтересованным в предметной области. Делать нужно то, что приносит радость, что зажигает, даёт энергию. Программирование не исключение. Интерес к компьютерам — это необходимое и достаточное условие, чтобы осваивать IT-специальность. Технический склад ума и математическая подготовка могут ускорить освоение, но это не главное, а главное — кайфовать!

ПРАВДА, ЧТО НАВЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ СКОРО СТАНУТ БАЗОВЫМИ, КАК УМЕНИЕ ЧИТАТЬ И ПИСАТЬ?

Определённо, роль программирования будет только расти. В информационном обществе будущего люди будут управлять потоками информации, извлекать неожиданные закономерности и предлагать неординарные идеи, а производством вещей и рутинными операциями буду заниматься роботы. Таким образом, нужны будут люди двух типов: креативщики — те, кто будет придумывать нечто новое, и программисты всех мастей — те, кто будет общаться с машинами и реализовывать то, что придумано.

 

Какой склад ума у программистов

Уже около 40 лет проводятся различные исследования, в ходе которых изучается влияние написания кодов на мыслительные процессы человека.

Ученые заинтересовались этим вопросом почти сразу, как только появилась профессия «программист», то есть в 1970-1980-х гг.

Программирование становится все более популярным, поэтому интерес к теме растет. Специалисты хотят узнать, как навык разработки программ способен воздействовать на человеческий мозг. Также их интересует, какой склад ума должен быть у будущего программиста.

Кто склонен к программированию

Большинство считает, что быть хорошим программистом дано только тем, кто имеет высокий уровень интеллекта и хорошие способности в математике, склонен к анализу и систематизации, умеет четко выявлять взаимосвязь.
О том, как мыслят те, кто пишет коды, можно почитать в книге «Этюды программистов» Чарльза Уэзерелла. Американский специалист описывает способности, развитые у IT-сотрудников, упоминая дифференцированный подход в изучении данных, умение анализировать и оценивать доступные способы решения поставленной задачи, максимально упрощать информацию для машины и людей. Также Уэзерелл указывает, что программист не должен быть самолюбивым, иначе это будет мешать ему признавать ошибки и искать другие способы решения.
Будущий программист должен уметь ясно выражать мысли, наблюдать, искать информацию, самообучаться и постоянно совершенствоваться.

Должен ли программист любить математику

Существует ошибочное мнение, что программисты – это те люди, которые любят математику. Но это не всегда так.
Ученая Е. А. Орел провела исследование, для которого отобрали три группы людей: программистов, бухгалтеров и обычных пользователей интернета. Цель анализа – выявление важных навыков, которые есть у IT-специалистов. Для исследования подобрали вопросы по математическому мышлению (акцент на устные вычисления), вербальным способностям, пространственному и логическому мышлению.

Интересен тот факт, что у программистов уровень математических способностей оказался ниже, чем у людей из остальных двух групп. Причем среди IT-специалистов задействовали исключительно профессионалов, закончивши соответствующие ВУЗы и успевших поработать не менее 3 лет. Возраст респондентов – 23-24 года.
Самые высокие результаты в категории математических способностей показали бухгалтеры. Это не удивляет, ведь они постоянно работают с цифрами, подсчитывают в уме. Сказать такое про программистов нельзя: эти специалисты чаще пишут код, оставляя вычисления компьютеру.

Профессор Г. С. Цейтлин тоже поднимал вопрос о нематематическом складе ума у разработчиков программ. Вышеуказанные исследования только доказали это.
Важно заметить, что в ходе анализа у айтишников выявлен повышенный уровень вербальных способностей, эрудиции, а также логического мышления. Человеку с высоким IQ свойственно иметь именно словесно-логическое мышление. Оно также указывает на предрасположенность к изучению иностранных языков. А вот наличие вербальных способностей располагает к достижению успеха в IT-сфере. Развитая эрудиция никого не удивляет, ведь программисты постоянно учатся и интенсивно задействуют познавательный дар.
Формальное логическое мышление – еще одна важная составляющая мозга программиста. Она объясняется тем, что специалисты стараются особенно внимательно выстраивать алгоритмы, чтобы делегировать машине максимум функций.

Интересные факты открылись во время наблюдений с помощью МРТ за активностью мозга разработчиков при написании кода. У них задействуются отделы, отвечающие также за естественные языки. Так что можно стать профессионалом даже без любви к математике. При этом программирование развивает множество навыков, которые могут пригодиться в будущей жизни и тем, кто не выберет специальность в сфере IT.

Как развить математическое мышление у ребенка? — Блог Викиум

Математика совершенно не зря называется царицей всех наук. Еще великий ученый Михаил Ломоносов указывал, что она приводит в порядок ум. Математический образ мышления необходимо развивать с детского возраста. Наиболее оптимальным возрастом для этого считается 1-3 года. Когда ребенок достигает дошкольного возраста, уже комфортно работать со сформированной базой, совершенствуя ее до того уровня, который нужен в школе.

Рекомендации и комплекс упражнений на развитие математического мышления

Часто математика воспринимается как довольно скучный предмет. Обычно это происходит потому, что для обучения используются только учебники. Что же касается тех детей, чьи родители решили развивать математическое мышление с применением увлекательных задач и наглядных пособий, то они зачастую имеют более выдающиеся результаты.

Вот несколько советов, как взрослый может помочь ребенку в развитии математических способностей:

  • Основное правило – превратите учебный процесс в увлекательное занятие. Не стоит использовать абстрактный образ или сложные понятия, берите то, что ребенку максимально близко – цвета, игрушки или повседневные явления. Кроме того, расчет легких математических выражений в уме непременно пригодится в жизни, покажите ребенку наглядный пример, как ум и расчеты помогают в жизни. Используйте реальные деньги, чтобы малыш смог посчитать, какая сумма ему требуется для покупки, к примеру, конфет.
  • Тренировка каждого компонента мышления – это непрерывный процесс. Чем больше и чаще мы тренируем мозг, тем более выразительным будет результат. Существует заблуждение, что всех людей можно поделить на математиков и гуманитариев. В действительности успешная личность одинаково прекрасно способна разбираться в различных областях науки.
  • Продумайте увлекательный и разнообразный досуг. Обязательно используйте наглядный учебный материал – считалочки, плакаты, ребусы, различные головоломки. Решение задачек можно записывать не только в тетрадях, для большей наглядности также прекрасно подойдет доска.
  • Для разнообразия учебного процесса можно использовать современные онлайн тренажеры, которые позволяют развивать математическую способность в новой и увлекательной форме.
  • Постарайтесь разнообразить умственный труд физической нагрузкой. Наш мозг необходимо постоянно подпитывать, это касается не только интеллектуальных ресурсов, но и физических. Ребенку очень важно хоть парочку часов в день заниматься активными играми. Не стоит слишком перенапрягать ребенка, ему нужно давать развиваться постепенно, в практичной и индивидуальной форме.
  • Недавние научные исследования о том, как развивается наш мозг и математический склад ума, выяснили, что также имеет значение правильное питание. Ежедневно в рационе ребенка должно присутствовать достаточное количество кальция и других полезных витаминов.

Подводя итоги, можно заметить, что для развития математического мышления особо важны регулярные интеллектуальные занятия, разнообразие в сочетании с нестандартным подходом. Именно регулярные тренировки помогут добиться желаемого результата, и это относится не только к ребенку, поскольку в любом возрасте никогда не поздно развиваться. Курс Викиум «Развитие мышления» учит выполнять сложные арифметические действия в уме.

5 простых способов развить математическое мышление роста

Ростовое мышление — горячая тема, но что это такое и как оно соотносится с математикой?

Что такое установка на рост?

Установка на рост — это вера в то, что вы можете развивать способности, прилагая усилия и упорный труд. В отношении образования есть некоторые ключевые характеристики установки на рост.

Учителя или ученики с установкой на рост:

  • считают, что интеллект можно развивать
  • сосредоточиться на обучении vs.получение «правильного» ответа
  • Не сдавайтесь и пробуйте новые стратегии, если что-то не работает
  • размышлять и учиться на ошибках

Учителя математики, вам что-то из этого знакомо? Если нет, давайте посмотрим на «Стандарты математической практики».

Каковы стандарты математической практики?

Эти стандарты являются частью Общих основных стандартов. Однако вместо сосредоточения на содержании они подчеркивают, что делают хорошие математики.

Хороших математиков:

  • настойчиво решать проблемы (SMP 1)
  • проверяют их ответы разными методами (SMP 1)
  • план решения проблемы и переход к ее решению (SMP 1)
  • обосновывать свои ответы и общаться с другими (SMP 2)

Подводя итог, можно сказать, что и установка на рост, и Стандарты математической практики отдают предпочтение процессу, а не получению ответа.

Настоящий вопрос, который волнует многих учителей: КАК заставить детей проявлять настойчивость?

По моему опыту, нельзя просто сказать «ВСЕГДА» и все готово.Чтобы добиться успеха, учащимся нужны инструменты и стратегии, которые позволят им справиться с трудной проблемой.

Итак, давайте поговорим о 5 советах, которые вы можете использовать в классе, чтобы поддержать установку на математический рост.

Совет № 1: Используйте «Думай вслух для моделирования того, как решать проблемы»

Мыслить вслух так важно, и их часто упускают из виду. Если мы хотим, чтобы наши дети развили установку на рост, мы должны смоделировать, как это выглядит.

Возьмите за привычку показывать своим ученикам, как вы решите проблему, и добавьте в их установку на рост принципы усилий и настойчивости.

Пример — «Ребята, задача выглядит очень сложной, но я постараюсь изо всех сил. Сначала мне нужно составить план. Хм. Думаю, я собираюсь нарисовать здесь визуал. Я попробую модель области ».

Совет № 2: задавайте вопросы, которые способствуют развитию проблемы

Выберите проблемы или вопросы, для которых есть несколько путей решения и / или несколько решений.

  • Проблема с открытым маршрутом — Существуют разные пути решения проблемы, но только одно решение.(например, спальня Алисии имеет длину 20 футов и ширину 24 фута. Какова площадь?)
  • Открытая проблема — Есть несколько путей решения и множество решений. (т.е. спальня Алисии составляет 480 квадратных футов. Запишите все возможные размеры.)

Открытые вопросы или проблемы особенно хороши для поощрения установки на рост, потому что процесс становится более важным, чем ответ.

Совет № 3: открывайте возможности, когда учащиеся работают вместе

Если дать вашим детям время поработать с другими, у них будет сформирован арсенал стратегий решения проблем, потому что они будут учиться новым способам решения проблем друг у друга.

Не знаю, как вы, но не раз один из моих студентов мог объяснить свою стратегию решения проблем другому студенту лучше, чем я.

Вы также можете давать командные очки за такие вещи, как усилия и подотчетность, в дополнение к получению правильного ответа.

Совет № 4: Дайте ученикам время рассказать, как они решили проблему

После того, как студенты поработают с партнером, поделитесь любовью!

Призовите выбранных учащихся поделиться и обосновать свои ответы всему классу.Ключ к насыщенному обсуждению — создание безопасной среды, в которой ваши дети захотят поделиться, даже если они не уверены в своих ответах.

Спрашивайте: «Что вы делали, чтобы справиться с проблемой?» «Каков был ваш план нападения?» «Какую стратегию вы использовали?»

Совет № 5: Найдите время подумать (включая ошибки)

Отмечайте процесс, даже ошибки.

Отмечать ошибки?

ДА! На самом деле ошибки ценны, потому что мы учимся на них.

Пример — «Спасибо, что поделились! Я вижу, к чему вы клонили. Я думаю, что многие другие студенты могут иметь такое же заблуждение, поэтому вы нам помогаете. Как ты мог сделать это иначе? »

Я создал этот БЕСПЛАТНЫЙ лист для записей, который вы можете использовать в своем классе, чтобы помочь сформировать в классе установку на математический рост.

И если вашим детям нужно визуальное напоминание о математических стратегиях, которые они могут использовать при решении задач, посмотрите мои диаграммы привязки математических стратегий.

Эти простые в изготовлении плакаты служат отличным справочным пособием для учащихся при решении открытых и открытых вопросов.

БУДЬТЕ УВЕРЕНЫ , чтобы познакомиться с 14 другими замечательными блоггерами, участвующими в обзоре установок на рост.

47

Математическое мышление | Стэнфорд Интернет

Описание

Курс «Математическое мышление» помогает преподавателям вдохновлять и повышать успеваемость по математике. Вы узнаете о последних нейробиологических исследованиях лучших методов, с помощью которых учащиеся изучают математику, а также о конкретных методах и подходах, которые вы можете использовать, чтобы успешно помочь своим ученикам развить установку на рост.

В этом классе д-р Джо Болер представит наглядные примеры того, как она преподавала математику ученикам 6 и 7 классов, используя эти эффективные методы. Преподавательское вмешательство, продолжавшееся 18 уроков, повысило результаты тестов учащихся в среднем на 50%.

Участники также услышат мнение лидеров мнений, таких как Кэрол Двек и Стив Строгац.

Предварительные требования

Учителям рекомендуется сначала пройти курс «Как выучить математику для учителей», прежде чем записываться в программу «Математическое мышление».

Темы включают

  • Способы запуска математического класса справа
  • Послания и похвалы, которые мы даем студентам
  • Обучение наглядной математике
  • Подходы к проектированию и выбору хороших задач
  • Методы поощрения продуктивного обсуждения в классе и в группе
  • Способы поощрения среды, благоприятной для ошибок
  • Методы вдохновляющего решения и исследования математических задач

Банкноты

«Математическое мышление» — это онлайн-курс, состоящий из примерно 30 учебных видеороликов. Это займет около 30 часов. Курс включает в себя онлайн-сообщество, где учителей приглашают обсуждать видео и темы с другими участниками. Он полностью соответствует стандартам Common Core.

Стоимость обучения

  • 99 $ на человека
  • Групповая регистрация доступна по цене 99 долларов США на человека по заказу на покупку, чеку компании, кредитной картой или банковским переводом по электронной почте [email protected]
  • Для групп от 150 человек предоставляется скидка 75 долларов США на человека.Пожалуйста, свяжитесь с [email protected] для получения дополнительной информации о группах от 150 человек и более

Единицы дополнительного образования

Завершив этот курс, вы заработаете 3 единиц непрерывного образования (CEU). CEU нельзя подавать на получение степени Стэнфордского университета. Возможность передачи CEU зависит от политики принимающего учреждения.

Отчет о завершении

Когда вы завершите курс, вы получите электронное письмо со ссылкой для загрузки вашего отчета об окончании.Это письмо будет отправлено на адрес, указанный вами в mystanfordconnection, в течение 1 недели после завершения курса.

Вопросы

Свяжитесь с
[email protected]
или позвоните по телефону 650-263-4144

Math Mindset | Проект вариативности учащихся

Math Mindset включает в себя самооценку учащихся и убеждения в самоэффективности, а также их настрой на неудачи, которые формируют их готовность заниматься математикой.Убеждения студентов о себе как о математике и своей способности заниматься математикой часто имеют циклическую связь с успеваемостью (например, предыдущая академическая успеваемость способствует определенным убеждениям, которые, в свою очередь, предсказывают будущие достижения). Отношение и убеждения учащихся могут определяться их средой обучения математике и опытом работы с математикой.

Основные идеи

Math Mindset включает в себя убеждения учащихся о своих способностях и о значении борьбы и усилий по отношению к математике.

  • Я-концепция: Учащийся с высокой математической самооценкой — это тот, для кого математика является центральным элементом своего «я» и, возможно, считает себя «математиком». По мере того, как учащиеся проходят обучение, они начинают определять, какие области обучения являются для них центральными, частично исходя из своего академического опыта, но также исходя из своего социального окружения (например, стереотипы о том, кто должен хорошо разбираться в математике).
  • Самоэффективность: Самоэффективность включает уверенность и веру в свои способности выполнить задачу.Учащийся с высокой самоэффективностью сохраняет веру в то, что он способен формировать среду и свои собственные академические результаты.
  • Отношение к ошибкам: Отношение учащихся к совершению ошибок и их уверенность в том, что ошибки могут помочь улучшить их, может повлиять на их учебный процесс. Многие студенты рассматривают неудачу и необходимость прилагать усилия для выполнения задачи как признак того, что вам не хватает математических способностей (т. Е. «Фиксированного мышления»), в то время как другие считают неудачи и усилия полезными и необходимыми для обучения (т.е., «установка на рост»).

Дети с лучшим математическим мышлением более склонны к упорству, например, повторно решая сложные задачи и отказываясь от неверных стратегий. Такое позитивное отношение к математическим вычислениям полезно для изучения и установления связей между концепциями. Однако представления о себе и математике не всегда основаны на истине: успеваемость девочек по математике схожа с успеваемостью мальчиков, однако они часто выражают меньшую уверенность и более негативное отношение к математике по сравнению с мальчиками.Этот «разрыв доверия» возникает в средней школе. Поскольку учащиеся активно интерпретируют образовательные события в своей жизни (например, сложное задание по математике, низкая оценка на уроке математики, комментарий родителей), для учителей и родителей важно помочь учащимся понять, что побуждает людей становиться эффективными в математика.

Узнать больше

Просмотр показателей и справочная информация

Математика и установка на рост

Добавить в избранное

Автор Susanna Miller, M.А., продюсер образовательного контента с командой LD @ school

Большинство преподавателей, вероятно, слышали, как ученик сказал: «Я плохо разбираюсь в математике» или «Я не математик». Возможно, вы даже слышали, как эту идею поддерживали родители и другие педагоги. Однако редко можно услышать аналог по другим предметам. Хотя одним учащимся читать дается легче, чем другим, вряд ли вы услышите, как родители говорят: «У моего ребенка просто нет читающего мозга».

Математика отличается от других предметов во многих отношениях, включая акцент на скорость и упор на вычисления, процедуры и правила для получения единственного правильного ответа.Кроме того, математика требует от учащихся постоянного изучения новых математических концепций по мере того, как навыки развиваются более кумулятивно, чем чтение (Sainio, Eklund, Ahonen & Kiuru, 2019), что со временем увеличивает вероятность совершения ошибок и встречи с препятствиями. Это одна из многих причин, по которым учащиеся могут испытывать трудности в классе математики, однако еще более серьезным препятствием на пути к успеху в математике может быть вера в то, что либо учащиеся обладают природным талантом к математике, либо им не хватает того, что нужно для достижения и успеха.Это называется установкой на данность, и учащиеся с ограниченными возможностями обучения (LD) особенно подвержены этому менталитету.

Образ мышления: почему отношение к учебе

Образ мышления — это убеждения людей относительно своих интеллектуальных способностей и способностей других. Некоторые считают, что способность к обучению ограничена или фиксирована, и что мало что можно сделать, чтобы ее изменить. В отличие от этой установки на данность, это установка на рост , которая заключается в убеждении, что с правильными инструкциями и практикой каждый может улучшить свои способности (Двек, 1999).Это не означает, что способности или уровень навыков у всех одинаковы или могут быть одинаковыми, только то, что они могут быть увеличены. Установление роста было подтверждено недавними исследованиями, которые показали, что мозг растет, адаптируется и изменяется на протяжении всей жизни (Boaler, 2016).

В дополнение к тому, что мы знаем о развитии мозга, установка на рост также имеет множество преимуществ для учащихся. Исследования показали, что установка на рост связана с более высокой мотивацией и достижениями (Dweck, 2015).Учащиеся с установкой на рост, как правило, получают более высокие оценки, с большей вероятностью оправятся от первоначальной плохой оценки и сообщают, что ценят учебу больше, чем оценки, которые они получают. Они также с большей вероятностью будут использовать новые стратегии и изменить свой подход, столкнувшись с препятствием, что жизненно важно для успеха в классе математики (Dweck, 2008).

Есть также некоторые свидетельства того, что установка на рост может служить защитным фактором для смягчения негативных последствий стереотипов и неравенства, связанных с полом, культурой или социально-экономическим статусом. Несмотря на недавние исследования, показывающие сходство в математической успеваемости у мужчин и женщин (Lindberg et al., 2010, Kersey et al., 2019), стереотип о том, что мужчины лучше женщин в математике, все еще сохраняется. Этот стереотип мешает женщинам заниматься математикой и отрицательно сказывается на успеваемости студенток на уроках математики. Исследования показали, что когда у студентов есть установка на данность, мужчины, как правило, превосходят женщин. Тем не менее, когда у студенток была установка на рост, они немного превосходили своих сверстников-мужчин, чаще сообщали, что чувствуют себя достойными в математике, и указали, что намерены продолжить изучение математики (Двек, 2008).Установка на рост имеет аналогичные положительные эффекты для учащихся, пострадавших от бедности. Одно исследование показало, что у студентов с низким доходом в два раза больше шансов иметь фиксированное мышление, однако учащиеся с установкой на рост превосходили тех, у кого его не было, независимо от социально-экономического уровня (Claro et al. , 2016). Когда учащиеся считают, что шансы против них, они не успевают. Установка на рост помогает учащимся понять, что их математические способности могут улучшиться и не ограничиваются вещами, находящимися вне их контроля, такими как их гены, пол или социально-экономический статус.

С другой стороны, учеников с установкой на данность склонны полагать, что успех зависит от врожденного таланта, а упорный труд необходим только в том случае, если у вас нет способностей . Эти студенты подходят к заданиям как к способу доказать свой интеллект. Любая борьба при выполнении задачи подрывает их самооценку, и они с большей вероятностью сдадутся, когда задачи требуют больших усилий (Hartmann, 2013). Они меньше рискуют и не стремятся пробовать новые подходы (Тугенд, 2007). Они также менее склонны полагать, что дополнительные усилия улучшат их выполнение задач, что делает их склонными к негативным стратегиям, таким как обман и ложь о своих оценках (Dweck, 2008).

LD и мышление

Студенты с LD часто сталкиваются с повторяющимися неудачами и должны работать больше, чем другие студенты, чтобы достичь тех же результатов. Их прошлые трудности приучили студентов с LD к установлению на данность. В классе математики трудности, с которыми сталкиваются ученики с LD, могут усугубляться. Природа математики означает, что не только учащиеся с определенным нарушением обучаемости по математике (например, дискалькулия) борются с трудностями. Проблемы с рабочей памятью, вниманием, планированием и саморегуляцией могут подвергать учащихся риску столкнуться с трудностями в классе математики (Witzel & Little, 2016).Учащиеся с LD, которые влияют на их языковые способности, также могут столкнуться с препятствиями, когда математические инструкции включают сложную терминологию.

Щелкните здесь, чтобы просмотреть вебинар SLP в классе математики — расширение возможностей учащихся математики посредством сотрудничества между преподавателями и патологами речи

Прошлые академические трудности предрасполагают учащихся с LD к развитию негативных эмоций по поводу их обучения, что усиливает установку на данность. Как и другие студенты с установкой на данность, студенты с LD:

  • склонны получать удовольствие и меньше ценить обучение
  • менее мотивированы к выполнению задач
  • с большей вероятностью избегают задач
  • , как правило, имеет более низкую самооценку

(Sainio et al., 2019, Хартманн, 2013)

Специальные методы обучения, такие как дифференцированное обучение, могут помочь учащимся, испытывающим трудности в математике, усвоить необходимые концепции, однако эта поддержка не затрагивает убеждения учащихся с LD о себе и других, которые ограничивают их достижения.

Изменение мышления

Хорошая новость в том, что мышление можно изменить; часто простыми средствами. В одном исследовании с участием 400 учеников пятого класса половине сказали, что они «по-настоящему умны» после успешной сдачи теста, в то время как другую половину хвалили за приложенные усилия.Затем учащихся попросили выполнить одно из двух заданий: простое, с которым они справятся хорошо, или более интересное, но более сложное. Большинство студентов, которым сказали, что они сообразительны, выбрали простое задание, в то время как 90% студентов, получивших похвалу за их усилия, выбрали более сложное (Тугенд, 2007). Простое внесение небольших изменений в способ преподавания в классе математики может иметь огромное влияние на обучение и успеваемость, особенно для студентов с ограниченными возможностями. Тем не менее, важно отметить, что изменение мировоззрения — это постоянная цель, а не разовая деятельность.Когда установка на рост встроена в ваши ежедневные планы уроков, это дает как ученикам с LD, так и их преподавателям время для практики и усвоения этого нового образа мышления.

Советы по созданию «математического мышления»

  • Увидьте в себе установку на данность.

Большинство учителей придерживаются комбинации фиксированного мышления и установки на рост, поскольку они видели, как учащиеся учатся и совершенствуются при правильной стратегии и поддержке. К сожалению, учителя дисциплин STEM (естественные науки, технологии, инженерия и математика) наиболее склонны придерживаться фиксированных представлений о том, какие ученики могут преуспеть в этих областях (Boaler, 2016).Таким образом, преподавателям важно осознавать и признавать свою собственную тенденцию к установлению на данность в их педагогической и образовательной философии. Даже если эти убеждения не очевидны для вас или не выражены устно учащимся, вы все равно можете посылать неверный сигнал. Такая простая вещь, как группировка учащихся по уровню навыков, даже если учащимся не указано явно, какая группа к какой входит, может сигнализировать учащимся, что одни люди принадлежат к ним, а другие нет.

Когда педагог принимает установку на рост, это оказывает положительное влияние на весь класс. Учителя с установкой на рост в математике более обнадеживают и предлагают учащимся более конкретные стратегии для совершенствования. Когда учителя считают, что интеллект и способности неизменны, только ученики, которых они считают способными, преуспевают в своих классах. С установкой на рост преуспевает более широкий круг студентов (Dweck, 2008). Чтобы привнести установку на рост в свой математический класс, вы должны сначала смоделировать ее!

  • Измените диалог в вашем классе.

Ученики основывают свое мышление в основном на отзывах и похвале, которые они получают от воспитателей, включая родителей и учителей. Если хвалить ученика за его усилия, а не за его интеллект, это бросит вызов фиксированному мышлению и укрепит установку на рост. Как описывает Джо Булер в Mathematical Mindsets , «когда ученики слышат, что они умны, они сначала чувствуют себя хорошо, но когда они борются и терпят неудачу — а все это делают — они начинают верить, что они не такие умные» (2016, стр 178). ).Когда цель — быть умными в глазах учителя, ученики должны снова и снова доказывать свой ум.

Сосредоточьтесь на процессе НЕ на продукте или на человеке . Вместо того, чтобы говорить ученикам, что они умны для получения правильного ответа, сделайте комплимент логике их мышления, их способности менять подходы, когда кто-то не работает, их настойчивости или их совершенствованию. Предоставляя ориентированную на рост обратную связь, в которой хвалят процесс, вы можете помочь учащимся успешно справляться с трудностями.

  • Не поддавайтесь желанию утешить студентов, когда они делают ошибки или сталкиваются с неудачами.

Хотя вашим ученикам может показаться утешительным слышать, что «не все хороши в математике», когда они расстроены плохой оценкой на тесте, такое отношение в конечном итоге навредит им. Он дает понять, что некоторые ученики, умные, всегда будут преуспевать в математике, а те, кто борется, никогда не добьются успеха. Подобные утверждения позволяют студентам перестать пытаться занижать их ожидания от самих себя.Вместо того, чтобы давать студенту пустое утешение, сфокусируйте свой отзыв на том, что ученик может сделать по-другому в будущем, или даже позволить ему исправить свои ошибки для получения дополнительных оценок .

Математика — сложный предмет, в котором учащиеся неизбежно совершают ошибки, причем очень многие. Однако для студентов с установкой на данность ошибки могут настолько отпугивать, что они в конечном итоге сдаются, а не продолжают. Следовательно, важно, чтобы ошибались как обычная часть процесса обучения по математике, чтобы побудить учащихся упорствовать и проявлять ценность в процессе обучения.Подчеркните ученикам, что ошибки означают, что они учатся и что они активно меняют свой мозг. Сообщите им, что цель математического класса не в том, чтобы давать правильные ответы, а в том, чтобы шаг за шагом расти и углублять их понимание.

Еще один способ исправить ошибки в классе математики — это поделиться ВАШИМИ ошибками с учениками . Это продемонстрирует студентам, что даже человек с более высокими математическими академическими достижениями также может ошибаться, и это нормально.Вы также можете захотеть сделать действие из ошибки, которую вы сделали — попросите учащихся обнаружить ошибку, найти альтернативное решение, обсудить в классе свой процесс обнаружения и исправления ошибки и то, что они узнали из этого упражнение.

  • Принять несколько способов решения проблем

Хотя часто есть только один правильный ответ на вопрос по математике, есть много путей, которые могут привести к этому ответу. Призовите учащихся найти несколько способов решения математических задач. Позвольте им визуализировать, рисовать, использовать манипуляторы и делиться своими стратегиями с классом посредством числовых разговоров. Тот факт, что разностороннее мышление все же может привести к правильному ответу, показывает учащимся, что есть много способов добиться хороших результатов в математике, и поощряет творчество.

Щелкните здесь, чтобы прочитать статью «Задайте вопрос экспертам», Являются ли Number Talks эффективной стратегией для студентов с LD?

Хорошие математические способности часто приравниваются к быстроте. Принуждение к быстрому вспоминанию математических фактов может привести к математической тревоге, которая сейчас отмечается у учащихся в возрасте пяти лет (Boaler, 2016). Кроме того, ускоренное прохождение математического листа в соответствии с ограничениями по времени или спешка, чтобы вспомнить факты, когда их поставили на место, отговаривают учащихся от глубокого размышления. Студенты могли запомнить необходимые формулы, не понимая их значения или не будучи в состоянии объяснить, почему их ответы имели смысл. Вместо того, чтобы давать студентам рабочий лист, полный уравнений, которые нужно решить за определенный период времени, рассмотрите возможность задания одной или двух сложных задач, требующих более глубокого осмысления.

Заключение

Образ мышления может влиять на обучение по всем предметам, однако математика — это область изучения, и ученики, и учителя склонны рассматривать ее через призму фиксированного мышления.Хотя это может показаться негативным, это также означает, что математика — это та область обучения, где установка на рост может иметь наибольшее влияние. Смещая акцент во время обучения математике с интеллекта и естественных способностей на развитие, настойчивость и мыслительные способности ученика, вы меняете то, как ученики воспринимают себя как учеников, что играет ключевую роль в их мотивации и достижениях. Если вы хотите, чтобы ученики, которые видят свою роль на уроке математики в том, чтобы глубоко думать и понимать окружающий мир, установка на рост — это шаг в правильном направлении.При правильном мышлении, обучении и поддержке все учащиеся могут учиться и развивать свои способности в классе математики.

Ссылки:

Боулер, Дж. (2016). Математическое мышление: раскрытие потенциала студентов через творческую математику . Сан-Франциско, Калифорния: Jossey-Bass & Pfeiffer Imprints.

Двек, К.С. (1999). Теории Я: их роль в мотивации, личности и развитии . Филадельфия: Тейлор и Фрэнсис / Psychology Press.

Двек, К.С. (2008). Установки и достижения в математике / науке. [онлайн] Growthmindsetmaths.com. Доступно по адресу: https://www.growthmindsetmaths.com/uploads/2/3/7/7/23776169/mindset_and_math_science_achievement_-_nov_2013.pdf [по состоянию на 19 ноября 2019 г.].

Двек, К.С. (2015). Кэрол Двек пересматривает установку на рост . Неделя образования , 35 (5), 20-24.

Хартманн, Г. (2013). Взаимосвязь между мышлением и учащимися с особыми трудностями в обучении (магистерская диссертация). Государственный университет Гумбольдта.СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ.

Kersey, A. J. Braham, E.J., Csumitta, K.D. и другие. (2018). Никаких внутренних гендерных различий в начальных способностях детей к счету. Npj Science of Learning, 3 (12). DOI: 10.1038 / s41539-018-0028-7

Линдберг, С. М., Хайд, Дж. С., Петерсен, Дж. Л., и Линн, М. К. (2010). Новые тенденции в гендерной и математической успеваемости: метаанализ. Психологический бюллетень, 136 (6), 1123–1135. DOI: 10.1037 / a0021276

Сайнио П., Эклунд К., Ахонен Т. и Киуру Н.(2019). Роль трудностей обучения в академических эмоциях подростков и академической успеваемости. Журнал нарушений обучаемости. 52 (4). 288-298.

Тугенд, Алина. (2007, 24 ноября). Множество ошибок в мышлении. Нью-Йорк Таймс. Получено с http://www.nytimes. com/2007/11/24/business/24shortcuts.html

.

Витцель Б. С., Литтл М. Э. (2016). Обучение элементарной математике отстающим учащимся. Нью-Йорк: Гилфорд Пресс.

Susanna Miller — производитель образовательных материалов для LD @ school. Она получила степень бакалавра гуманитарных наук в области лингвистики в Королевском университете и степень магистра гуманитарных наук в области исследований в раннем детстве в Университете Райерсона. Сюзанне нравится общаться с педагогами-новаторами по всей провинции, а также получать доступ к новейшим исследованиям в области LD и делиться ими. Ее любимая часть работы — слушать истории успеха студентов.

Раскрытие потенциала студентов с помощью творческой математики, вдохновляющих сообщений и инновационного обучения Джо Булер «Dr.Дуг Грин

Математическое мышление: раскрытие потенциала студентов с помощью творческой математики, вдохновляющих идей и новаторского обучения by Jo Boaler

Математический образ мышления: раскрытие потенциала учащихся с помощью творческой математики, вдохновляющих идей и новаторского обучения Джо Булер и вперед Кэрол Двек начинается с предпосылки, что математика является предметом, наиболее нуждающимся в преобразовании. Джо использует современные исследования мозга, чтобы показать, как изменения в обучении и воспитании могут изменить математические пути учащихся.Щелкните внизу любой страницы, чтобы получить эту книгу для родителей и людей в вашей школе, отвечающих за преподавание математики.

Jo Boaler

  • Джо — британский автор по образованию и профессор математического образования Стэнфордской высшей школы образования. Она участвует в продвижении реформы математического образования и создания равноправных классов математики. Она является генеральным директором и соучредителем Youcubed, некоммерческой организации, которая предоставляет ресурсы для обучения математике родителям и преподавателям школьников до 12 лет.Она является автором семи книг, в том числе What’s Math Got To Do with It? и Слон в классе . Ее книга «« Опыт школьной математики »получила награду« Лучшая книга года »в области образования в Великобритании. В настоящее время она работает редактором комментариев к журналу , посвященному исследованиям в области математического образования.

1. Мозг и изучение математики

  • Джо начинает с объяснения силы установки на рост по сравнению с установкой на данность.Это сосредоточено на работе Кэрол Двек. Обязательно прочитайте мое краткое содержание книги Кэрол Двек «Мышление : новая психология успеха — как мы можем научиться реализовывать свой потенциал». Это поможет вам решить, хотите ли вы его приобрести, и проанализировать ключевые концепции после того, как вы его прочитаете. Учителя и родители играют здесь ключевую роль, поскольку они несут ответственность за то, чтобы сказать ученикам, что интеллект не является чем-то фиксированным при рождении. Им также следует избегать сообщения о том, что только некоторые дети хорошо разбираются в математике.Джо считает, что нет никаких причин, по которым около 95% всех учеников могут изучать математический анализ в старшей школе. Она также отмечает, что в изучении математики не должно быть заранее установленного темпа.

DrDougGreen. com Если вам нравится резюме, купите книгу

Эта запись была опубликована в четверг, 5 сентября 2019 г., в 7:22 и подана в рубрику «Сводки книг», «Учебные книги». Вы можете следить за любыми ответами на эту запись через RSS 2.0 корма. Вы можете оставить отзыв или откликнуться со своего сайта.

Frontiers | Изменение мышления учащихся и их достижений в математике: влияние бесплатного онлайн-курса для учащихся

Введение

Существует ряд разрушительных и широко распространенных мифов об обучении математике в США, которым верят миллионы школьников, их родители и учителя. Эти различные мифы сдерживают учащихся в повседневной жизни и значительно снижают их обучение и достижения (Boaler, 2016).Одна из самых разрушительных — это идея о том, что некоторые люди рождаются с «математическим мозгом», а некоторые нет, и что высокие достижения доступны только некоторым ученикам. Две области исследований важны для развенчания этого мифа и улучшения обучения студентов. Во-первых, недавняя нейробиология показала пластичность мозга, показав, что мозг может расти и изменяться (Maguire et al., 2000). Во-вторых, исследование мышления, показывающее, что, когда люди меняют свои представления о гибкости своего потенциала с «фиксированного» (моя способность неизменна) на «рост» (моя способность меняется по мере того, как я учусь), их обучение и достижения улучшаются (Двек, 2006).Различные исследования, впервые проведенные Кэрол Двек, показали, что ученики с установкой на рост достигают более высоких уровней, чем ученики с установкой на данность (Blackwell et al., 2007; Claro et al., 2016), и что когда студенты меняют свое мышление, их достижения изменения (Aronson et al., 2002; Good et al., 2003). Второй разрушительный миф — это идея, что изучение математики — это все о процедурах и запоминании, а не об идеях, концепциях и творчестве. Исследования показывают, что ученики, которые подходят к математике как к предмету запоминания, имеют более низкие достижения, чем те, кто рассматривает ее как предмет идей, о которых они могут глубоко задуматься (Boaler and Zoido, 2016). Третий миф, в который верят студенты, заключается в том, что хорошие студенты-математики должны быть быстрыми, когда некоторые из ведущих математиков мира думают медленно (Boaler, 2016). В этом исследовании изучается влияние «массового открытого онлайн-курса» (МООК) для студентов, цель которого — изменить эти идеи и научить студентов, как хорошо изучать математику.

MOOC включает шесть модулей, выполнение каждого из которых занимает 15–20 минут. Преподавателем курса является ведущий автор, Джо Болер, профессор математического образования в Стэнфорде, которого сопровождает несколько ее студентов.Некоторые из ключевых идей курса:

• Каждый может выучить математику на высоком уровне

• Ошибки, вызовы и борьба — лучшее время для роста мозга

• Глубина мышления важнее скорости

• Математика — творческий и красивый предмет

• Хорошие стратегии для изучения математики, включая разговор и рисование

• Математика — это все, что нас окружает в жизни, и она важна — это показали разные студенты, показавшие математику в футболе, природе, жонглировании и танцах.

Курс включает в себя серию коротких видеороликов, в которых учащиеся могут поразмышлять над идеями, пообщаться с другими учащимися по курсу и поработать над открытыми математическими задачами, призванными сформировать у учащихся восприятие этих основных идей. (См. дополнительную информацию об онлайн-курсе в дополнительном примечании.)

В этом документе описываются результаты рандомизированного контролируемого исследования (RCT), в котором изучалось влияние курса на участие учащихся средней школы в уроках математики, их убеждения и образ мышления, а также их академические достижения на государственных тестах — Консорциум Smarter Balanced Assessment Consortium ( SBAC) Суммативная оценка.Оценки SBAC определяют прогресс студентов в поступлении в колледж и готовность к карьере по английскому языку, грамотности и математике. Они проводятся в конце учебного года и состоят из двух частей: компьютерного адаптивного теста и задания на успеваемость.

Исследования влияния бесплатных онлайн-классов — или МООК — показали неутешительные результаты: на смену ранним обещаниям равного доступа к образованию пришла суровая реальность с низкими показателями окончания и преобладанием привилегированных учащихся (Hansen and Reich, 2015). Это исследование дает совсем другой результат, показывая, что стратегически разработанный курс с тщательным учетом доступа значительно повлиял на способы обучения студентов математике и последующие достижения, независимо от пола, этнической принадлежности, уровня изучения языка или благосостояния студентов.

Проект

школьных округа Калифорнии были набраны с помощью различных объявлений на конференциях и семинарах. Школьные округа, которые были готовы предоставить данные о влиянии курса, были приняты.Это исследование было проведено в соответствии с рекомендациями Управления нормативно-правового соответствия Стэнфордского университета. Протокол был одобрен Наблюдательным советом Стэнфордской высшей школы образования. Все субъекты дали письменное информированное согласие в соответствии с Хельсинкской декларацией. Наш анализ показывает результаты для четырех школьных округов в Калифорнии, где 1090 учеников обучаются в 10 различных средних школах в четырех округах. В онлайн-классе приняли участие 439 студентов и 651 студент из контрольной группы. В выборке было 14 учителей. Таблицы 1, 2 предоставляют дополнительную описательную статистику об образце.

Таблица 1 . Наблюдения, использованные в исследовании.

Таблица 2 . Описание исходных признаков.

Используя план исследования с отложенным лечением, который позволил рандомизировать учеников без ограничения доступа некоторых учеников к полезному курсу, в то время как их одноклассники этого не сделали, мы наняли учителей средней школы, которые преподавали по крайней мере 2 класса 6, 7 или 8 класса по математике. .Для каждого учителя половина их классов была случайным образом отнесена к экспериментальной группе, а половина — к контрольной группе. Учащиеся в условиях лечения и контроля обучались одними и теми же учителями, что позволяло контролировать характеристики учителей. Классы, отнесенные к экспериментальной группе, проходили онлайн-класс в первые несколько месяцев учебного года. Студенты, завершившие не менее 4 модулей, считались прошедшими лечение.

В таблице 3 представлен график основных мероприятий проекта.Студентам контрольной группы был предоставлен доступ к курсу по завершении исследования.

Таблица 3 . Сроки реализации проекта.

Результаты

Используя регрессию обыкновенных наименьших квадратов (OLS), контролирующую базовые различия (пол, этническая принадлежность, статус бесплатного и сокращенного обеда, статус изучающего английский язык (ELL) и статус специального образования), мы проверили влияние вмешательства. Сводная описательная статистика для показателей SBAC представлена ​​в таблице S1.

Мы обнаружили лечебный эффект, свидетельствующий о том, что участники MOOC получили более высокие баллы по общей шкале SBAC по математике, общим уровням знаний, а также концепциям и процедурам (Smarter Balanced Assessment Consortium, 2013). Фактически, учащиеся, прошедшие курс лечения, набрали 0,33 стандартного отклонения по общей шкале SBAC по математике; то есть средний ученик в экспериментальной группе набрал бы больше, чем 63% контрольной группы, которая изначально была эквивалентной (см. Таблицы 4, 5).Подшкалы теста SBAC также были значительно выше для группы лечения. Более подробная информация о технических характеристиках модели приведена в Таблице S2. Кроме того, дальнейший анализ показывает положительный и значительный эффект лечения для подгрупп учащихся, определяемых по этнической принадлежности, полу, экономическому статусу, статусу ELL, статусу специального образования и классу школы (см. Таблицу S3).

Таблица 4 . Оценки регрессии, влияние MOOC на математические оценки SBAC.

Таблица 5 .Стандартные отклонения увеличиваются в оценках по математике SBAC.

Сильный дизайн, предложенный РКИ, проведенным в этом исследовании, был частично компенсирован ограничениями доступа к данным. На разных этапах сбора данных некоторые школы, участвовавшие в первоначальном проекте исследования, предоставили неполные данные о своих учениках. В первом опросе участников приняли участие 193 учителя, которые проявили интерес и участвовали в первоначальной ориентации проекта. На первое мероприятие опроса в августе 2014 г. ответили 73 учителя и 6 727 учеников в 27 школьных округах.К декабрю 2014 года размер выборки сократился до 31 учителя и 1645 учеников в 10 школьных округах. Отказ от участия в исследовании был в основном из-за технических трудностей на школьном уровне — учащимся требовались адрес электронной почты и пароль для посещения онлайн-класса, которые многие округа не могли предоставить. Некоторые школы также сообщили, что не могут получить доступ к онлайн-курсу из своих классных комнат из-за настроек безопасности окружного брандмауэра, которые не могли быть устранены во время исследования. Дальнейший отсев произошел, когда некоторые округа не предоставили полные данные государственных тестов, обычно из-за нехватки персонала.

Важно отметить, что отсев не был систематическим и не был связан с переменными результата. Фактически, отсев может привести к смещению отбора в рандомизированных испытаниях, поэтому он был полностью исследован, как объясняется ниже. Наиболее важной проблемой внутренней валидности при оценке причинно-следственных связей является предположение о том, что назначение студентов лечению и контролю является случайным. Согласно этому предположению, оценки действительны, если исходные черты учащихся статистически схожи для учащихся, проходящих курс лечения, и учащихся контрольной группы.Таблица 6 подтверждает это предположение, исследуя, меняются ли черты учащихся в зависимости от состояния лечения / контроля (таблица S4 включает полную регрессионную информацию). Каждая балльная оценка основана на отдельной регрессии, где ковариата каждого базового учащегося (т. Е. Пол, этническая принадлежность, экономическое положение, ограниченное владение английским языком и специальное образование) является зависимой переменной. Предполагаемое влияние статуса лечения на эти ковариаты невелико и статистически незначимо, что позволяет предположить, что исходные характеристики студентов статистически схожи как для учащихся, прошедших курс лечения, так и для учащихся контрольной группы. Эта проверка достоверности показывает, что экспериментальная и контрольная группы сопоставимы и эквивалентны на исходном уровне. Другими словами, группы лечения и сравнения статистически эквивалентны во всех наблюдаемых аспектах, за исключением вмешательства, что исключает угрозу систематической ошибки отбора.

Таблица 6 . Вспомогательные регрессии базового ковариатного баланса.

Изменения в вовлеченности учащихся в класс

Чтобы понять возможные механизмы для улучшения эффекта лечения академической успеваемости, в исследовании также изучалась вовлеченность студентов и их убеждения, связанные с преподаванием и обучением математике.Участвующих преподавателей попросили оценить вовлеченность студентов до и после того, как студенты прошли онлайн-класс, как в их лечебных, так и в контрольных классах. Учителя наблюдали за учениками по четырем параметрам вовлеченности: (а) ученик участвует в обсуждениях в классе, (б) ученик работает изо всех сил, (в) ученик, кажется, вовлечен в классную работу, и (г) ученик быстро сдается. В таблице 7 показаны две практики, которые показали значительные различия в том, как учащиеся участвовали в занятиях между контрольными и лечебными классами.

Таблица 7 . Результаты и исходные характеристики студентов в рандомизированном контролируемом исследовании MOOC.

Изучение вовлеченности студентов потребовало много времени учителя, и только 4 из 14 учителей предоставили полные данные о вовлеченности студентов в математический класс. Данные из этой подгруппы показывают значительный эффект для студентов, которые прошли онлайн-курс. Величина эффекта лечения на вовлеченность студентов составила 0,47 SD (см. Последнюю строку таблицы 5), что означает, что средний учащийся в исследуемой группе будет иметь более высокие баллы по шкале вовлеченности, чем 68% контрольной группы с учетом базовых различий (см. До / после прироста вовлеченности студентов, последний столбец таблицы 8 для оценок регрессии).Студенты из экспериментальной группы больше участвовали в обсуждениях в классе и не бросали работу так же быстро, как их коллеги из контрольных классов. Эти результаты позволяют понять причины, по которым учащиеся исследуемой группы достигли значительно более высоких уровней при сдаче государственных тестов по математике. Один из компромиссов в нашем дизайне заключается в том, что, поскольку мы использовали план «внутри учителя», учителя знали, какие из их классов были определены как контрольные и лечебные, что создавало потенциальную угрозу для действительности этой меры.Мы включаем показатель увеличения вовлеченности в качестве переменной-посредника для положительного эффекта лечения в стандартизованном тесте, представленном ранее. Наша цель при использовании этого показателя состояла в том, чтобы изучить возможные факторы, благодаря которым убеждения учащихся в математике могли привести к более глубоким формам участия в классе, помогая объяснить рост успеваемости учащихся. Будущие исследования будут включать опросы учащихся, которые не основываются на отчетах учителей, что укрепит наш дизайн.

Таблица 8 . Оценки регрессии, влияние MOOC на опросы студентов.

Изменения в мышлении студентов

Предварительный и последующий опрос, измеряющий сдвиги в убеждениях студентов, был проведен 156 студентами и позволяет получить более подробное представление об увеличении академических достижений студентов. (Эти цифры низки, поскольку, хотя 1090 студентов приняли участие в опросе, только 156 студентов прошли предварительный и последующий опрос). Несмотря на то, что процент ответивших составил 14%, таблица S5 показывает, что подмножество студентов, заполнивших предварительный и последующий опрос, на самом деле представляли большую группу из 1090 студентов.

Было отмечено значительное влияние лечения на убеждения трех студентов (см. Таблицу 8 для оценок регрессии и Рисунок 1, на котором сравниваются ответы на опрос в группах лечения и контрольной группы). У учащихся, участвовавших в лечении, были значительно более высокие показатели установки на рост (Mindset) и их восприятия математики как интересного и творческого предмета (Math Creative). Они также сообщили, что чувствуют себя менее напуганными или легко сдерживаемыми в математике (Fear of Math). Конкретные элементы опроса для каждого кластера и альфа-уровней приведены в таблице 9.

Рисунок 1 . Баллы опроса студентов и размер эффекта по группам.

Таблица 9 . Показатели обследования мышления учащихся (элементы кластера с альфа-уровнями) 1 = Совершенно не согласен, 2 = Не согласен, 3 = Скорее не согласен, 4 = Скорее согласен, 5 = Согласен, 6 = Полностью согласен.

Значительные изменения в вовлеченности и убеждениях учащихся, вероятно, объясняют, по крайней мере частично, повышение успеваемости учащихся по математике.Это открытие подтверждает растущий объем работ, демонстрирующих связь между представлениями учащихся о своем потенциале и их представлениями о математике. Трудно поддерживать установку на рост и идею, что вы можете выучить любую математику, когда предмет представлен в виде серии коротких закрытых вопросов, в которых нет места для роста или обучения. Сан (2015) показал, что у учащихся сформировалось больше установки на рост, когда учителя представляли математику как предмет с большими возможностями для роста и обучения, а не для выполнения и ответов на вопросы.Вывод о том, что учащиеся в этом исследовании изменили отношение к математике как к более творческому предмету, а также выработали больше установок на рост, подтверждает эту важную связь (см. Также Boaler, 2016).

Обсуждение

В соответствии с предыдущими исследованиями, это исследование обнаруживает значительную связь между мышлением студентов и их результатами обучения (Mueller and Dweck, 1998). Учащиеся в экспериментальной группе сообщили о большем количестве убеждений в отношении роста и более стремительном поведении, чем в контрольной группе.Отличительной особенностью этого исследования является влияние онлайн-класса на изменение отношения учащихся к математике с последующими изменениями в успеваемости учащихся. Большая часть исследований мышления сосредоточена на изменении мышления учащихся вне зависимости от содержания преподавания и обучения; Напротив, это исследование исследует вмешательство, которое сочетает в себе образ мышления с изменившимися взглядами на математику и математическое взаимодействие. Это исследование показывает, что вмешательство, направленное на пересечение мышления и математики, может улучшить академические достижения учащихся, а также их поведение и убеждения относительно математики.

Эти результаты особенно важны в свете продолжающейся озабоченности по поводу достижений в математике в США. В последних международных сравнениях студенты в США заняли 40-е место из 72 стран (OECD, 2016). Это проблема, которая преобладала на протяжении десятилетий, несмотря на обширное исследование, показывающее, как хорошо преподавать математику (Schoenfeld, 2002; Boaler, 2015, 2016). Низкая успеваемость по математике — не единственная проблема, с которой сталкиваются США: математическая тревога широко распространена среди школьников и населения в целом (Ashcraft and Krause, 2007; Foley et al., 2017). Наибольшее внимание этому вопросу уделяется стандартам учебных программ и учебникам, используемым в классах. Хотя эти вопросы важны, они могут быть не более важными, чем проблема, которой полностью пренебрегают — тот факт, что большинство студентов сидят в классах математики, от детского сада до университета, думая: «Я не математик». В дополнение к этому разрушительному убеждению, немногие студенты научились подходить к математике как к концептуальной области, а не как к набору процедур. Данные этого рандомизированного контрольного исследования показывают академическое влияние изменения этих убеждений и подходов на студентов.

Мы осознаем ограничения нашего исследования. Наша выборка была взята из учащихся средней школы в одном штате, поэтому для более широкого обобщения потребуются дополнительные исследования с более широкой шкалой классов и в более различных географических регионах. Кроме того, для оценки вовлеченности студентов мы опирались на наблюдения учителей за учениками в классе. Наше исследование можно было бы улучшить, если бы мы также включили опросы о вовлеченности студентов.

Большинство исследований MOOCS показали неутешительные результаты: у онлайн-классов низкая посещаемость и сохраняется несправедливость открытого доступа, против которой изначально были задуманы MOOC ( 9 ). Онлайн-класс, который был предметом этого исследования, имел другой результат: студенты продолжили курс и значительно улучшили свои убеждения и достижения, независимо от пола, этнической принадлежности, уровня изучения языка или благосостояния студентов. Тот факт, что этот MOOC использовался как часть образовательного мероприятия и проводился учителями, является одной из причин продолжения участия студентов. Другой, как мы утверждаем, — это педагогика активного участия внутри курса. Большинство MOOC основаны на лекциях, что, вероятно, было бы неэффективным даже в классной комнате.На курсе «Как учить математику» студентов приглашали каждые несколько минут участвовать в процессе, отвечая на вопросы, комментируя видео и общаясь с другими. Поскольку в течение следующих нескольких десятилетий MOOC разрабатываются и совершенствуются, кажется, что важным достижением станет включение возможностей для более активного взаимодействия.

Многие школьники в США и во всем мире сдерживаются разрушительными идеями об обучении и их потенциале, особенно в математике. Существует широко распространенный миф о том, что ученики либо рождаются с математическим мозгом, либо нет, и когда ученики борются, они часто решают, что просто не математики.РКИ, являющееся предметом настоящего исследования, показало, что студенты могут быть освобождены от этих вредных идей, и когда они появляются, это улучшает их участие и успеваемость. Онлайн-курсы для учителей, которые также сосредоточены на сообщениях об образе мышления и идеях для активного преподавания математики, также показали, что меняют достижения и убеждения учащихся (Anderson et al., Анализируется). Вместе эти исследования показывают важность изменения мировоззрения учителей и учеников, чтобы ученики могли изучать математику, не сдерживаясь разрушительными убеждениями.Они также демонстрируют потенциал онлайн-курсов, обладающих большой масштабируемостью и широким доступом, как эффективных возможностей обучения, позволяющих привлечь лучших преподавателей и самых передовых исследований к студентам, которые в них больше всего нуждаются.

Авторские взносы

JB разработал и руководил исследованием, CW руководил набором и реализацией, GP-N и KS проводили анализ, вся команда интерпретировала результаты, JD и GP-N участвовали в написании и редактировании и руководили процессом написания и проверки всеми членами команды.

Финансирование

Это исследование финансировалось Национальным научным фондом (NSF), Research on Education and Learning (REAL), номер премии 1443790. JB, главный исследователь, Стэнфордский университет.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось в отсутствие каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Дополнительные материалы

Дополнительные материалы к этой статье можно найти в Интернете по адресу: https: // www.frontiersin.org/articles/10.3389/feduc.2018.00026/full#supplementary-material

Дополнительное примечание к онлайн-курсу для студентов

Онлайн-класс, который был в центре внимания данного исследования, сейчас прошли более 160 000 участников — студентов-математиков всех уровней от начальной школы до колледжа. Его также использовали десятки тысяч учителей и родителей, поскольку обеим группам взрослых помогает знание последних исследований способов изучения математики. В дополнение к отдельным слушателям курса, учителя учеников в возрасте 5 лет поделились видео со своими учениками.Занятие бесплатное, его можно посещать в любое время и в любом темпе. Учащиеся могут посещать занятия в своем школьном классе, как это делали учащиеся исследования, или дома. Модульный характер курса позволил учителям использовать его по-разному: используя курс в летней школе, как способ начать учебный год или внедрять его в течение всего года.

Класс, который также доступен с подзаголовками на испанском языке, открыт для всех, у кого есть подключение к Интернету. Идеи этого класса также распространяются в различных формах, включая документы, видео и материалы учебной программы по математике на youcubed.org, Стэнфордский центр и сопутствующий веб-сайт почти полностью бесплатных ресурсов. Также доступны сопутствующие курсы для учителей о том, как хорошо преподавать математику.

Список литературы

Аронсон, Дж., Фрид, К. Б. и Гуд, К. (2002). Снижение воздействия угрозы стереотипов на афроамериканских студентов колледжей путем формирования теорий интеллекта. J. Appl. Dev. Psychol. 38, 113–125. DOI: 10.1006 / jesp.2001.1491

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Блэквелл, Л.С., Тшесневски, К. Х., Двек, К. С. (2007). Неявные теории интеллекта предсказывают достижения в подростковом возрасте: продольное исследование и вмешательство. Child Dev. 78, 246–263. DOI: 10.1111 / j.1467-8624.2007.00995.x

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Булер, Дж. (2015). При чем здесь математика? Как учителя и родители могут изменить изучение математики и добиться успеха. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Пингвин.

Боулер, Дж. (2016). Математическое мышление: раскрытие потенциала учащихся с помощью творческой математики, вдохновляющих сообщений и инновационного обучения . Сан-Франциско, Калифорния: John Wiley & Sons.

Google Scholar

Боалер, Дж., И Зоидо, П. (2016). Почему математическое образование в США не работает. Научные науки . Am. Разум. 27, 18–19. DOI: 10.1038 / Scientificamericanmind1116-18

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кларо, С., Паунеску Д. и Двек К. С. (2016). Установка на рост смягчает влияние бедности на академическую успеваемость. Proc. Natl. Акад. Sci. США 113, 8664–8668. DOI: 10.1073 / pnas.1608207113

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Двек, С. С. (2006). Образ мышления: новая психология успеха . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Random House Incorporated.

Фоли, А. Э., Хертс, Дж. Б., Боргонови, Ф., Герриеро, С., Левин, С. К., и Бейлок, С.Л. (2017). Связь между тревожностью и успеваемостью по математике: глобальный феномен. Curr. Реж. Psychol. Sci. 26, 52–58. DOI: 10.1177 / 0963721416672463

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гуд К. , Аронсон Дж. И Инзлихт М. (2003). Улучшение результатов стандартизированных тестов подростков: вмешательство, направленное на уменьшение последствий угрозы стереотипам. J. Appl. Dev. Psychol. 24, 645–662. DOI: 10.1016 / j.appdev.2003.09.002

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Хансен, Дж.Д., и Райх Дж. (2015). Демократизация образования? Изучение моделей доступа и использования в массовых открытых онлайн-курсах. Наука 350, 1245–1248. DOI: 10.1126 / science.aab3782

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Магуайр, Э. А., Гадиан, Д. Г., Джонсруд, И. С., Гуд, К. Д., Эшбернер, Дж., Фраковяк, Р. С. и др. (2000). Структурные изменения гиппокампа водителей такси, связанные с навигацией. Proc. Natl. Акад. Sci. США 97, 4398–4403.DOI: 10.1073 / pnas.070039597

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

OECD. (2016). Результаты PISA 2015 (Том I): совершенство и равенство в образовании. Париж: Издательство ОЭСР.

Шенфельд, А. Х. (2002). Заставить математику работать на благо всех детей: вопросы стандартов, тестирования и справедливости. Educ. Res. 31, 13–25. DOI: 10.3102 / 0013189X031001013

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Вс, К. Л.(2015). Нет предела: преподавание математики для роста мышления. Докторская диссертация, Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния.

5 эффективных способов помочь детям развить мышление роста в математике — Big Life Journal

ЭТА СТАТЬЯ ВКЛЮЧАЕТ БЕСПЛАТНУЮ ПЕЧАТЬ

«Я плохо разбираюсь в математике».

«Я не математик».

«Я не родился с математическим геном».

К сожалению, как преподавателю математики, эти фразы мне слишком знакомы.Дети учатся в школе и в жизни, будучи засыпаны сообщениями, которые подразумевают, что некоторые люди хорошо разбираются в математике, а некоторые — нет.

Для некоторых из нас математика просто «кликает». Но что, если он не сразу «щелкнет» для вас? Что ж, можешь сдаться. Ты просто не математик. Проблема с этими сообщениями, заявленными или подразумеваемыми, заключается в том, что они ложные .

Этот «культурный багаж», который у нас есть в отношении математики, не основан на истине о том, как устроен наш мозг.Он основан на том, что родители и учителя годами неправильно понимали или ненавидели математику и передавали эти отрицательных взглядов и убеждений своим детям.

Однако хорошая новость заключается в том, что все больше и больше исследований подтверждают ложность этих сообщений, поскольку мы узнаем, как работает наш мозг и как стили обучения математике могут влиять на мышление и достижения.

Прежде чем двигаться дальше, не забудьте подписаться на наши БЕСПЛАТНЫЕ еженедельные распечатки , тщательно разработанные, чтобы научить ваших детей мышлению роста, устойчивости и многому другому.Зарегистрируйтесь ниже, чтобы убедиться, что вы в списке!

После регистрации вы сразу же получите наше популярное «Руководство для родителей по установке на рост».

Почему так важно иметь растущее мышление в отношении математики?

Чем больше исследователей изучают и корректируют то, как учителя думают о математике и как ее преподают, тем больше доказательств показывает связь между установкой на рост и успехом в математике.

Мы все хотим, чтобы дети чувствовали себя уверенно и успешно изучали математику.Дети, у которых есть установка на рост в отношении своих математических способностей, на лучше, чем по стандартным тестам, и более активны в классе.

В своей исследовательской статье Кэрол Двек «Мышление и достижения в математике / науке» глубоко углубляется в различные исследования, подтверждающие эту корреляцию. И хотя мы видим доказательства преимуществ установки на рост, она также заявляет:

«Учащиеся с установкой на данность, но хорошо подготовленные и не сталкивающиеся с трудностями, могут отлично справиться.Однако, когда они сталкиваются с препятствиями или препятствиями , они могут оказаться в невыгодном положении ».

И в этом-то и проблема. В какой-то момент для каждого из нас математика превратится в сложных . Для некоторых это может быть во втором классе, когда они сталкиваются с вычитанием при перегруппировке. Для других это может не стать трудным до исчисления.

Каждый ребенок в какой-то момент столкнется с математическими препятствиями, и подготовка к встрече с ними с установкой на рост и здоровым отношением к математике придаст им стойкости, чтобы выстоять и преодолеть трудности.

Как вы можете помочь детям развить в математике установку на рост?

Вот несколько практических идей для начала.

1. Научите детей способности к росту

Если необходимо, сначала нам нужно изменить взгляд детей на математику и свои математические способности. Есть много детей, которые считают, что они никогда не будут хороши в математике, , как бы они ни старались, .

Показывая им , как работает наш мозг , , мы даем им надежду на то, что их мозг может расти и меняться, когда они продолжают изучать математику.

Вот некоторые предлагаемые действия:

  • Для детей младшего возраста покажите забавные видеоролики на YouTube, такие как «Песня о нейронах», чтобы рассказать им о нейропластичности.
  • Детям постарше покажите этот короткий отрывок из документального фильма BBC «Человеческое тело», который демонстрирует, как создание новых нейронных путей между клетками мозга похоже на строительство моста, ведущего через овраг.
  • Проведите своих детей или студентов через бесплатный онлайн-курс от Джо Болер из Стэнфордского университета.Этот курс объяснит текущие исследования мозга и представит математику так, как многие никогда раньше не видели и не думали. Кроме того, исследования показали, что учащиеся, проходящие этот курс, более позитивно относятся к математике, больше занимаются математикой и лучше справляются со стандартными тестами.
  • Попросите ваших детей или учеников создать свой собственный плакат «Мозг » (входит в наш комплект Growth Mindset Printables Kit ) и показать свое творение, чтобы оно служило напоминанием об огромной силе их мозга.

2. Ошибки модели и похвалы как возможности для развития мозга

    Еще один важный аспект развития установки на рост — положительный взгляд на ошибки.

    Дети должны понимать наш мозг узнает больше, когда мы делаем ошибки . Если мы правильно решаем все домашние задания по математике, мы ничего не узнаем без всяких усилий. Мы совсем не напрягали и не укрепляли свой мозг.

    Согласно Джо Боулер в своей книге «Математическое мышление», наш мозг реагирует на ошибки одним из двух способов.Во-первых, через реакцию ERN, которая представляет собой повышенную активность нашего мозга, которая происходит, когда существует «конфликт между правильным ответом и ошибкой».

    Второй — это реакция Ре, которая возникает, когда мозг осознает, что была сделана ошибка. Удивительно, но наш мозг вспыхивает и растет вместе с ответом ERN. Мы можем растягивать и развивать наш мозг, совершая ошибки, даже если мы не осознаем этого или работаем над их исправлением. Какое невероятное воодушевление — знать это!

    Чтобы помочь детям увидеть и оценить свои ошибки, мы можем помочь им увидеть ошибки такими, какие они есть: возможностей для развития мозга .

    Вот некоторые предлагаемые действия:

    • Модель ошибки на глазах у детей. Покажите им, что вы тоже ошибаетесь, и это хорошо.
    • Проанализируйте ошибку вместе, чтобы понять, чему и как мы учимся на них. Отличным примером для классных учителей является включение фразы «мое любимое нет», которая позволяет всему классу вместе обсуждать ошибки и находить в них ценность.
    • Прочитайте вместе сработавшие ошибки Шарлотты Фольц Джонс.
    • Создайте дом или классную комнату , приветствуя ошибку , украсив ее вдохновляющими плакатами и графикой. Используйте наши плакаты «Наш дом — это…» (или «Наш класс — это…»), которые доступны в комплекте печатных форм для установки на рост.
    • Попросите вашего ребенка прочитать стихотворение « Mistakes Poem » и показать его там, где он может часто его видеть (доступно в наборе для распечаток «Рост мышления»).

    3. Обеспечьте

    разнообразных математических задач с открытым концом

    Хотя изменение отношения детей к математике и языку, который они используют, важно, никаких реальных изменений или прогресса не произойдет, если математику продолжать преподавать тем же способом, что и .

    Поскольку математика часто преподается как закрытый, фиксированный предмет с одной целью — получить правильный ответ, — дети часто боятся ошибиться, потому что это кажется неудачей. Их единственная мысль — найти это единственное правильное решение, а когда они этого не делают, они закрываются и уходят.

    Но правда в том, что математика — это гораздо больше, чем просто получение правильного ответа. Речь идет об изучении важных идей, установлении связей и умении творчески решать проблемы.

    Вместо того, чтобы сосредотачиваться на запоминании фактов или воспроизведении математических процедур, родители и учителя должны предлагать сложные и содержательные задания, которые побуждают детей мыслить нестандартно.

    Как это выглядит? Что ж, как говорит Джо Булер, значимые математические задачи сочетают в себе 5C: любопытство, установление связей, вызов, творчество и сотрудничество.

    Когда детям будут предложены задания такого типа, они будут больше увлечены математикой и будут более вовлечены в обучение.

    Предложить детям задуматься о том, что они делают и ПОЧЕМУ это работает, более продуктивно, чем просто выполнить 20 задач из учебника.

    Вот некоторые предлагаемые действия:

    • Попробуйте выполнить задач из YouCubed со своими детьми.Эти задания выполняются детьми со всего мира и пробуждают еще большую любовь к математике. Узнайте больше о неделе вдохновляющей математики здесь.
    • Возьмите традиционные закрытые проблемы и превратите их в сложных задач . Например, ваши дети могут работать над проблемой 18 x 5. Это может быть простая проблема с единственным решением. Но что, если вместо этого вы попросите детей решить эту проблему двумя разными способами? Или дать наглядное подтверждение своего решения и объяснить свой ответ?
    • Используйте еще одно увлекательное задание от Boaler — , задание «четыре четверки» . В этом задании детям (или родителям и учителям) предлагается найти все числа от 1 до 20, используя 4 четверки и любую математическую операцию. Например, 4 + 4 + 4 + 4 = 16, 4 + 4 — 4 + 4 = 8 и т. Д. После некоторых основных операций эта задача становится намного сложнее и увлекательнее!
    • Поднимите планку для детей, которые справились с заданной проблемой или задачей. Один из простых способов сделать это — предложить им создать свою собственную задачу . Попросите их написать новый аналогичный вопрос, но посложнее.Это дает детям возможность проявить творческий подход и вдохновляет их бросать вызов своим сверстникам.

    Пока ваши дети работают над математическими задачами, предложите им использовать карточки для решения задач из 5 шагов , которые доступны в наборе действий для установки мышления роста.

    4. Убрать акцент на скорости

      Как я уже упоминал, у детей часто создается впечатление, что математика сводится к одному и только к одному: как быстро получить правильный ответ . Но если бы изучение и преподавание математики сводилось только к получению правильного ответа, в этом не было бы никакого смысла, потому что калькуляторы могут сделать эту работу за нас.

      Факты показывают, что заданных по времени тестов по математике усиливают у детей тревогу и ненависть к математике. Давление, связанное с завершением в установленные сроки, может быть настолько стрессовым, что у некоторых детей возникает серьезная математическая тревога, которая остается с ними на всю жизнь.

      Таким образом, вместо того, чтобы сосредоточиться на скорости, сосредотачивается на процессе .

      Вот некоторые предлагаемые действия:

      • Научите детей стратегиям , которые они используют, а также тому, как они говорят о больших математических идеях , на более важнее, чем окончательный ответ.И скажите им, что ведущие математики мира часто тратят годы на ОДНУ проблему, доказательство или идею.
      • Если вы работаете в классе, вы можете задавать меньше задач по математике . Когда дети видят лист или задание с 20 или 30 задачами, они могут быть более склонны найти способ быстро все это решить. Но если вместо этого вы назначите меньше проблем и убедитесь, что они оправдывают свои ответы или поищете нескольких решений , они с большей вероятностью замедлят ход и задумаются над процессом.
      • Замените набор практических задач рефлексивными вопросами , такими как: «Какую большую идею мы узнали сегодня?» или «С чем вы боролись сегодня?» или «Из какой ошибки вы узнали сегодня?» [источник]
      • Используйте для начала беседы с установкой на рост , чтобы рассказать о своих процессах и усилиях за обеденным столом или во время поездки на машине (доступно в комплекте печатных форм для установки на рост).

      5. Помните о своем отношении к математике

      Наконец, и, вероятно, самое главное, я хочу призвать вас особенно внимательно относиться к своим взглядам на математику и к языку , который вы используете, чтобы говорить об этом перед своими детьми. Дети смотрят, слушают и учатся на нашем примере (осознаем мы это или нет), и даже малозаметные послания с установкой на данность будут понятны детям.

      Недавно авторы одного исследования пришли к выводу, что вмешательство в установление мышления неэффективно и является пустой тратой денег на математическое образование.Проблема с их исследованием, однако, заключается в том, что оно игнорирует ключевой компонент успешного вмешательства в образ мышления: изменения учителя и преподавания математики.

      Если единственное прилагаемое усилие — это изменение языка, например использование таких слов, как «пока» или «ошибки помогают нашему мозгу расти», но мышление и стиль преподавания учителя не меняются, реальных изменений в детях не произойдет.

      Вместо этого мы должны увидеть эффект просачивания : он начинается с того, что родители и учителя меняют свое мышление в сторону математики.Это, в свою очередь, влияет на то, как мы говорим и представляем математику детям. Затем это меняет образ мышления детей с фиксированного на рост и начинает влиять на их успеваемость в классе математики и на стандартных тестах.

      Вот несколько предложений для вас:

      • Продолжить узнать и изучить важность и влияние установки на рост для себя. Это не только поможет вам развить установку на рост в математике, но и станет ярким примером для ваших детей, поскольку вы покажете им, как проявлять настойчивость.
      • S p время окончания вместе как семья обсуждает некоторые из открытых математических задач , описанных выше. Вы можете вместе изучать новые стратегии и получать удовольствие от обсуждения важных идей. Вы будете проводить время вместе и в то же время серьезно заниматься математикой! Это беспроигрышный вариант.
      • Если вас беспокоит собственное отношение к математике, пройдите бесплатный курс от Джо Болер. Вам также может понравиться этот бесплатный мини-курс для учителей по созданию сложных математических задач (даже если вы не учитель).